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2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市正则集团七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市正则集团七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列现象是数学中的平移的是( )
A. 树叶从树上落下B. 碟片在光驱中运行
C. 电梯从底楼升到顶楼D. 卫星绕地球运动
2.下列图形中，由AB//CD，能得到∠1=∠2的是( )
A. B.
C. D.
3.一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行，已知第一次向左拐50°，那么第二次向右拐( )
A. 40°B. 50°C. 130°D. 150°
4.下列说法中，正确的个数有( )
①若一个多边形的外角和等于360°，则这个多边形的边数为4；②三角形的高相交于三角形的内部；③三角形的一个外角大于任意一个内角；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；⑤对角线共有5条的多边形是五边形．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD=2CD，AE=CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF−S△AEF等于( )
A. 3B. 185C. 92D. 6
6.如图，一质点P从距原点8个单位长度的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M1处，第二次从点M1处跳到OM1的中点M2处，第三次从点M2处跳到OM2的中点M3处，如此不断跳动下去，则第2023次跳动后，该质点到原点O的距离为( )
A. 2−2018B. 2−2019C. 2−2020D. 2−2021
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.a6÷a2=______．
8.比较大小：2−2______30.(选填>，=，<)
9.一个多边形的内角和等于540°，那么这个多边形为______边形．
10. 如图，已知a//b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=65°，那么∠2是______°.
11.小丽将两块完全相同的直角三角尺如图所示，拼在一起，沿着三角尺的斜边画出线段AB和CD，则小丽判定AB//CD，她的依据是______．
12.已知三角形的两边长分别为3和5，则这个三角形的第三边长可以是______(写出一个即可)．
13.如图，将长为6cm，宽为4cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为______cm2．
14.若3a2−a−2=0，则−6a2+2a= ______．
15.若正六边形ABCDEF与正方形ABGH按图中所示摆放，连接FH，则∠AFH+∠AHF=______．
16.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为______．
17.如图，在三角形ABC中，BC=8cm，将三角形ABC以每秒3cm的速度沿BC所在直线向右平移，所得图形对应为三角形DEF，设平移时间为t秒，若要使AD=3CE成立，则t的值为______．
18.如图，点C为直线AB外一动点，AB=5，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为6时，线段AC长度的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
(1)−22+(−12)−2−(π−3)0−|−3|；
(2)12abc⋅(−12ab2)；
(3)(a−b)2⋅(a−b)4+(b−a)3⋅(a−b)3；
(4)(−0.125)2019×82020．
20.(本小题8分)
(1)若2x+5y−3=0，求4x⋅32y的值．
(2)若n为正整数，且x2n=4，求(3x3n)2−4(x2)2n的值．
21.(本小题8分)
完成下面的证明：
如图.在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数．
解：∵BE平分∠ABC(已知)，
∴∠2= ______(______)，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1= ______(______)，
∴AD//BC(______)，
∴∠C+ ______=180°(______)，
又∵∠C=110°(已知)，
∴∠D= ______．
22.(本小题6分)
一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°．
(1)求这个多边形的边数和内角和；
(2)从该多边形的一个顶点作对角线，则所作的对角线条数为______，此时多边形中有______个三角形．
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)CD与EF平行吗？为什么？
(2)如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．
24.(本小题6分)
如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC(即△ABC的各顶点都在格点上).按要求进行下列作图：
(1)画出点c到线段AB的垂线段，垂足为D；
(2)画出将△ABC先向左平移2格.再向上平移3格后的△A′B′C′；
(3)两一条直线m，将△ABC分成两个面积相等的三角形．
25.(本小题6分)
如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
(2)在△BED中作BD边上的高；
(3)若△ABC的面积为40，BD=5，求BD边上的高．
26.(本小题8分)
记M(1)=−2，M(2)=(−2)×(−2)，M(3)=(−2)×(−2)×(−2)，⋯，M(n)=(−2)×(−2)×⋯×(−2)．
(1)计算：M(5)+M(6)；
(2)求2M(2023)+M(2024)的值；
(3)说明2M(n)与M(n+1)互为相反数．
27.(本小题10分)
阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550−1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707−1783年)才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN，比如指数式24=16可以转化为对数式4=lg216，对数式2=lg39可以转化为指数式32=9．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
lga(M⋅N)=lgaM+lgaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下：
设lgaM=m，lgaN=n，则M=am，N=an，
∴M⋅N=am⋅an=am+n，由对数的定义得m+n=lga(M⋅N)．
又∵m+n=lgaM+lgaN，
∴lga(M⋅N)=lgaM+lgaN.
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
(1)填空：①lg232= ______，②lg71= ______；
(2)求证：lgaMN=lgaM−lgaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)；
(3)拓展运用：计算lg5125+lg56−lg530．
28.(本小题8分)
某学习小组发现一个结论：已知直线a//b，若直线c//a，则c//b.他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线AB//CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
(1)如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理由；
(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=130°时，求出∠PFQ的度数；
(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ=80°时，请直接写出∠PFQ的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、树叶从树上落下不是平移，故此选项错误；
B、碟片在光驱中行是旋转，不是平移，故此选项错误；
C、电梯由一楼升顶楼是平移，故此选项正确；
D、卫星绕地球运动是旋转，不是平移，故此选项错误；
故选：C．
根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动叫平移，学生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵AB//CD，
∴∠1+∠2=180°，∠1与∠2不一定相等，不符合题意；
B、∵AB//CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，正确，符合题意；
C、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1=∠2，不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠BAD=∠CDA，
若AC//BD，可得∠1=∠2，不符合题意；
故选：B．
根据平行线的性质逐项判断即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
根据平行线的性质两条直线平行，同位角相等作答．
此题首先能够把实际问题转化为几何问题，然后运用平行线的性质求解．
【解答】
如图，根据两直线平行，同位角相等得第二次向右拐50°．
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：①任何一个多边形的外角和等于360°，故说法①错误；
②只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故说法②错误；
③三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，故说法③错误；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，此说法④正确；
⑤对角线共有5条的多边形是七边形，故说法⑤错误；
正确的个数有1个，
故选：A．
根据三角形内外角的关系、三角形垂心的定义及多边形内角和公式、对角线的性质逐一判断可得．
本题主要考查三角形内外角的关系、三角形垂心及多边形内角和、对角线的性质，熟练掌握基本定义和性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵S△ABC=12BC⋅hBC=12AC⋅hAC=18，
∴S△ABC=12(BD+CD)⋅hBC=12(AE+CE)⋅hAC=18，
∵AE=CE=12AC，S△AEB=12AE⋅hAC，S△BCE=12EC⋅hAC，
∴S△AEB=S△CEB=12S△ABC=12×18=9，
即S△AEF+S△ABF=9①，
同理：∵BD=2CD，BD+CD=BC，
∴BD=23BC，S△ABD=12BD⋅hBC，
∴S△ABD=23S△ABC=23×18=12，
即S△BDF+S△ABF=12②，
①−②得：S△BDF−SAEF=(S△BDF+S△ABF)−(S△AEF+S△ABF)=12−9=3，
故选：A．
由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．
6.【答案】C
【解析】解：由题知，
第1次跳动后，该质点到原点O的距离为：4=22；
第2次跳动后，该质点到原点O的距离为：2=21；
第3次跳动后，该质点到原点O的距离为：1=2°；
第4次跳动后，该质点到原点O的距离为：12=2−1；
…
所以第2023次跳动后，该质点到原点O的距离为：2−2020．
故选：C．
根据质点的跳动规律，分别求出点Mi(i为正整数)所表示的数，找出规律即可解决问题．
本题考查点的运动规律，能根据题意得出每次运动后点距原点的距离是上一个点距原点距离的一半是解题的关键．
7.【答案】a4
【解析】【分析】
根据同底数幂的除法，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
【解答】
解：a6÷a2=a4．
故答案为：a4．
8.【答案】<
【解析】解：∵2−2=14，30=1，
∴2−2<30，
故答案为：<．
先分别计算2−2和30的值，再进行比较大小，即可得出答案．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂和零指数幂的意义是解决问题的关键．
9.【答案】五
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
∴(n−2)⋅180°=540°，
∴n=5．
故答案为五．
根据n边形的内角和为(n−2)⋅180°得到(n−2)⋅180°=540°，然后解方程即可．
本题考查了多边的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)⋅180°．
10.【答案】25
【解析】解：∵a//b，
∴∠3=∠1=65°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
则∠2=90°−∠3=90°−65°=25°．
故答案为：25．
根据平行线的性质求出∠3，再由AC⊥AB得出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，注意掌握两直线平行内错角相等和互余两角之和为90°．
11.【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】解：由题意：∠BCD=∠ABC=30°，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
根据内错角相等，两直线平行即可判断．
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12.【答案】答案不唯一，如：3
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于5−3=2，而小于5+3=8，
故第三边的长度2故答案为：答案不唯一，如：3．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
13.【答案】12
【解析】解：由题意，阴影部分是矩形，长为(6−2)cm，宽为(4−1)cm，
∴阴影部分的面积=(6−2)(4−1)=12(cm2)，
故答案为：12．
利用平移的性质求出阴影部分矩形的长，宽即可解决问题．
本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】−4
【解析】【分析】
本题考查了代数式求值问题中整体代入的思想．观察已知等式与所求的代数式，本题可采用整体代入的方法．
【解答】解：由3a2−a−2=0，得3a2−a=2，
∴−6a2+2a=−2(3a2−a)=−2×2=−4．
故答案为−4．
15.【答案】30°
【解析】本题考查正多边形的内角；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
分别求出正六边形和正方形的一个内角度数，再求出∠FAH的度数，即可根据三角形内角和求解．
解：∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6=120°，
正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠FAH=360°−120°−90°=150°，
∴∠AFH+∠AHF=180°−150°=30°．
故答案为：30°．
16.【答案】70°或30°
【解析】解：如图1，∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°，
如图2，∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=50°−20°=30°
故答案为：70°或30°．
分两种情况画出相应的图形，再根据三角形的高以及内角和定理可求出∠BAD的度数，由图形中角的和差关系进行计算即可．
本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°，分类讨论思想是解题的关键．
17.【答案】2或4
【解析】解：①当点E移点C右侧时，
∵AD=BE=BC+CE=3CE，
∴CE=4，
∴AD=12，
∴t=12÷3=4，
∴当t=4时，AD=3CE；
②当点E在点B，点C之间时，
∵AD=BE=CF=3CE，
∴BC=BE+CE=BE+13BE=8，
∴BE=6，
∴t=2，
当t=2时，AD=3CE；
故答案为：2或4．
①当点E移点C右侧时，②当点E在点B，点C之间时，根据题意列方程即可得到结论．
本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出CF的长是解答此题的关键．
18.【答案】365
【解析】解：如图，连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，
∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD+S△BFD，S△CEF=S△BEF，
∴S△CEF+S四边形BDFE=S△CEF+SACF，S△AFD+S△CEF=S△BEF+S△BFD=S四边形BDFE=6，
∴S四边形BDFE=S△ACF=6，
∴S△ABC=S△ACF+S四边形BDFE+S△AFD+S△CEF=18，
∴12AB⋅CH=18，
∴CH=365，
∵点到到直线的距离垂线段最短，
∴AC≥CH=365，
∴AC的最小值为365．
故答案为：365．
连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，根据三角形中线性质只需求出S△ABC=16，进而求出CH=365，即可利用点到到直线的距离垂线段最短求解．
本题主要考查了三角形中线的性质、点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)−22+(−12)−2−(π−3)0−|−3|
=−4+4−1−3
=−4；
(2)12abc⋅(−12ab2)=−14a2b3c；
(3)(a−b)2⋅(a−b)4+(b−a)3⋅(a−b)3
=(a−b)6−(a−b)3⋅(a−b)3
=(a−b)6−(a−b)6
=0；
(4)(−0.125)2019×82020
=(−0.125)2019×82019×8
=(−0.125×8)2019×8
=(−1)2019×8
=−1×8
=−8．
【解析】(1)先根据乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义化简，再算加减；
(2)根据单项式与单项式的乘法法则计算即可；
(3)先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项；
(4)逆用积的乘方法则计算即可．
本题考查了柳年糕指数幂、零指数幂的意义，以及整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)4x⋅32y=22x⋅25y=22x+5y，
∵2x+5y−3=0，
∴2x+5y=3，
∴原式=23=8．
(2)∵x2n=4，
∴(3x3n)2−4(x2)2n
=9x6n−4x4n
=9(x2n)3−4(x2n)2
=9×43−4×42
=512．
【解析】(1)先根据同底数幂乘法和幂的乘方法则变形，再把2x+5y=3代入行计算即可；
(2)先根据幂的乘方的运算法则变形，再把x2n=4代入计算即可．
本题考查幂的运算，掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则是解题的关键．
21.【答案】∠EBC 角平分线的定义 ∠EBC 等量代换 内错角相等，两直线平行 ∠D 两直线平行，同旁内角互补 70°
【解析】解：∵BE平分∠ABC(已知)，
∴∠2=∠EBC(角平分线的定义)，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠EBC(等量代换)，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠C+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠C=110°(已知)，
∴∠D=70°．
故答案为：∠EBC；角平分线的定义；∠EBC；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，同旁内角互补；70°．
根据角平分线的定义得到∠2=∠EBC，又根据∠1=∠2等量代换得到∠1=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行得到AD//BC，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠C+∠D=180°，根据∠C=110°即可得出答案．
本题考查了平行线的判定与性质，根据角平分线的定义得到∠2=∠EBC，又根据∠1=∠2等量代换得到∠1=∠EBC是解题的关键．
22.【答案】(n−3) (n−2)
【解析】解：(1)360°×3−180°
=1080°−180°
=900°．
故这个多边形的边数和内角和是900°；
(2)设这个多边形的边数为n，则内角和为180°(n−2)，依题意得：
180(n−2)=360×3−180，
解得n=7，
则从该多边形的一个顶点作对角线，则所作的对角线条数为(n−3)，此时多边形中有(n−2)个三角形．
故答案为：(n−3)，(n−2)．
(1)一个多边形的内角和等于外角和的3倍少180°，而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于900°．
(2)n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从n边形一个顶点可以引(n−3)条对角线，此时多边形中有(n−2)个三角形．
23.【答案】解：(1)CD与EF平行．理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∵垂直于同一直线的两直线互相平行，
∴CD//EF；
(2)∵CD//EF，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG//BC，
∴∠ACB=∠3=115°．
【解析】(1)根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出答案；
(2)先根据已知条件判断出DG//BC，再根据两直线平行，同位角相等即可得出结论．
本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理及性质是解答此题的关键．
24.【答案】解：(1)如图所示：CD即为所求；
(2)如图所示：△A′B′C′，即为所求；
(3)如图所示：三角形ABC三条中线所在直线，即为所求．
【解析】(1)直接利用钝角三角形高线作法得出答案；
(2)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)利用三角形中线平分其面积进而得出答案．
此题主要考查了平移变换以及基本作图，正确得出对应点位置是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵∠BED=∠ABE+∠BAD，∠ABE=15°，∠BAD=40°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°．
(2)如图，作EF⊥BD于F，则EF为BD边上的高；
(3)∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC，
∵BE为△ABD的中线，
∴S△ABE=S△BED=12S△ABD，
∵S△ABC=40，
∴S△BED=12BD⋅EF=10，
∵BD=5，
∴EF=4，
∴△BDE中BD边上的高为4．
【解析】(1)利用三角形外角的性质即可求得；
(2)用直尺作EF⊥BC于F即可；
(3)三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得△ABD的面积，再由S△ABD再求出三角形BDE的面积，则得BD边上的高．
本题考查了作图−基本作图、三角形的面积，解决本题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半．
26.【答案】解：(1)M(5)+M(6)
=(−2)5+(−2)6
=−32+64
=32；
(2)2M(2023)+M(2024)
=2×(−2)2023+(−2)2024
=2×22023−22024
=22024−22024
=0；
(3)2M(n)与M(n+1)互为相反数．理由如下：
因为2M(n)+M(n+1)=−(−2)×(−2)n+(−2)n+1=−(−2)n+1+(−2)n+1=0，
所以2M(n)与M(n+1)互为相反数．
【解析】(1)利用新定义得到M(5)+M(6)=(−2)5+(−2)6，然后利用乘方的意义计算；
(2)利用新定义得到2M(2023)+M(2024)=2×(−2)203+(−2)2024，然后根据同底数幂的乘法进行计算；
(3)利用新定义得到2M(n)+M(n+1)=−(−2)×(−2)n+(−2)n+1，然后根据同底数幂的乘法计算出它们的和为0，从而可判断2M(n)与M(n+1)互为相反数．
本题考查了数字变化的规律、互为相反数的知识，找出规律并熟练掌握同底数幂的除法法则是解决问题的关键．
27.【答案】5 0
【解析】解：(1由定义可知：
lg232=lg225=5，
lg71=lg770=0；
故答案为：5，0；
(2)证明：设lgaM=m，lgaN=n，
则：M=am，N=an，
∴MN=aman=am−n，
由对数的定义得：m−n=lgaMN，
又∵m−n=lgaM−lgaN，
∴lgaMN=lgaM−lgaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)；
(3)原式=lg5(125×6÷30)
=lg525
=2．
(1)直接根据定义计算即可；
(2)先设lgaM=m，lgaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算MN的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
(3)根据公式：lga(M⋅N)=lgaM+lgaN和lgaMN=lgaM−lgaN的逆用，将所求式子表示为：lg5(125×6÷30)，计算可得结论．
本题考查了有理数的混合运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系．
28.【答案】解：(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE，
如图1，过点E作EH//AB，则EH//AB//CD，
∵AB//EH，
∴∠APE=∠PEH，
又∵CD//EH，
∴∠CQE=∠HEQ，
∵∠PEQ=∠PEH+HEQ，
∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；
(2)如图2，由(1)得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=130°；
∵∠APE+∠BPE=180°，∠CQE+∠DQE=180°，
∴∠BPE+∠DQE=360°−130°=230°，
又∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=12(∠BPE+∠DQE)=12×230°=115°，
在四边形PEQF中，
∠PFQ=360°−(∠1+∠3+∠PEQ)=360°−(115°+130°)=115°；
(3)140°，如图3，延长PF交CD与点M，
∵PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AB//CD，
∴∠BPE=∠DNE，∠2=∠PMC=∠1，
又∵∠DQE=∠DNE+∠E，即2∠4=2∠1+80°，
∴∠4−∠1=40°，
∴∠PFQ=∠FQD+∠PMC=180°−∠4+∠1=180°−(∠4−∠1)=180°−40°=140°．
【解析】(1)根据平行线的性质，得出∠APE=∠PEH，∠CQE=∠HEQ，进而得出结论；
(2)根据角平分线的定义、平角的意义以及四边形的内角和即可求解；
(3)利用角平分线、平角、三角形的内角和、平行线的性质以及等量代换进行计算即可．
本题考查平行线的性质、三角形内角和、角平分线的定义、平角等知识，通过图形得出各个角之间的关系是解决问题的前提，等量代换起到至关重要的作用．
1.下列现象是数学中的平移的是( )
A. 树叶从树上落下B. 碟片在光驱中运行
C. 电梯从底楼升到顶楼D. 卫星绕地球运动
2.下列图形中，由AB//CD，能得到∠1=∠2的是( )
A. B.
C. D.
3.一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行，已知第一次向左拐50°，那么第二次向右拐( )
A. 40°B. 50°C. 130°D. 150°
4.下列说法中，正确的个数有( )
①若一个多边形的外角和等于360°，则这个多边形的边数为4；②三角形的高相交于三角形的内部；③三角形的一个外角大于任意一个内角；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；⑤对角线共有5条的多边形是五边形．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD=2CD，AE=CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF−S△AEF等于( )
A. 3B. 185C. 92D. 6
6.如图，一质点P从距原点8个单位长度的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M1处，第二次从点M1处跳到OM1的中点M2处，第三次从点M2处跳到OM2的中点M3处，如此不断跳动下去，则第2023次跳动后，该质点到原点O的距离为( )
A. 2−2018B. 2−2019C. 2−2020D. 2−2021
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.a6÷a2=______．
8.比较大小：2−2______30.(选填>，=，<)
9.一个多边形的内角和等于540°，那么这个多边形为______边形．
10. 如图，已知a//b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=65°，那么∠2是______°.
11.小丽将两块完全相同的直角三角尺如图所示，拼在一起，沿着三角尺的斜边画出线段AB和CD，则小丽判定AB//CD，她的依据是______．
12.已知三角形的两边长分别为3和5，则这个三角形的第三边长可以是______(写出一个即可)．
13.如图，将长为6cm，宽为4cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为______cm2．
14.若3a2−a−2=0，则−6a2+2a= ______．
15.若正六边形ABCDEF与正方形ABGH按图中所示摆放，连接FH，则∠AFH+∠AHF=______．
16.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为______．
17.如图，在三角形ABC中，BC=8cm，将三角形ABC以每秒3cm的速度沿BC所在直线向右平移，所得图形对应为三角形DEF，设平移时间为t秒，若要使AD=3CE成立，则t的值为______．
18.如图，点C为直线AB外一动点，AB=5，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为6时，线段AC长度的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
(1)−22+(−12)−2−(π−3)0−|−3|；
(2)12abc⋅(−12ab2)；
(3)(a−b)2⋅(a−b)4+(b−a)3⋅(a−b)3；
(4)(−0.125)2019×82020．
20.(本小题8分)
(1)若2x+5y−3=0，求4x⋅32y的值．
(2)若n为正整数，且x2n=4，求(3x3n)2−4(x2)2n的值．
21.(本小题8分)
完成下面的证明：
如图.在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数．
解：∵BE平分∠ABC(已知)，
∴∠2= ______(______)，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1= ______(______)，
∴AD//BC(______)，
∴∠C+ ______=180°(______)，
又∵∠C=110°(已知)，
∴∠D= ______．
22.(本小题6分)
一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°．
(1)求这个多边形的边数和内角和；
(2)从该多边形的一个顶点作对角线，则所作的对角线条数为______，此时多边形中有______个三角形．
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)CD与EF平行吗？为什么？
(2)如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．
24.(本小题6分)
如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC(即△ABC的各顶点都在格点上).按要求进行下列作图：
(1)画出点c到线段AB的垂线段，垂足为D；
(2)画出将△ABC先向左平移2格.再向上平移3格后的△A′B′C′；
(3)两一条直线m，将△ABC分成两个面积相等的三角形．
25.(本小题6分)
如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
(2)在△BED中作BD边上的高；
(3)若△ABC的面积为40，BD=5，求BD边上的高．
26.(本小题8分)
记M(1)=−2，M(2)=(−2)×(−2)，M(3)=(−2)×(−2)×(−2)，⋯，M(n)=(−2)×(−2)×⋯×(−2)．
(1)计算：M(5)+M(6)；
(2)求2M(2023)+M(2024)的值；
(3)说明2M(n)与M(n+1)互为相反数．
27.(本小题10分)
阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550−1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707−1783年)才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN，比如指数式24=16可以转化为对数式4=lg216，对数式2=lg39可以转化为指数式32=9．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
lga(M⋅N)=lgaM+lgaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下：
设lgaM=m，lgaN=n，则M=am，N=an，
∴M⋅N=am⋅an=am+n，由对数的定义得m+n=lga(M⋅N)．
又∵m+n=lgaM+lgaN，
∴lga(M⋅N)=lgaM+lgaN.
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
(1)填空：①lg232= ______，②lg71= ______；
(2)求证：lgaMN=lgaM−lgaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)；
(3)拓展运用：计算lg5125+lg56−lg530．
28.(本小题8分)
某学习小组发现一个结论：已知直线a//b，若直线c//a，则c//b.他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线AB//CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
(1)如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理由；
(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=130°时，求出∠PFQ的度数；
(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ=80°时，请直接写出∠PFQ的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、树叶从树上落下不是平移，故此选项错误；
B、碟片在光驱中行是旋转，不是平移，故此选项错误；
C、电梯由一楼升顶楼是平移，故此选项正确；
D、卫星绕地球运动是旋转，不是平移，故此选项错误；
故选：C．
根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动叫平移，学生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵AB//CD，
∴∠1+∠2=180°，∠1与∠2不一定相等，不符合题意；
B、∵AB//CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，正确，符合题意；
C、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1=∠2，不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠BAD=∠CDA，
若AC//BD，可得∠1=∠2，不符合题意；
故选：B．
根据平行线的性质逐项判断即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
根据平行线的性质两条直线平行，同位角相等作答．
此题首先能够把实际问题转化为几何问题，然后运用平行线的性质求解．
【解答】
如图，根据两直线平行，同位角相等得第二次向右拐50°．
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：①任何一个多边形的外角和等于360°，故说法①错误；
②只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故说法②错误；
③三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，故说法③错误；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，此说法④正确；
⑤对角线共有5条的多边形是七边形，故说法⑤错误；
正确的个数有1个，
故选：A．
根据三角形内外角的关系、三角形垂心的定义及多边形内角和公式、对角线的性质逐一判断可得．
本题主要考查三角形内外角的关系、三角形垂心及多边形内角和、对角线的性质，熟练掌握基本定义和性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵S△ABC=12BC⋅hBC=12AC⋅hAC=18，
∴S△ABC=12(BD+CD)⋅hBC=12(AE+CE)⋅hAC=18，
∵AE=CE=12AC，S△AEB=12AE⋅hAC，S△BCE=12EC⋅hAC，
∴S△AEB=S△CEB=12S△ABC=12×18=9，
即S△AEF+S△ABF=9①，
同理：∵BD=2CD，BD+CD=BC，
∴BD=23BC，S△ABD=12BD⋅hBC，
∴S△ABD=23S△ABC=23×18=12，
即S△BDF+S△ABF=12②，
①−②得：S△BDF−SAEF=(S△BDF+S△ABF)−(S△AEF+S△ABF)=12−9=3，
故选：A．
由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．
6.【答案】C
【解析】解：由题知，
第1次跳动后，该质点到原点O的距离为：4=22；
第2次跳动后，该质点到原点O的距离为：2=21；
第3次跳动后，该质点到原点O的距离为：1=2°；
第4次跳动后，该质点到原点O的距离为：12=2−1；
…
所以第2023次跳动后，该质点到原点O的距离为：2−2020．
故选：C．
根据质点的跳动规律，分别求出点Mi(i为正整数)所表示的数，找出规律即可解决问题．
本题考查点的运动规律，能根据题意得出每次运动后点距原点的距离是上一个点距原点距离的一半是解题的关键．
7.【答案】a4
【解析】【分析】
根据同底数幂的除法，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
【解答】
解：a6÷a2=a4．
故答案为：a4．
8.【答案】<
【解析】解：∵2−2=14，30=1，
∴2−2<30，
故答案为：<．
先分别计算2−2和30的值，再进行比较大小，即可得出答案．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂和零指数幂的意义是解决问题的关键．
9.【答案】五
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
∴(n−2)⋅180°=540°，
∴n=5．
故答案为五．
根据n边形的内角和为(n−2)⋅180°得到(n−2)⋅180°=540°，然后解方程即可．
本题考查了多边的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)⋅180°．
10.【答案】25
【解析】解：∵a//b，
∴∠3=∠1=65°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
则∠2=90°−∠3=90°−65°=25°．
故答案为：25．
根据平行线的性质求出∠3，再由AC⊥AB得出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，注意掌握两直线平行内错角相等和互余两角之和为90°．
11.【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】解：由题意：∠BCD=∠ABC=30°，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
根据内错角相等，两直线平行即可判断．
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12.【答案】答案不唯一，如：3
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于5−3=2，而小于5+3=8，
故第三边的长度2
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
13.【答案】12
【解析】解：由题意，阴影部分是矩形，长为(6−2)cm，宽为(4−1)cm，
∴阴影部分的面积=(6−2)(4−1)=12(cm2)，
故答案为：12．
利用平移的性质求出阴影部分矩形的长，宽即可解决问题．
本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】−4
【解析】【分析】
本题考查了代数式求值问题中整体代入的思想．观察已知等式与所求的代数式，本题可采用整体代入的方法．
【解答】解：由3a2−a−2=0，得3a2−a=2，
∴−6a2+2a=−2(3a2−a)=−2×2=−4．
故答案为−4．
15.【答案】30°
【解析】本题考查正多边形的内角；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
分别求出正六边形和正方形的一个内角度数，再求出∠FAH的度数，即可根据三角形内角和求解．
解：∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6=120°，
正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠FAH=360°−120°−90°=150°，
∴∠AFH+∠AHF=180°−150°=30°．
故答案为：30°．
16.【答案】70°或30°
【解析】解：如图1，∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°，
如图2，∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=50°−20°=30°
故答案为：70°或30°．
分两种情况画出相应的图形，再根据三角形的高以及内角和定理可求出∠BAD的度数，由图形中角的和差关系进行计算即可．
本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°，分类讨论思想是解题的关键．
17.【答案】2或4
【解析】解：①当点E移点C右侧时，
∵AD=BE=BC+CE=3CE，
∴CE=4，
∴AD=12，
∴t=12÷3=4，
∴当t=4时，AD=3CE；
②当点E在点B，点C之间时，
∵AD=BE=CF=3CE，
∴BC=BE+CE=BE+13BE=8，
∴BE=6，
∴t=2，
当t=2时，AD=3CE；
故答案为：2或4．
①当点E移点C右侧时，②当点E在点B，点C之间时，根据题意列方程即可得到结论．
本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出CF的长是解答此题的关键．
18.【答案】365
【解析】解：如图，连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，
∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD+S△BFD，S△CEF=S△BEF，
∴S△CEF+S四边形BDFE=S△CEF+SACF，S△AFD+S△CEF=S△BEF+S△BFD=S四边形BDFE=6，
∴S四边形BDFE=S△ACF=6，
∴S△ABC=S△ACF+S四边形BDFE+S△AFD+S△CEF=18，
∴12AB⋅CH=18，
∴CH=365，
∵点到到直线的距离垂线段最短，
∴AC≥CH=365，
∴AC的最小值为365．
故答案为：365．
连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，根据三角形中线性质只需求出S△ABC=16，进而求出CH=365，即可利用点到到直线的距离垂线段最短求解．
本题主要考查了三角形中线的性质、点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)−22+(−12)−2−(π−3)0−|−3|
=−4+4−1−3
=−4；
(2)12abc⋅(−12ab2)=−14a2b3c；
(3)(a−b)2⋅(a−b)4+(b−a)3⋅(a−b)3
=(a−b)6−(a−b)3⋅(a−b)3
=(a−b)6−(a−b)6
=0；
(4)(−0.125)2019×82020
=(−0.125)2019×82019×8
=(−0.125×8)2019×8
=(−1)2019×8
=−1×8
=−8．
【解析】(1)先根据乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义化简，再算加减；
(2)根据单项式与单项式的乘法法则计算即可；
(3)先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项；
(4)逆用积的乘方法则计算即可．
本题考查了柳年糕指数幂、零指数幂的意义，以及整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)4x⋅32y=22x⋅25y=22x+5y，
∵2x+5y−3=0，
∴2x+5y=3，
∴原式=23=8．
(2)∵x2n=4，
∴(3x3n)2−4(x2)2n
=9x6n−4x4n
=9(x2n)3−4(x2n)2
=9×43−4×42
=512．
【解析】(1)先根据同底数幂乘法和幂的乘方法则变形，再把2x+5y=3代入行计算即可；
(2)先根据幂的乘方的运算法则变形，再把x2n=4代入计算即可．
本题考查幂的运算，掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则是解题的关键．
21.【答案】∠EBC 角平分线的定义 ∠EBC 等量代换 内错角相等，两直线平行 ∠D 两直线平行，同旁内角互补 70°
【解析】解：∵BE平分∠ABC(已知)，
∴∠2=∠EBC(角平分线的定义)，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠EBC(等量代换)，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠C+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠C=110°(已知)，
∴∠D=70°．
故答案为：∠EBC；角平分线的定义；∠EBC；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，同旁内角互补；70°．
根据角平分线的定义得到∠2=∠EBC，又根据∠1=∠2等量代换得到∠1=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行得到AD//BC，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠C+∠D=180°，根据∠C=110°即可得出答案．
本题考查了平行线的判定与性质，根据角平分线的定义得到∠2=∠EBC，又根据∠1=∠2等量代换得到∠1=∠EBC是解题的关键．
22.【答案】(n−3) (n−2)
【解析】解：(1)360°×3−180°
=1080°−180°
=900°．
故这个多边形的边数和内角和是900°；
(2)设这个多边形的边数为n，则内角和为180°(n−2)，依题意得：
180(n−2)=360×3−180，
解得n=7，
则从该多边形的一个顶点作对角线，则所作的对角线条数为(n−3)，此时多边形中有(n−2)个三角形．
故答案为：(n−3)，(n−2)．
(1)一个多边形的内角和等于外角和的3倍少180°，而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于900°．
(2)n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从n边形一个顶点可以引(n−3)条对角线，此时多边形中有(n−2)个三角形．
23.【答案】解：(1)CD与EF平行．理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∵垂直于同一直线的两直线互相平行，
∴CD//EF；
(2)∵CD//EF，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG//BC，
∴∠ACB=∠3=115°．
【解析】(1)根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出答案；
(2)先根据已知条件判断出DG//BC，再根据两直线平行，同位角相等即可得出结论．
本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理及性质是解答此题的关键．
24.【答案】解：(1)如图所示：CD即为所求；
(2)如图所示：△A′B′C′，即为所求；
(3)如图所示：三角形ABC三条中线所在直线，即为所求．
【解析】(1)直接利用钝角三角形高线作法得出答案；
(2)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)利用三角形中线平分其面积进而得出答案．
此题主要考查了平移变换以及基本作图，正确得出对应点位置是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵∠BED=∠ABE+∠BAD，∠ABE=15°，∠BAD=40°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°．
(2)如图，作EF⊥BD于F，则EF为BD边上的高；
(3)∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC，
∵BE为△ABD的中线，
∴S△ABE=S△BED=12S△ABD，
∵S△ABC=40，
∴S△BED=12BD⋅EF=10，
∵BD=5，
∴EF=4，
∴△BDE中BD边上的高为4．
【解析】(1)利用三角形外角的性质即可求得；
(2)用直尺作EF⊥BC于F即可；
(3)三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得△ABD的面积，再由S△ABD再求出三角形BDE的面积，则得BD边上的高．
本题考查了作图−基本作图、三角形的面积，解决本题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半．
26.【答案】解：(1)M(5)+M(6)
=(−2)5+(−2)6
=−32+64
=32；
(2)2M(2023)+M(2024)
=2×(−2)2023+(−2)2024
=2×22023−22024
=22024−22024
=0；
(3)2M(n)与M(n+1)互为相反数．理由如下：
因为2M(n)+M(n+1)=−(−2)×(−2)n+(−2)n+1=−(−2)n+1+(−2)n+1=0，
所以2M(n)与M(n+1)互为相反数．
【解析】(1)利用新定义得到M(5)+M(6)=(−2)5+(−2)6，然后利用乘方的意义计算；
(2)利用新定义得到2M(2023)+M(2024)=2×(−2)203+(−2)2024，然后根据同底数幂的乘法进行计算；
(3)利用新定义得到2M(n)+M(n+1)=−(−2)×(−2)n+(−2)n+1，然后根据同底数幂的乘法计算出它们的和为0，从而可判断2M(n)与M(n+1)互为相反数．
本题考查了数字变化的规律、互为相反数的知识，找出规律并熟练掌握同底数幂的除法法则是解决问题的关键．
27.【答案】5 0
【解析】解：(1由定义可知：
lg232=lg225=5，
lg71=lg770=0；
故答案为：5，0；
(2)证明：设lgaM=m，lgaN=n，
则：M=am，N=an，
∴MN=aman=am−n，
由对数的定义得：m−n=lgaMN，
又∵m−n=lgaM−lgaN，
∴lgaMN=lgaM−lgaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)；
(3)原式=lg5(125×6÷30)
=lg525
=2．
(1)直接根据定义计算即可；
(2)先设lgaM=m，lgaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算MN的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
(3)根据公式：lga(M⋅N)=lgaM+lgaN和lgaMN=lgaM−lgaN的逆用，将所求式子表示为：lg5(125×6÷30)，计算可得结论．
本题考查了有理数的混合运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系．
28.【答案】解：(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE，
如图1，过点E作EH//AB，则EH//AB//CD，
∵AB//EH，
∴∠APE=∠PEH，
又∵CD//EH，
∴∠CQE=∠HEQ，
∵∠PEQ=∠PEH+HEQ，
∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；
(2)如图2，由(1)得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=130°；
∵∠APE+∠BPE=180°，∠CQE+∠DQE=180°，
∴∠BPE+∠DQE=360°−130°=230°，
又∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=12(∠BPE+∠DQE)=12×230°=115°，
在四边形PEQF中，
∠PFQ=360°−(∠1+∠3+∠PEQ)=360°−(115°+130°)=115°；
(3)140°，如图3，延长PF交CD与点M，
∵PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AB//CD，
∴∠BPE=∠DNE，∠2=∠PMC=∠1，
又∵∠DQE=∠DNE+∠E，即2∠4=2∠1+80°，
∴∠4−∠1=40°，
∴∠PFQ=∠FQD+∠PMC=180°−∠4+∠1=180°−(∠4−∠1)=180°−40°=140°．
【解析】(1)根据平行线的性质，得出∠APE=∠PEH，∠CQE=∠HEQ，进而得出结论；
(2)根据角平分线的定义、平角的意义以及四边形的内角和即可求解；
(3)利用角平分线、平角、三角形的内角和、平行线的性质以及等量代换进行计算即可．
本题考查平行线的性质、三角形内角和、角平分线的定义、平角等知识，通过图形得出各个角之间的关系是解决问题的前提，等量代换起到至关重要的作用．
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