2024海南省高三下学期学业水平诊断（四）数学含解析

这是一份2024海南省高三下学期学业水平诊断（四）数学含解析，共11页。试卷主要包含了已知为等差数列，，，则，将椭圆，已知函数的图象在区间，已知实数，，满足，，，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.复数的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3.已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A.B.C.D.
4.我们平时登录各类网络平台的密码中的不同符号都各自对应一个字节数，若某个密码使用的符号对应的字节数分别为1，2，4，4，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（ ）
A.4B.5C.6D.7
5.已知为等差数列，，，则（ ）
A.32B.27C.22D.17
6.将椭圆（）上所有点的横坐标伸长为原来的（）倍，纵坐标伸长为原来的（）倍得到椭圆，设，的离心率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
7.已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球的表面上，则该四棱台的高为（ ）
A.2B.8C.2或12D.4或8
8.已知函数的图象在区间（）内恰好有5对关于轴对称的点，则的值可以是（ ）
A.4B.5C.6D.7
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
10.已知实数，，满足，，，则（ ）
A.B.
C.D.当最小时，
11.在平面四边形中，已知，且，，则（ ）
A.的面积为
B.的面积为2
C.四边形为等腰梯形
D.在方向上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.近日海南文旅火爆出圈，海南岛优美的海滨景观和深厚的文化底蕴吸引着全国各地游客前往，小明计划假期去海口、三亚、儋州、文昌、琼海五个城市游玩，每个城市都去且只去一次，若儋州和文昌这两个城市不排在最前面和最后面，则不同的游玩顺序有________种.（用数字作答）
13.已知函数在内恰有3个零点，则的取值范围是___________.
14.已知为双曲线的右支上一点，点，分别在的两条渐近线上，为坐标原点，若四边形为平行四边形，且，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）甲、乙两队进行排球比赛，规则是：每个回合由一方发球，另一方接球，每个回合的胜方得1分，负方不得分，且胜方为下一回合的发球方.无论之前得分情况如何，每个回合中发球方得分的概率均为，接球方得分的概率均为，且第一回合的发球方为甲队.
（Ⅰ）求第二回合甲队得分的概率；
（Ⅱ）设前三个回合中，甲队发球的次数为，求的分布列及数学期望.
16.（15分）如图，在三棱锥中，和均为等腰直角三角形，，，为棱的中点，且.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.
17.（15分）已知为等比数列，其前项和为，，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记各项均为正数的数列的前项和为，若，证明：当时，.
18.（17分）（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若过点且斜率为（）的直线与曲线交于，两点，为坐标原点，证明：.
19.（17分）在直角坐标系中，动点到直线（）的距离等于点到点的距离，动点在圆上，且的最小值为，设动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）已知圆的切线与曲线交于，两点，求的最小值.
海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（四）
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案：D
命题意图：本题考查集合的表示与运算.
解析：因为，，所以.
2.答案：B
命题意图：本题考查复数的概念和运算.
解析：由，可知虚部为.
3.答案：A
命题意图：本题考查导数的几何意义.
解析：因为，所以，则，，所以曲线在处的切线方程为，即.
4.答案：D
命题意图：本题考查百分位数的计算.
解析：，故该组数据的75%分位数是从小到大第6个数据，为7.
5.答案：C
命题意图：本题考查等差数列的性质
解析：由，，两式相减可得，所以，再由，可得，所以.
6.答案：B
命题意图：本题考查椭圆的几何性质.
解析：由题意，椭圆的焦点在轴上，若，则从变换到的过程中，轴方向比轴方向上的伸长幅度更大，所以比更扁，即，所以B正确.若，当的焦点也在轴上时，，当的焦点在轴上时，和的大小不确定，所以A，C，D都不正确.
7.答案：C
命题意图：本题考查正四棱台的结构特征.
解析：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，则由球的几何性质可知，正四棱台的外接球的球心必在直线上.由题意可得，，连接，，在中，，即，得.在中，，即，得.当球心在线段上时（如图），，当球心在线段的延长线上时（图略），.
8.答案：C
命题意图：本题考查分段函数的图象.
解析：因为与的图象关于轴对称，所以问题转化为的图象与的图象在（）内有5个不同的交点，结合图象可得的值可以是6.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案：BD
命题意图：本题考查空间位置关系的判断.
解析：对于A，由于，，所以，故A错误；
对于B，由于，，所以，故B正确；
对于C，若，，则，可能平行、相交或异面，故C错误；
对于D，若，，则，故D正确.
10.答案：BCD
命题意图：本题考查不等式的性质.
解析：对于A，当，时，，故A错误；
对于B，由得，故B正确；
对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，故C正确；
对于D，最小即数轴上到和的距离之和最小，当且仅当时最小，此时，故D正确.
11.答案：ABD
命题意图：本题考查平面向量与解三角形.
解析：对于A，由，得，所以，所以，因为，所以，所以为等边三角形，所以，故A正确；
对于B，设，由余弦定理，得，由，解得，所以，即，所以，故B正确；
对于C，因为，，，所以与不平行，与不平行，故C错误；
对于D，因为，，所以，又，所以，则由余弦定理知，所以，所以向量在方向上的投影向量为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案：36
命题意图：本题考查排列组合的应用.
解析：先从海口、三亚、琼海这三个城市中任选两个安排在最前面和最后面，中间三个位置可以任意排列，所以不同的游完顺序有种.
13.答案：
命题意图：本题考查三角函数的性质.
解析：当时，，因为在内恰有3个零点，所以结合正弦函数的性质可得，所以.
14.答案：
命题意图：本题考查双曲线与直线的位置关系.
解析：设，易知双曲线的渐近线的方程为，由题意可知，.
由得不妨取，
同理可得，则，，于是，又，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.命题意图：本题考查相互独立事件的概率计算、随机变量的分布列和期望.
解析：（Ⅰ）所求概率为.
（Ⅱ）的所有可能取值为1，2，3，
，
，
.
故的分布列为
的数学期望.
16.命题意图：本题考查面面垂直的证明以及利用空间向量计算二面角.
解析：（Ⅰ）设，如图，取的中点，连接，.
因为为的中点，所以，且，又，所以，
又为等腰直角三角形，，所以且，
所以是二面角的平面角.
易知，所以，所以，
所以平面平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，两两互相垂直，故以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.
设，则，，，
所以，.
设为平面的法向量，
则取.
平面的一个法向量为.
因为，
所以二面角的正弦值为.
17.命题意图：本题考查等比数列的性质及相关运算.
解析：（Ⅰ）设的公比为，
则，所以.
又，所以，所以.
（Ⅱ）因为，
所以，，…，，，
将上面各式累乘得.
所以当时，.
18.命题意图：本题考查利用导数与函数证明不等式.
解析：（Ⅰ）设，则，
当时，，单调递增，
所以当时，，即.
设，则，
当时，，单调递减，
所以当时，，即.
综上可得：当时，.
（Ⅱ）由题意可知直线的方程为，设，，
不妨设，则.
由（Ⅰ）知：当时，，
所以，整理可得，即，所以.
在中，用替换可得，所以，
所以，即，所以.
所以.
19.命题意图：本题考查抛物线、圆与直线的综合问题.
解析：（Ⅰ）设点的坐标为，由题意得，
两边平方得，整理得，
即的方程为.
由题意知动点总在圆外，所以，所以.
又因为，当时等号成立，
所以，解得，
所以的方程为.
（Ⅱ）因为与有两个交点，所以不与轴平行，设，
因为与圆相切，所以，所以.
由消去可得，
易知，设，，则，.
所以，
由（Ⅰ）知，所以，
因为，，所以，即或.
设，或.
则，
当时，，单调递增，所以.
当时，，单调递减，所以.
所以的最小值为，的最小值为.
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