2024年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学五模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学五模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.81的算术平方根为( )
A. ±3B. 3C. ±9D. 9
2.如图所示是我们生活中常见的一种漏斗的示意图，从正面观察这个图形，看到的是( )
A.
B.
C.
D.
3.计算(−a2)3÷a4结果是( )
A. −a2B. a2C. −a3D. a3
4.如图，l1//l2，∠1=35°，∠2=50°，则∠3的度数为( )
A. 85°
B. 95°
C. 105°
D. 115°
5.在平面直角坐标系中，若点A(a,b)在第二象限，则点B(ab,−b)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.在▱ABCD中，AC=4，BD=4，若E、F、G、H分别为▱ABCD各边中点，则四边形EFGH的形状为( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
7.如图，点C，D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，若CA=CD，且∠CAB=25°，则∠ACD的度数为( )
A. 23°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
8.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在直线y=kx+c上，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②3a+c<0；③a=−k；④若方程|ax2+bx+c|=m(m≥0,m为常数)有四个根，分别为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=4.其中正确结论的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.把多项式4ax2−4ay2分解因式的结果是______．
10.如图，已知点O是△ABC的内心，∠A=40°，则∠BOC= ______．
11.如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”.此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数之间的规律．

请仔细观察，填出(a+b)4的展开式中所缺的项：(a+b)4=a4+4a3b+ ______+b4．
12.如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上.若直线BC的函数表达式为y=12x−4，则k的值为______．
13.如图，线段AB=10，以AB为斜边构造等腰直角△ABC和直角△ABD，C、D在AB两侧，BE平分∠ABD交CD于点E，则CECD的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
14.解方程组：3x−5y=3x2−y3=1．
四、解答题：本题共12小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：(12)−2−| 2−3|+2tan45°−(2020−π)0．
16.(本小题5分)
解分式方程：2x2−4−x2−x=1．
17.(本小题5分)
如图，请用尺规在线段AB下方作一点P，使得AB平分角∠CAP，且AC=AP.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，点A，C，F，B在同一条直线上，AD/​/CE，AD=CE，∠D=∠E.求证：AC=BF．
19.(本小题5分)
某中学要在全校学生中举办“中国梦⋅我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级(1)班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)．
规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．
如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：
(1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？
(2)该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．(骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体)
20.(本小题5分)
某校九(1)班的学生在两位老师的组织下到历史博物馆珍宝馆进行研学，珍宝馆门票每张30元，现有两种团体优惠方案可供选择，方案一：全部人员打八折.方案二：5人免票，其余人员打九折.班长思考了一会说：“算上两位老师的话，两种方案要付的钱是一样的.”求九(1)班的学生人数．
21.(本小题6分)
如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点2米远的B点，立一根长为1米的标杆AB，在河对岸的岸边有一块高为2.5米的安全警示牌MF，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即PM=PN，两岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
22.(本小题7分)
在弹性限度内，弹簧长度y(cm)是所挂物体质量x(g)的一次函数.已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm，挂物体30g时的长度为15cm．
(1)试求y与x的函数表达式；
(2)已知弹簧在挂上物体后达到的最大长度是25cm，试求出(1)中函数自变量的取值范围．
23.(本小题7分)
为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校1600名学生参加的“汉字书写”比赛，为了解本次比赛的成绩，校团委随机抽取了共中200名学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数频率分布表
根据所给信息，解答下列问题：
(1)a= ______，b= ______；并补全频数分布直方图．
(2)这200名学生成绩的中位数会落在______分数段．
(3)若成绩在80分以上(包括80分)为“良”等，请你估计该校参加本次比赛的1600名学生中成绩是“良”等的约有多少人？
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
(1)求证：DE⊥AC；
(2)若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
25.(本小题8分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，与y轴交于点C．
(1)求b，c的值；
(2)如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题10分)
【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB=∠A′D′C=90°，∠B=∠C=30°，设AB=2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°≤α≤360°)，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
(1)当α=60°时，BC= ______；当BC=2 2时，α= ______°；
(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
(3)如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵92=81，
∴81的算术平方根为 81=9．
故选：D．
根据算术平方根的定义解答即可．
本题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2.【答案】A
【解析】解：从正面看，可得选项A的图形：
故选：A．
观察图形，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】A
【解析】解：(−a2)3÷a4
=−a6÷a4
=−a2．
故选：A．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】B
【解析】解：∵l1/​/l2，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
∵∠1=35°，∠2=50°，
∴∠3=180°−∠1−∠2=95°．
故选：B．
首先根据平行线的性质可得出∠1+∠2+∠3=180°，据此可得出∠3的度数．
此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
5.【答案】C
【解析】解：∵点A(a,b)在第二象限，
∴a<0，b>0，
∴ab<0，−b<0，
∴点B(ab,−b)所在的象限是第三象限，
故选：C．
根据题意可得a<0，b>0，从而可得ab<0，−b<0，然后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵E、F、G、H分别为▱ABCD各边中点，
∴EF和HG分别是△ABC和△ADC的中位线，
∴EF=12AC，HG=12AC，
∴EF=HG，
同理：EH=FG=12BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD=4，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形，
故选：C．
根据已知判断出EF和HG分别是△ABC和△ADC的中位线，得到EF=12AC，HG=12AC，推出EF=HG，同理得到EH=FG=12BD，证明四边形EFGH是平行四边形，再根据AC=BD得到EF=EH，从而证明菱形．
本题考查中点四边形，三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°−∠CAB=90°−25°=65°，
∴∠ADC=∠ABC=65°，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠ADC=65°，
∴∠ACD=180°−65°−65°=50°．
故选：D．
根据圆周角定理得到∠ACB=90°，利用互余计算出∠ABC=65°，再利用圆周角定理得到∠ADC=65°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ACD的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc>0，①正确．
由图象可得x=−1时，二次函数y>0，
∴a−b+c=3a+c>0，②错误．
将x=1代入y=ax2+bx+c得y=a+b+c，
将x=1代入y=kx+c得y=k+c，
∵抛物线顶点在直线上，
∴a+b+c=−a+c=k+c，
∴a=−k，③正确．
由抛物线对称轴为直线x=1可得函数y=|ax2+bx+c|的对称轴为直线x=1，
∴直线y=m与函数y=|ax2+bx+c|图象交点关于直线x=1对称，
∴x1+x2+x3+x4=2+3=4，④正确．
故选：C．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可得b与a的关系并判断①，由x=−1时二次函数y>0可判断②，由抛物线顶点在直线上可判断③，由抛物线的对称性可判断④．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
9.【答案】4a(x+y)(x−y)
【解析】解：原式=4a(x2−y2)
=4a(x+y)(x−y)．
故答案为：4a(x+y)(x−y)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】110°
【解析】解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=140°，
∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12×(∠ABC+∠ACB)=70°，
∴∠BOC=180°−70°=110°，
故答案为：110°．
根据角平分线的性质得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．
11.【答案】6a2b2+4ab2
【解析】解：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab2+b4，
故答案为：6a2b2+4ab2．
观察图形可知：杨辉三角，各项是按照a的降幂和b的升幂排列，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，按照此规律进行解答即可．
本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，找出字母和系数存在的规律．
12.【答案】24
【解析】解：在y=12x−4中，令y=0，则x=8，
令x=0，则y=−4，
∴B(8,0)，G(0,−4)，
∴OB=8，OG=4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
∠AEB=∠BFC=90°∠BAE=∠FBCAB=BC，
∴△AEB≌△BFC(AAS)，
∴AE=BF，BE=CF，
∵∠BOG=∠BFC=90°，∠OBG=∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴CFBF=OGOB=12，
∴设CF=a，BF=2a，
∴AE=2a，BE=a，
∴A(8−a,2a)，C(8+2a,a)，
∵点A，点C在反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上，
∴2a(8−a)=a(8+2a)，
解得a=2或a=0(不合题意舍去)，
∴A(6,4)，
∴k=6×4=24，
故答案为：24．
解方程求得B(8,0)，G(0,−4)，得到OB=8，OG=4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到AE=BF，BE=CF，根据相似三角形的性质得CFBF=OGOB=12，设CF=a，BF=2a，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
13.【答案】 22
【解析】解：∵以AB为斜边构造等腰直角△ABC和直角△ABD，
∴∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴A，C，B，D共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°，∠BDC=∠BAC=45°，
∴∠ADC=∠BDC，
∴CD平分∠ADB，
∵BE平分∠ABD，
∴E为△ABD的内心，
∴∠ABE=∠DBE，
∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=45°+∠ABE，∠CEB=∠BDC+∠DBE=45°+∠DBE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CB=CE=CA= 22AB=5 2，
∴当CD为该圆直径时，CD最大=AB=10，
∴CECD的最小值为5 210= 22，
故答案为： 22．
证出A，C，B，D共圆，E为△ABD的内心，则CB=CE=CA= 22AB=5 2，故当CD为该圆直径时，CD最大=AB=10，即可得出答案．
本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证明CB=CE是解题的关键．
14.【答案】解：方程组整理得：3x−5y=3 ①3x−2y=6 ②，
②−①得：3y=3，即y=1，
将y=1代入①得：x=83，
则方程组的解为y=1x=83．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15.【答案】解：原式=4−(3− 2)+2×1−1
=4−3+ 2+2−1
=2+ 2．
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】解：方程两边同乘(x2−4)，得
2+x(x+2)=x2−4，
整理得 2+x2+2x=x2−4，
2x=−6，
x=−3，
检验：当x=−3时，x2−4=5≠0，
∴原方程的解为x=−3．
【解析】此题考查了解分式方程，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
17.【答案】解：如图，作∠BAQ=∠BAC，再以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AQ于点P，
则点P即为所求．

【解析】根据作一个角等于已知角的方法作∠BAQ=∠BAC，再以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AQ于点P，则点P即为所求．
本题考查作图—基本作图，熟练掌握基本尺规作图的方法是解答本题的关键．
18.【答案】证明：∵AD/​/CE，
∴∠A=∠BCE，
在△AFD和△CBE中，
∠A=∠BCEAD=CE∠D=∠E，
∴△AFD≌△CBE(ASA)，
∴AF=CB，
∴AF−CF=CB−CF，
∴AC=BF．
【解析】由AD/​/CE，得∠A=∠BCE，而AD=CE，∠D=∠E，即可根据“ASA”证明△AFD≌△CBE，得AF=CB，所以AF−CF=CB−CF，则AC=BF．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AFD≌△CBE是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵向上一面的点数为奇数有3种情况，
∴小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是：36=12．
(2)填表如下：
由上表可知，一共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果．
∴P(小亮胜)=936=14，P(小丽胜)=936=14，
∴游戏是公平的．
【解析】(1)首先判断出向上一面的点数为奇数有3种情况，然后根据概率公式，求出小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可．
(2)首先应用列表法，列举出所有可能的结果，然后分别判断出小亮、小丽获胜的概率是多少，再比较它们的大小，判断出该游戏是否公平即可．
(1)此题主要考查了判断游戏公平性问题，要熟练掌握，首先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
(2)此题主要考查了列举法(树形图法)求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
20.【答案】解：设共有x名师生参观珍宝馆，
依题意，有 30×810x=30×910(x−5)，
解得x=45，
∴学生共有45−2=43(人)．
答：九(1)班的学生人数为43，
【解析】设共有x名师生参观珍宝馆，根据两种方案要付的钱是一样的，列出方程进行求解即可．
本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式，
21.【答案】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，

则四边形BDEH是矩形，
∴BH=DE=1.25，BD/​/EH，
∴AH=AB+BH=AB+DE=1+1.25=2.25，
∵BD//OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴BDHO=ABAH，
∴2OH=12.25，
∴HO=4.5，
∵PM=PN，MF=2.5米，FP=1.25米，
∴PN=MF+FP=3.75(米)，
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH//PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴AHNP=HOPO，
∴，
∴PO=7.5，
∴PE=PO+OE=7.5+(4.5−2)=10(米)，
答：河宽EP是10米．
【解析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，即可解决问题，
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，构造和证明三角形相似是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设y与x的函数表达式为：y=kx+b，
∴10k+b=1130k+b=15，
解得：k=15b=9，
∴y与x的函数表达式为：y=15x+9；
(2)y=25时，x=80，
∴0≤x≤80．
【解析】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；
(2)把x=35时代入解析式求出y的值即可．
本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，由自变量求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
23.【答案】0.175 75 70≤x<80
【解析】解：(1)调查人数为10÷0.05=200(人)，
a=35÷200=0.175，b=200×0.375=75(人)，
故答案为：0.175，75；
(2)补全频数分布直方图如下：
(3)将这200个数据从小到大排列，第100、101位的两个数都在70≤x<80组，因此中位数在70≤x<80，
故答案为：70≤x<80；
(4)1600×75+20200=760(人)，
答：该校参加本次比赛的1500名学生中成绩是“优”等的约有760人．
(1)根据频率=频数总数可求出调查人数，进而求出a、b的值；
(2)根据各组的频数可补全频数分布直方图；
(3)根据中位数的意义，判断这200个数据从小到大排列后，处在第100、101位的两个数所占的组别即可；
(4)求出样本中“优”所占的百分比，即可估计总体中“优”所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，掌握频率=频数总数是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
24.【答案】(1)证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD/​/AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
(2)如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x．
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10−x，OH=DE=8−(10−x)=x−2．
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+(x−2)2=102，
解得x1=8，x2=−6(不合题意，舍去)．
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=12AF，
∴AF=2AH=2×8=16．
【解析】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档题．
(1)欲证明DE⊥AC，只需推知OD/​/AC即可；
(2)如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH=x.则由矩形的性质推知：AE=10−x，OH=DE=8−(10−x)=x−2.在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2+(x−2)2=102，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF=2AH=2×8=16．
25.【答案】解：(1)把A(1,0)和B(−3,0)代入y=−x2+bx+c得：
−1+b+c=0−9−3b+c=0，
解得b=−2c=3，
∴b的值为−2，c的值为3；
(2)存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
由(1)知抛物线解析式为y=−x2−2x+3，
在y=−x2−2x+3中，令x=0得y=3，
∴C(0,3)，
由B(−3,0)，C(0,3)得直线BC解析式为y=x+3；
将抛物线y=−x2−2x+3向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线解析式为y=−(x+2)2−2(x+2)+3=−x2−6x−5，
联立y=−x2−6x−5y=−x2−2x+3，解得x=−2y=3，
∴D(−2,3)，
设M(t,t+3)，N(p,q)，
又B(−3,0)，
①若DM，BN为对角线，则DM，BN中点重合，且BD=BM，
∴t−2=p−3t+3+3=q(−2+3)2+(3−0)2=(t+3)2+(t+3)2，
解得t= 5−3p= 5−2q= 5+3或t=− 5−3p=− 5−2q=− 5+3，
∴N的坐标为( 5−2, 5+3)或(− 5−2,− 5+3)；
②若DN，BM为对角线，则DN，BM的中点重合，且BD=DM，
∴p−2=t−33+q=t+3(−2+3)2+(3−0)2=(t+2)2+t2，
解得t=−3p=−4q=−3(此时MB重合，舍去)或t=1p=0q=1，
∴N的坐标为(0,1)；
③若DB，MN为对角线，则DB，MN中点重合，且DM=BM，
∴−2−3=t+p3=t+3+q(t+2)2+t2=(t+3)2+(t+3)2，
解得t=−74p=−134q=74，
∴N的坐标为(−134,74)；
综上所述，N的坐标为( 5−2, 5+3)或(− 5−2,− 5+3)或(0,1)或(−134,74).
【解析】(1)把A(1,0)和B(−3,0)代入y=−x2+bx+c得−1+b+c=0−9−3b+c=0，解得b=−2c=3，故b的值为−2，c的值为3；
(2)在y=−x2−2x+3中，令x=0可得C(0,3)，直线BC解析式为y=x+3；将抛物线y=−x2−2x+3向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线解析式为y=−(x+2)2−2(x+2)+3=−x2−6x−5，联立y=−x2−6x−5y=−x2−2x+3，解得D(−2,3)，设M(t,t+3)，N(p,q)，①若DM，BN为对角线，则DM，BN中点重合，且BD=BM，可得t−2=p−3t+3+3=q(−2+3)2+(3−0)2=(t+3)2+(t+3)2，②若DN，BM为对角线，则DN，BM的中点重合，且BD=DM，p−2=t−33+q=t+3(−2+3)2+(3−0)2=(t+2)2+t2，③若DB，MN为对角线，则DB，MN中点重合，且DM=BM，−2−3=t+p3=t+3+q(t+2)2+t2=(t+3)2+(t+3)2，分别解方程组可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，菱形的性质及应用等知识，解题的关键是分类分类讨论思想的应用．
26.【答案】(1)2 ；
30或210；
(2)如图：
∵∠ADB=90°，∠B=30°，AB=2，
∴AD=1，
∵α=90°，
∴∠BAC=60°+60°−90°=30°，
∴∠QAD=∠BAD−∠BAC=30°，
∴DQ=AD 3= 33，
∴S△ADQ=12×1× 33= 36，
∵∠D′=∠D′AD=∠D=90°，AD=AD′，
∴四边形ADPD′是正方形，
∴DP=AD=1，
∴S△APD=12×1×1=12，
∴S△APQ=12− 36，
同理S△APR=12− 36，
∴两块三角板重叠部分图形的面积为1− 33；
(3) 2π．
【解析】解：(1)如图：
∵∠ADB=∠A′D′C=90°，∠ABD=∠A′CD′=30°，
∴∠BAD=∠D′AC=60°，
∴当α=60°时，A，D′，B共线，A，D，C共线，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2；
当BC=2 2时，过A作AH⊥BC于H，
如图：
∵AB=AC，
∴BH=CH=12BC= 2，
∴sin∠BAH=BHAB= 22，
∴∠BAH=45°，
∴∠BAC=2∠BAH=90°，
∴α=120°−90°=30°；
如图：
同理可得∠BAC=90°，
∴α=60°+90°+60°=210°，
∴当BC=2 2时，α=30°或210°；
故答案为：2，30或210；
(2)见答案;
(3)连接AF，如图：
∵AB=AC，F为BC中点，
∴∠AFB=90°，
∴F的轨迹是以AB为直径的圆，
∴点F的运动路径长为2π×AB2=2π．
故答案为：2π．
(1)当α=60°时，A，D′，B共线，A，D，C共线，可得△ABC是等边三角形，故BC=AB=2；当BC=2 2时，过A作AH⊥BC于H，分两种情况画出图形，可得答案；
(2)画出图形，可得S△ADQ=12×1× 33= 36，S△APD=12×1×1=12，故S△APQ=12− 36，同理S△APR=12− 36，从而两块三角板重叠部分图形的面积为1− 33；
(3)连接AF，由AB=AC，F为BC中点，知∠AFB=90°，故F的轨迹是以AB为直径的圆，用圆的周长公式可得答案．
本题考查三角形综合应用，涉及旋转变换，与圆有关的计算问题，解题的关键是读懂题意，画出图形，灵活运用旋转的性质．成绩x(分)
频数(人)
频率
50≤x<60
10
0.05
60≤x<70
35
a
70≤x<80
60
0.30
80≤x<90
b
0.375
90≤x≤100
20
0.10

1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)