2024年广东省广州市仲元中学年中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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满分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数中，比小的数是（ ）
A. 0B. C. D. 3
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【新素材】
3. 年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于年月日至月日在法国巴黎举行．下面年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 点到直线的距离为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6. 如图，四边形是平行四边形，平分线分别交边于点．若，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最小整数值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
8. 如图，某办公区东、西两栋办公楼的高度均为．下午时，东楼二层离地面的阳台、西楼的楼顶与太阳恰好在一条直线上，太阳光线与该阳台所在水平线所成的角是，则这两栋办公楼之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【新趋势•跨学科】
9. 如图，电路图上有个开关，电源、小灯泡和线路都能正常工作，若随机闭合个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知抛物线与轴交于点，其中为常数，则该抛物线顶点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11. 单项式的次数是___________
12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，若的面积为，则的面积为______．
13. 已知点在双曲线上，若，则的取值范围是______．
【数学文化】
14. 公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第个图形中的点数为______．
【新考法•菱形网络】
15. 如图是相同的边长为的菱形组成的网格，已知，点均在小菱形的格点（网格线的交点）上，且点在上，则的长为______．
三、解答题（一）：本大题共4小题，第16，17题各5分，第18，19题各7分，共24分．
16. 计算：．
17. 解不等式组：
【新情境】
18. 2024年3月12日，某校组织九年级300名学生开展植树活动，活动结束后，随机抽查了若干名学生每人的植树数量，将统计结果分成四种类型：A．3棵，B．4棵，C．5棵，D．6棵，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）被抽查学生每人植树数量的中位数是 棵；
（3）估计九年级300名学生共植树多少棵．
19. 如图，在菱形中，对角线相交于点．
（1）尺规作图：在菱形的边上方找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断四边形的形状，并给出证明．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
【新情境•研学旅行】
20. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费元，再额外收取每人元；乙旅行社收费标准：每人收取元．该中学第一批组织了名学生参加，总费用为元．
（1）求甲旅行社一次最多能接待的人数；
（2）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过元，试求每批组织人数的合理范围．
21. 如图，是等边三角形的外接圆，点为劣弧上一点，连接，过点作的平行线交的延长线于点．
（1）求证：平分；
（2）求证：是的切线．
【2023年广东中考新题型】
22. 综合与实践
主题：装饰锥形草帽．
素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．
步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形．
步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．
计算与探究：
（）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；
（）如图（），根据（）计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
23. 课本再现
我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于．我们是通过度量或剪拼得出这一结论的，图（1）、（2）分别是两位同学拼合的图形．
定理证明
（1）请你证明“三角形内角和是” ．
已知：（如图（3））．
求证： ．
深入探究
（2）三角形的内角和是，那么四边形（如图（4））的内角和是多少度呢？请你证明你的结论．
结论应用
（3）如图（5），在中，为中点，点在上，且，求的长．
24. 综合应用
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线与抛物线在第二象限交于点，若动点在上运动，线段绕点顺时针旋转，点首次落在轴上时记为点，在点运动过程中，判断的大小是否发生变化？并说明理由．
（3）在（）条件下，连接，记的外接圆的最小面积为，记的外接圆的最大面积为，试求的值（结果保留）．