河南省部分高中2023-2024学年高三下学期4月联考数学试卷

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注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A.2 B.1 C. D.
3.古希腊数学家阿基米德利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，椭圆的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知均为平面单位向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.甲､乙､丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（ ）
A.2 B. C. D.
8.在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A.6 B.8 C.12 D.16
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.为提高学生的消防安全意识，某学校组织一次消防安全知识竞赛，已知该校高一､高二､高三三个年级的人数之比为1：2：3，根据各年级人数采用分层抽样随机抽取了样本容量为的部分考生成绩，并作出如图所示的频率分布直方图，成绩前的学生授予“安全标兵”称号，已知成绩落在区间的人数为24，则（ ）
A.
B.估计样本中高三年级的人数为75
C.估计安全知识竞赛考生的平均分为73
D.估计成绩84分以上的学生将获得“安全标兵”称号
10.已知函数，，为的两个相邻的对称中心，则（ ）
A.的最小正周期为
B.的最大值为1
C.直线是曲线的一条对称轴
D.将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称
11.已知函数的定义域为，，，则（ ）
A. B.
C.的一个周期为3 D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则___________.
13.在正四棱台中，平面，，则正四棱台的体积为___________.
14.已知双曲线的左､右焦点分别为，焦距为，A，B为上的两点，，四边形的面积为，若的周长为，则的离心率为___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
不透明的袋子中装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，再放入1个红球和1个白球.
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列以及数学期望.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
记，分别为数列，的前项和，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设记的前项和为，若对任意，，求整数的最小值.
18.（本小题满分17分）
设为抛物线准线上的一个动点，过作的两条切线，切点分别为，.
（1）证明：直线过定点；
（2）当直线斜率不为0时，直线交的准线于，设为线段的中点，求面积的最小值.
19.（本小题满分17分）
已知函数，且.
（1）讨论的单调性；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）当时，证明：.
2024年普通高等学校全国统一模拟招生考试
金科·新未来4月联考·数学
参考答案､提示及评分细则
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】因为，所以，故选A.
2.【答案】C
【解析】，，，故选C.
3.【答案】A
【解析】设椭圆的标准方程为，焦距为，则解得椭圆的标准方程为.故选A.
4.【答案】B
【解析】两边同时平方得，则，解得，即，故选B.
5.【答案】D
【解析】甲､乙､丙3名同学从4门课程中任选一门有（种）选法，3名同学所选课程全相同有4种，所以3名同学所选课程不全相同的概率为，故选D.
6.【答案】B
【解析】当时，，显然单调递增，所以，当时，，，单调递减，所以，所以的最小值为，故选.
7.【答案】D
【解析】，故，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，故，所以当时，，所以，故选D.
8.【答案】C
【解析】如图所示，取，因为平面，所以，取为的中点，，则且，所以平面，，同理可得，所以等腰梯形为所得截面，又，则梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，故选C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】ABD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】因为，则，A选项正确；
估计样本中高三年级人数为，B选项正确；
该校考生成绩的平均分估计值为，C选项错误；
考生成绩的第90百分位数为，D选项正确，故选ABD.
10.【答案】AC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）
【解析】依题意，，所以，，A选项正确；
因为，即，所以，所以的对称中心为，所以，的最大值为2，B选项错误；
当时，，所以直线是曲线的一条对称轴，C选项正确；
将的图象向右平移个单位长度所得函数为，关于对称，D选项错误.故选AC.
11.【答案】ABD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】令，则，所以，A选项正确；
令，则，即，所以，令，则，令，则，所以，所以，因为，所以，，B选项正确；
令，则，所以，，所以，的一个周期为6，C选项错误；
令，，令，，所以，由可知，，所以，因为，所以，D选项正确，故选ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案及评分细则】（5分，其他结果均不得分）
【解析】由，可知，.
13.【答案及评分细则】（5分，其他结果均不得分）
【解析】设为底面的中心，则共面，因为平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，，所以到底面的距离为，所以正四棱台的体积为.
14.【答案及评分细则】（5分，如果答案是1.5也可得分，其他结果均不得分）
【解析】不妨设，则，
，解得，所以，
又的周长为，所以，根据对称性，，
所以，根据双曲线定义，，解得，
根据勾股定理，，即，
所以，即.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.【答案】（1）（2）分布列见解析，
【解析及评分细则】（1）设事件为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”，
设事件为“取出2个黑球”，，
事件为“取出2个红球”，，
事件为“取出1个红球1个黑球”，，
因为事件B，C，D互斥，所以，
所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为；
，，，
所以X的分布列为：
所以.
16.【答案】（1）略（2）
【解析及评分细则】（1）证明：取的中点，连接，所以，
因为，所以四边形是平行四边形.
因为，，所以四边形是正方形，
则，，所以，
得到，
所以.
因为平面，
所以，
因为，
所以平面；
（2）因为平面，，，则两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则所以即
令，则，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则所以即
令，则，，
所以平面的法向量为，
所以，
因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
17.【答案】（1），.（2）3
【解析及评分细则】（1）当时，，所以，
当时，，
所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，
因为，所以，即，
所以数列是公差为1的等差数列，
所以，所以，
因为，所以，
所以，；
（2）依题意，
当时，，
当时，因为，
所以，
其中，当时，，，无限接近，
所以整数的最小值为3.
18.【答案】（1）略（2）
【解析及评分细则】（1）证明：设直线，
与抛物线联立可得，所以，
设，，
过点处的切线方程为，即，
同理可得，过点处的切线方程为，
联立两直线方程可得，
依题意，，所以，解得，
所以直线过定点；
（2）由（1）可知，直线，，，
所以，，
对于直线，令，解得，即，
点Q到直线的距离为，
所以的面积，
不妨设，则，
设，则，
所以当时，取得极小值，也是最小值，，
所以面积的最小值为.
19.【答案】（1）详解见解析（2），理由略（3）略
【解析及评分细则】（1）易知.
①.
当时，，即，所以在上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减；
②.
当时，，即，所以在上单调递减，
当时，，即，所以在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，当时，，，
取，，则有，
即，所以；
（3）证明：设，则，
所以在上单调递增，所以，
即当时，，
结合（1）可知，，
当时，成立，
当时，因为，
所以，
即.
综上所述，.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
A
B
D
B
D
C
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
ABD
X
1
2
3
P