2024年广东省广州市天河区大观学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 分数的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵
∴分数的倒数是
故选：C．
2. 下列计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3. 2023年2月10号，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：28000用科学记数法表示为．
故选：A．
4. 下列各点中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为．
故选：A．
5. 现有长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系直接进行求解即可．
【详解】解：当取这三根木棒时，则有：，故不可以构成三角形；
当取这三根木棒时，则有，故不能构成三角形；
当取这三根木棒时，则有，故能构成三角形；
当取这三根木棒时，则有，故可以构成三角形；
∴能构成三角形有2个；
故选B．
6. 某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四名运动员10次射击成绩的平均数（单位：环）与方差如右表所示．根据表中数据，这四人中成绩好且发挥稳定的是（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平均数和方差的意义，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较成绩的稳定程度即可．
【详解】解：甲、丙、丁射击成绩的平均成绩相同，
∵丁的方差＜甲的方差＜丙的方差，
∴丁的成绩比较稳定，
∴成绩好且发挥稳定的运动员是丁，
故选：D．
7. 如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△AEC和△AFC一定全等的条件是（ ）
A. ∠AEC＝∠AFCB. EC＝FCC. AE＝AFD. ∠BAE＝∠DAF
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACE＝∠ACF，
A、在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（AAS），故选项A不符合题意；
B、在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（SAS），故选项B不符合题意；
C、由AE＝AF，∠ACE＝∠ACF，AC＝AC，不能判定△AEC和△AFC一定全等，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠CAE＝∠CAF，
在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握相关性质与定理．
8. 如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于第一象限的点，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式，根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2＝4n，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4n2，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积−小正方形的面积即可求出结果．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A（1，n），
∴k＝1×n＝n，
∴反比例函数的解析式为，
∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为（m，m），
∵反比例函数的图象经过B点，
∴m2＝n，
∴小正方形的面积为4m2＝4n，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，n），
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（n，n），
∴大正方形的面积为4n2，
∴图中阴影部分的面积为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，是解决问题的关键．
9. 如图，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为( )
A. ﹣3B. 3C. ﹣2D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据点的平移规律即点A平移到A1得到平移的规律，再按此规律平移B点得到B1，从而得到B1点的坐标，于是可求出a、b的值，然后计算a+b即可.
【详解】解：∵点A(0，1)向下平移2个单位，得到点A1(a，﹣1)，点B(2，0)向左平移1个单位，得到点B1(1，b)，
∴线段AB向下平移2个单位，向左平移1个单位得到线段A1B1，
∴A1(﹣1，﹣1)，B1(1，﹣2)，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
∴a+b＝﹣1﹣2＝﹣3.
故选：A.
【点睛】本题考查了直角坐标系中点的平移规律，解决本题的关键是熟知坐标平移规律上加下减、右加左减.
10. 如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥若，是抛物线上两点，且，则实数m的取值范围是．其中正确结论的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意知，由二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，可解得，，可判断①的正误；由图象可知方程有两个不相等的实数根，可判断②的正误；由，可判断③的正误；由，可判断④的正误；由，可判断⑤的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，实数m的取值范围是，可判断⑥的正误．
【详解】解：由题意知，，
∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，
∴，，
∴，，
∴，①正确，故符合要求；
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，②正确，故符合要求；
∵，
∴③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，④正确，故符合要求；
∵，
∴⑤错误，故不符合要求；
由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，
∵，
由函数的图象与性质可知，实数m的取值范围是，⑥正确，故符合要求；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】先化简 ，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“二次根式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．
12. 分解因式：___．
【答案】##
【解析】
【分析】先提取公因式5，后用和的完全平方公式即可．
详解】∵，
故答案为．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，后用公式的解题策略是解题的关键．
13. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，且一个角的三倍比另一个角的倍多，则这两个角的度数分别为____________________．
【答案】和或和
【解析】
【分析】本题考查了垂线，两个角的两边两两互相垂直，则这两个角相等或互补，如图，再结合题意列方程求解即可．解决问题的关键在于分情况讨论，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
【详解】解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．
设一个角为，另一个角为，
根据题意得，①当时，，
解得：；
②当时， ，
解得：，则，
∴这两个角的度数分别为和或和，
故答案为：和或和．
14. 二次函数的图象的对称轴是直线______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由二次函数，可得该二次函数的对称轴为直线；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
15. 若是方程的两根，则___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数关系得出，，进而根据完全平方公式变形，即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆过点A（20，0），直线y＝kx﹣6k＋8与⊙O交于B、C两点，则弦BC长的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线y=kx-6k+8必过点D（6，8），求出最短的弦CB是过点D且与该圆过点D的直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（20，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．
【详解】解：∵直线y=kx-6k+8=k（x-6）+8，
∴k（x-6）=y-8，
∵k有无数个值，
∴x-6=0，y-8=0，解得x=6，y=8，
∴直线必过点D（6，8），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（6，8），
∴由勾股定理得：OD=10，
∵以原点O为圆心的圆过点A（20，0），
∴圆的半径为20，
∴OB=20，
∴BD=，
∴BC的长的最小值为2BD=；
故答案：．
【点睛】本题考查一次函数的图像性质、垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，解题关键是求出BC最短时的位置．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，求零次幂，进行实数的计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，求零次幂是解题的关键．
18. 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）见解析；（2）71°．
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
（2）由（1）可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数；
【详解】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=38°，
∴∠C=∠EDC=71°，
∴∠BDE=∠C=71°．
【点睛】此题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
19. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值.
【答案】，当时，原式(或者选择当时，原式)
【解析】
【分析】先运用分式的通分化简括号内的式子，再运算分式的除法，熟练掌握分式化简求值以及注意分母不为0是解题的关键．
【详解】解：

，
∵或2时，分母为，分式无意义，
∴只能取或1，
∴当时，原式，（或者选择当时，原式）．
20. 某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为．
（1）在统计表中，______，______，______；
（2）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）5，，15
（2）
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图中D段对应扇形圆心角为，D段人数为10人，可求出总人数，即可求出b，c，a的值；
（2）通过列举所选情况可知：共20种结果，并且它们出现的可能性相等，其中其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：总人数为：（人，
∴，（人，
∴（人，
故答案为：5，，15；
【小问2详解】
解：由（1）可知：段有男生2人，女生3人，
记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，
共20种结果，并且它们出现的可能性相等，
其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，
即恰好选到1名男生和1名女生的概率的概率为．
21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A、．
（1）求点A、B的坐标；
（2）观察图象写出不等式的解集；
（3）若位于第三象限的点在反比例函数的图象上，且是以为底的等腰三角形，请直接写出点的坐标和的面积；
【答案】（1）A（1，4），B（4，1）；
（2）1