河南省郑州市基石中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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命题人：XXX 审题人：XXX
考试范围：必修二第六章 分值：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 化简等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量加法直接得到答案.
【详解】.
故选：D
2. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.
【详解】因为，，且，所以，
解得，所以D正确.
故选：D.
3. 下列说法错误的是（ ）
A. B. 、是单位向量，则
C. 两个相同的向量的模相等D. 单位向量均相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据相等向量、单位向量的定义判断即可.
【详解】对于A：因为，又互为相反向量的两个向量的模相等，所以，故A正确；
对于B：因为、是单位向量，所以，故B正确；
对于C：两个相同的向量的模相等，故C正确；
对于D：单位向量的模相等均为，由于无法确定方向是否相同，故单位向量不一定相等，故D错误.
故选：D
4. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】因为即，点为的中点，
所以，
所以.
故选：D.
5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】由正弦定理知：得.
故选：B
6. 在中，，，，则的面积等于（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先用余弦定理求出或2，进而利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由余弦定理得：，解得：或2，经检验，均符合要求.
当时，；
当时，
故选：D
7. 如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知,
由余弦定理可得，
故选：D
8. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（ ）
A 9B. 12C. 18D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知及正弦定理计算即可.
【详解】根据正弦定理可知，不妨设，
由，
所以的周长是.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题共5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得2分，有错误得0分．
9. 下列结果恒为零向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
10. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.
故选：ABC.
11. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 是锐角三角形
D. 的最大内角是最小内角的倍
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项.
【详解】对于A，由正弦定理可得，A对；
对于B，由余弦定理可得，，，
所以，，B错；
对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；
对于D，由题意知，为最小角，则，
因为，则，则，D错.
故选：AC.
12. 在中，，，，则可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由正弦定理可得答案.
【详解】由正弦定理，
得，
又因为，所以，
因为，所以或.
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量满足，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用向量数量积公式即可求解.
【详解】由题知，
所以.
故答案为：.
14. 已知平面向量，若与共线，则实数______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.
【详解】，
若与共线，则，
解得.
故答案为：.
15. 在中，若，，，则________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用正弦定理计算即可得出结果.
【详解】由正弦定理，得，
又，，则，所以或.
故答案为：或.
16. 在中内角所对边分别是若，则的形状一定是__________．
【答案】直角三角形
【解析】
【分析】利用余弦定理翻译条件，勾股定理判断直角即可.
【详解】∵，
∴整理可得：，
∴的形状一定是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 已知向量，，求：
（1）；
（2）||；
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）代入向量数量积的坐标表示，即可求解；
（2）根据向量的坐标，直接代入向量模的坐标表示的公式，即可求解；
（3）分别求向量和的坐标，再代入向量数量积的公式，即可求解.
【小问1详解】
因为，，则.
【小问2详解】
【小问3详解】
由已知可得，，
则
18. 在中，，，．
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理解三角形即可；
（2）先利用余弦定理求出，进而可求出，再根据两角和的余弦公式求解即可.
【小问1详解】
在中，根据正弦定理，，
于是，
【小问2详解】
在中，根据余弦定理，得，
于是，
所以.
19. 设是不共线的两个向量.
（1）若，，，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）±4.
【解析】
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【小问1详解】
由，，，
得，
，
因此，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线.
【小问2详解】
由于与共线，则存在实数，使得，
即，而不共线，
因此，解得或，
所以实数k的值是.
20. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角C的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；
（2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可求解.
小问1详解】
，且，
所以；
【小问2详解】
根据正弦定理，，
所以或，
当时，，，此时，不成立，
当时，此时，则，
的面积.
21. 如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.
（1）用向量，表示；
（2）设向量，，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可；
（2）用，表达，结合三点共线即可求得.
【小问1详解】
∵为中线上一点，且，
∴
；
【小问2详解】
∵，，，
∴，又，，三点共线，
∴，解得，故的值为.
22. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；
（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.
（3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
【小问2详解】
由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
.
【小问3详解】
点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.
【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.