2023-2024学年新疆阿克苏地区拜城县八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆阿克苏地区拜城县八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若式子 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠2B. x>2C. x≥2D. x≥−2
2.下列二次根式中，能与 3合并的是( )
A. 8B. 18C. 12D. 6
3.下列计算正确的是( )
A. 6÷ 2=3B. 2+ 3= 5
C. 2 3×3 3=6 3D. 2− 8=− 2
4.下列各组数据中，不是勾股数的是( )
A. 3，4，5B. 7，24，25C. 8，15，17D. 5，6，9
5.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A. 5B. − 5C. − 3D. 3
6.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上答案都不对
7.如图，带阴影的长方形面积是( )
A. 9cm2
B. 24cm2
C. 45cm2
D. 51cm2
8.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )
A. 12m
B. 13m
C. 16m
D. 17m
9.有下列命题：①若|a|>|b|，则a>b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等．其中，原命题与逆命题均为真命题的有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
10.△ABC中AC=13，AB=15，高AD=12，则BC的长为( )
A. 14B. 4C. 14或4D. 无法确定
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算 (−4)2的结果是______．
12.若最简二次根式 2a+5与 8−a是同类二次根式，则a= ______．
13.已知x= 3+1，y= 3−1，则xy= ．
14.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为______m.
15.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是______．
16.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C沿垂直于x轴的方向向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了______cm．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 8+2 3−( 27− 2)；
(2)(3 2+2 3)(3 2−2 3).
18.(本小题6分)
已知：a= 3+2，b= 3−2，分别求下列代数式的值
(1)a2+2ab+b2
(2)a2−b2
19.(本小题6分)
(1)计算： 32+ 8− 50；
(2)下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为______(用字母表示)；
②上述解答过程，从第______步开始出错，具体的错误是______；
③计算的正确结果为______．
20.(本小题7分)
一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端放在离墙脚0.7米处，另一端靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，那么梯子的底部向外滑了多少米？
21.(本小题7分)
为了加大绿化力度，某公园有一块如图所示的四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠ABC=90°，若每平方米草皮需要300元，求这块地种植草皮需要投入多少元？
22.(本小题8分)
如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，已知AC=2 5，BC= 5．
(1)画出△ABC；
(2)△ABC的形状是______；
(3)△ABC边AB上的高是______．
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意，得x−2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出x−2≥0．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：(A)原式=2 2，故不能合并，
(B)原式=3 2，故不能合并，
(C)原式=2 3，故能合并，
(D)原式= 6，故不能合并，
故选：C．
将各式化为最简二次根式后即可判断．
本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型
3.【答案】D
【解析】解：A． 6÷ 2= 3，故此选项不合题意；
B. 2+ 3无法合并，故此选项不合题意；
C.2 3×3 3=18，故此选项不合题意；
D. 2− 8=− 2，故此选项符合题意；
故选：D．
直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而判断即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、32+42=52，是勾股数；
B、72+242=252，是勾股数；
C、82+152=172，是勾股数；
D、52+62≠92，不是勾股数．
故选：D．
根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
本题考查了勾股数的定义，关键是掌握三个数必须是正整数，且满足a2+b2=c2．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得，a= 12+22= 5，
点A所表示的数为− 5．
故选：B．
根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可．
本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC= 32+42=5，
AC= 22+42= 20，
AB= 12+22= 5，
在△ABC中，
∵AB2+AC2=5+20=25，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
7.【答案】C
【解析】解：由图可知，△ABC是直角三角形，
∵AC=8cm，BC=12cm，
∴AB= BC2−AC2= 172−82=15cm，
∴S阴影=15×3=45cm2．
故选：C．
先根据勾股定理求出AB的长，再由长方形的面积公式进行解答即可．
本题考查的是勾股定理及矩形的面积公式，先根据勾股定理求出AB的长是解答此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点C作CB⊥AD，设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即(x−2)2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
9.【答案】B
【解析】解：①若|a|>|b|，则a不一定>b，是假命题；
②若a+b=0，则|a|=|b|是真命题，但逆命题若|a|=|b|，则a=b或a+b=0，是假命题；
③等边三角形的三个内角都相等原命题与逆命题均为真命题；
故选：B．
根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、绝对值逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质、等边三角形的性质和判定、绝对值、命题与定理等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：(1)如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2−AD2=132−122=25，
则BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2−AD2=152−122=81，
则CD=9，
故BC=BD+DC=9+5=14；
(2)钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2−AD2=132−122=25，
则BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2−AD2=152−122=81，
则CD=9，
故BC的长为DC−BD=9−5=4．
故选：C．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD−BD．
本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．
11.【答案】4
【解析】解： (−4)2= 16=4．
故答案为：4．
根据算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．
12.【答案】1
【解析】解：∵最简二次根式 2a+5与 8−a是同类二次根式，
∴2a+5=8−a，
∴a=1，
故答案为：1．
利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】【分析】
应用二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查二次根式乘法，熟练掌握二次根式乘法法则进行求解是解决本题的关键．
【解答】
解：xy=( 3+1)( 3−1)=( 3)2−12=3−1=2．
故答案为：2．
14.【答案】8
【解析】解：由勾股定理得，断下的部分为 32+42=5米，折断前为5+3=8米．
根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单．
15.【答案】18
【解析】解：根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D、E、F的面积之和为2个M的面积．
∵M的面积是32=9，
∴A、B、C、D、E、F的面积之和为9×2=18．
故答案为：18．
根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：6个小正方形的面积和等于最大正方形面积的2倍．
考查了勾股定理，注意运用勾股定理和正方形的面积公式证明结论：6个小正方形的面积和等于最大正方形的面积的2倍．
16.【答案】2
【解析】解：由题意知，DC垂直平分AB，
∴AC=12AB=4cm，AD=BD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD= 32+42=5(cm)，
∴橡皮筋被拉长了AD+BD−AB=5+5−8=2(cm)，
故答案为：2．
由题意知，DC垂直平分AB，则AC=12AB=4cm，AD=BD，利用勾股定理求出AD的长，进而求出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2 2+2 3−3 3+ 2
=3 2− 3．
(2)原式=18−12
=6．
【解析】(1)根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
(2)根据平方差公式即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
18.【答案】解：(1)∵a= 3+2，b= 3−2，
∴a+b=2 3，
∴a2+2ab+b2
=(a+b)2
=(2 3)2
=12；
(2)∵a= 3+2，b= 3−2，
∴a+b=2 3，a−b=4，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=2 3×4=8 3．
【解析】(1)根据完全平方公式和a= 3+2，b= 3−2，可以求得所求式子的值；
(2)根据平方差公式和a= 3+2，b= 3−2，可以求得所求式子的值．
本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应式子的值．
19.【答案】(a±b)2=a2±2ab+b2 三 (2 6)2计算错误 1
【解析】解：(1)原式=4 2+2 2−5 2= 2；
(2)①根据题意第1步依据的乘法公式为完全平方公式，
故答案为：(a±b)2=a2±2ab+b2；
②上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是(2 6)2计算错误，
故答案为：三，(2 6)2计算错误；
③( 3− 2)2×(5+2 6)
=(3−2 6+2)×(5+2 6)
=(5−2 6)(5+2 6)
=52−(2 6)2
=25−24
=1，
∴计算的正确结果为1，
故答案为：1．
(1)根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
(2)根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可．
本题考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，熟练掌握相关运算法则以及乘法公式的结构特点是解本题的关键．
20.【答案】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，
∴BC= AB2−AC2=2.4(米)，
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE=0.4米，
∴EC=BC−0.4=2(米)，
∴DC= DE2−EC2=1.5(米)，
∴AD=1.5−0.7=0.8(米)，
答：梯子的底部向外滑出0.8米．
【解析】首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．
此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
21.【答案】解：在直角△ABC中，AB=3m，BC=4m，∠ABC=90°，则由勾股定理知：AC2=AB2+BC2，即AC2=32+42=52，则AC=5m．
在△ACD中，CD=12m，DA=13m，AC=5m，则AC2+CD2=DA2．
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12⋅AB⋅BC+12⋅AC⋅CD，
即S四边形ABCD=12×3×4+12×5×12=36(m2).
所以300×36=10800(元)．
答：这块地种植草皮需要投入10800元．
【解析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC=5m；在△ACD中，利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形；然后利用直角三角形的面积公式求得两个直角三角形的面积，求其和；最后由面积×单价=总额计算这块地种植草皮需要投入的资金．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键．
22.【答案】直角三角形 2
【解析】解：(1)如图，△ABC即为所求．
(2)结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵AB= 32+42=5，AC=2 5，BC= 5，
∴AC2+BC2=(2 5)2+( 5)2=25，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
(3)设AB边上的高为h，
∵12⋅AB⋅h=12⋅AC⋅BC，
∴h=2 5× 55=2；
故答案为2．
(1)利用数形结合的思想和勾股定理画出△ABC即可；
(2)利用勾股定理的逆定理判断即可；
(3)利用面积法构建方程解决问题即可．
本题考查作图−应用与设计，勾股定理以及逆定理等知识，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，
设BE=EB′=x，则EC=4−x，
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC= AB2+BC2=5，
∴B′C=5−3=2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=(4−x)2，
解得x=1.5，
∴EB′=1.5．
【解析】本题考查的是勾股定理和翻折变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
根据折叠得到BE=EB′，AB′=AB=3，设BE=EB′=x，则EC=4−x，根据勾股定理求得AC的值，由勾股定理可得方程x2+22=(4−x)2，再解方程即可算出答案．解：( 3− 2)2×(5+2 6)=(3−2 6+2)×(5+2 6)…第1步
=(5−2 6)×(5+2 6)…第2步
=25−12…第3步
=13.…第4步