广东省茂名市高州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份广东省茂名市高州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将答案填涂到答题卡的指定位置）
1．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．5D．4
3．设复数z满足：，那么（ ）
A．B．C．D．
4．已知的内角所对的边分别为，向量，若，则角（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
6．甲船在岛B的正南方A处，千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
7．已知棱长为2的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）
9．对于任意的平面向量下列说法错误的是（ ）
A．若且，则B．
C．若，且，则D．
10．在正方体，点，分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．平面
C．
D．若在正方体的棱长为2，则三棱锥的表面积为
11．在中，已知，下列结论正确是（ ）
A．；B．
C．一定是钝角三角形；D．若，则的面积是．
12．已知正三角形的边长为为边上两点，且为边上一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分
13．复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数_______．
14．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，那么原的面积是_______．
15．若向量满足，则________
16．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为，又利用无人机在离地面高的M处（即），观测到山顶C处的仰角为，山脚A处的俯角为，则山高．
17．已知的内角所对的边分别为，若，则a的最大值为_______．
18．在中，若，则_______．
四、解答题：本题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（10分）已知复数，且是纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
20．（12分）已知向量a．
（1）当时，求向量与的夹角；
（2）求的最大值．
21．（13分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且为侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
（3）若F为侧棱的中点，求证：平面．
22．（13分）在中，角所对的边分别是，且满足
（1）求角B；
（2）如图，若外接圆半径为为的中点，且，求的周长．
23．（12分）在中，角所对的边分别为，点D满足与．
（1）若，求A的值；
（2）求B的最大值．
2023-2024学年高一级第二学期月考考试答案
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．解：．故选A．
2．解：根据题意，，且，则有，解可得，即，则，故．故选：C
3．解：设，由已知
由复数相等可得，故选B．
4．解：中，向量，
若，则，整理得，
；又，所以．故选：B．
5．解：
，
在方向上的投影为．故选：D．
6．解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至如图示
可知
当小时时甲、乙两船相距最近．故选：A．
7．解析：球心O在正方形中心上，设半球的半径为R，则
在中，，
解得，所以此半球的体积为．故选：A．
8．解：中，，
解得；
；由余弦定理得：，
，
．故选：D．
9．解：对于A：当，命题不成立；对于B：向量数量积满足分配律对于C：若和都垂直，显然最少在模长方面没有任何关系，所以C不成立；
对于D：很多时候是不成立的，如下图：
若，则与是一个分别和共线的向量，显然命题不成立B是分配律显然成立的．所以答案是ACD
10．解：对于A：点分别为的中点，
，四边形为梯形，
与不平行，故A不正确
对于B：平面不平行平面，故B不正确
对于C：，到平面的距离为，
故C正确
对于D：在中，
在中，设的中点为M，则
，
，
三棱锥的表面积，
故D正确．故选：CD
11．解：由已知可设，则，
正确；
又，
为钝角三角形，不正确；C正确；
若，则，
又，故D错．故选：AC
12．解：，故A正确；
，故B不正确
，故C错误；
如图，取的中点M，连接交于N，则，
因为为等边三角形，
，
所以与的夹角为，即与的夹角为，
故D正确；故选：AD
13．解：．
14．解：因为，
的边上高为
且．
15．解：向量满足，
，
．
16．解：由题意知，则，又由，
所以，
，
在中，由正弦定理得，即，解得，
则．
17．解：由，可得，因为，所以，
由余弦定理得，
，
因为，所以，
所以当即时，，
此时取得最大值9．所以a的最大值为3．故答案为3．
18．解：，
，
，
19．解：（1），
……2分
又是纯虚数，，……3分
，……4分．……5分
（2）由（1）得：，则
……6分
复数在复平面内对应的点在第四象限，
，……8分
解得，
故m的取值范围为．……10分
20．解：（1）当时，，……1分
，……3分
设与的夹角为，则，……5分
而，
即与的夹角为；……6分
（2）解：，……6分
，……7分
，……10分
当时，，
的最大值为4．……12分
21．证明：（1）连接交于O，连接，……1分
为侧棱的中点，O是的中点，
，……2分
平面平面；……3分
平面．……4分
（2）为侧棱的中点，
到平面的距离等于S到平面的距离的一半，
到平面的距离，……6分
……7分
……8分
（3）法1：设M为侧棱的中点，连结．……9分，
为侧棱的中点，F为侧棱的中点，
，……10分
，
……11分
四边形为平行四边形，
，……12分
平面平面平面．……13分
法2：设G为侧棱的中点，连结．
为侧棱的中点，G为侧棱的中点，
，……9分
……10分
平面平面；
平面．同理可证平面．……11分
平面平面．……12分
平面平面．……13分
22．解：（1）由正弦定理得：……1分
又，
……3分
即，……4分
又，……5分
又．……6分
（2）由正弦定理得：，解得：，即，……7分
为边上的中点，，
由余弦定理得：，即…①；……8分
方法一：在中，，
在中，；……9分
，
即，整理得：…②……10分
由①②得：，……11分
，解得：，
的周长为．……13分
方法二：由向量加法得：，……9分
，即…②，……10分
由①②得：，……11分
，解得：，……12分
的周长为．……13分
23．解：（1），
，……1分
……2分
即，
，……4分
因为，所以，……5分
因为，所以．……6分
（2）因为，
所以，即，……8分
；……10分
因为，所以B的最大值为．……12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
D
A
A
C
ACD
CD
AC
AD