【期中复习】2023-2024学年沪教版2020选修一 高二数学下册考题预测+易错点分析 专题03导数及其应用-专题训练.zip

这是一份【期中复习】2023-2024学年沪教版2020选修一 高二数学下册考题预测+易错点分析 专题03导数及其应用-专题训练.zip，文件包含期中复习2023-2024学年沪教版2020选修高二数学下册考题预测+易错点分析专题03导数及其应用原卷版docx、期中复习2023-2024学年沪教版2020选修高二数学下册考题预测+易错点分析专题03导数及其应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
易错点1： 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程
例1.[陕西安康2022调研]曲线过点的切线方程是（ ）


特别提醒：曲线在某点处的切线方程明确了“某点”是切点，此时切线只有唯一一条，而过某点的切线是指切线经过“某点”，此时“某点”可能是切点，也可能不是切点，这样的切线可能是多条，所以涉及过某点的切线的问题时，需要判断"某点”是否为切点.
【解析】由题意可得点不在曲线上，设切点为，因为，所以所求切线的斜率所以.因为点是切点，所以，所以，即.设，明显在上单调递增，且，所以有唯一解，则所求切线的斜率，故所求切线方程为，即故选.
【变式】.[江苏南通2023期末]已知函数，则曲线经过点的切线方程是 .
特别提醒：求曲线的切线方程时要注意“过某点的切线”与“在某点处的切线”的差异，在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条；过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
【解析】设切点为，由题知，所以切线的斜率，所以切线方程为.因为切线过点，（注：点不一定是切点），所以，即，解得或，所以斜率或，又切线过点，得切线方程为或.
易错:2： 对极值点的含义理解不清致误
例2. [山西长治八中2022测评]已知函数在处取得极值0，则（ ）

特别提醒：利用导函数分析函数的极值时，要注意的是使导函数值为0的的值不一定是极值点，极值点是使导函数值为0，且左、右导函数值异号的的值，本题的易错点在于令时，方程组有两组解，一定要注意检验和的值是否能使在处取得极值.
【解析】根据题意，，解得或，当，时，在上单调递增，无极值点，故舍去.当时，当和时，，单调递增；当时，，单调递减，故在处有极小值，满足条件.综上，故选
【答案】
【变式】. [河南洛阳 2023 月考]若是函数的极值点，则的值为（ ）

特别提醒：定义域上的可导函数在处取得极值的充要条件是，并且在附近两侧异号，若“左负右正"，则为极小值点，若“左正右负”，则为极大值点.
本题易错的地方是求出的值后，没有通过单调性来验证是否为函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.
【解析】，则，由题意可知，即，解得或.
当时，，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，，函数在上单调递增，没有极值点，故选.
【答案】
一．导数的运算（共1小题）
1．（2022春•闵行区校级期中）已知函数在处可导，则等于
A．B．C．D．0
【分析】根据导数的定义求解即可．
【解答】解：函数在处可导，
，
故选：．
【点评】本题主要考查函数导数的概念，属于基础题．
二．利用导数研究函数的单调性（共13小题）
2．（2024•邵阳模拟）已知函数的定义域为，为的导函数．若（1），且在上恒成立，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【分析】根据，构造函数，可得是减函数，然后再将化为，则问题可解．
【解答】解：令，
，
在上单调递减，由得：
，
即（1）．．
故选：．
【点评】本题考查利用函数的单调性解不等式的问题，根据已知条件合理构造函数是解题的关键，属于中档题．
3．（2023秋•渭滨区期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，为偶函数，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【分析】根据结论特点，结合已知条件，构造函数，然后研究该函数在上的单调性解决问题．
【解答】解：令，当时，，
因为，所以，
所以在上单调递减，
又为偶函数，所以的图象关于直线对称，
所以（3），（2），（1），
所以．
故选：．
【点评】本题考查导数在函数的单调性问题中的应用，属于中档题．
4．（2024春•青浦区校级月考）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 或 ．
【分析】根据奇函数的导数为偶函数，结合已知条件得到的单调性，进而得到的符号规律，进而解不等式．
【解答】解：因为是奇函数，结合的图象可知：
在上单调递增，在，上单调递减，
故或；，
故或，
解得或．
故答案为：或．
【点评】本题考查导数与函数单调性之间的关系，以及函数的奇偶性等性质，属于中档题．
5．（2022秋•黄浦区校级月考）定义在上的函数满足；，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 ．
【分析】构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．
【解答】解：设，，
则，
，
，
，
在定义域上单调递增，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．
6．（2022春•松江区校级期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】求函数的导数，利用即可求出的取值范围．
【解答】解：函数的导数为，
若函数数在上单调递增，
则等价为恒成立，
若，则，满足条件，
若，要使恒成立，
则，
即，
解得，
综上，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．
7．（2023秋•鼓楼区校级期末）函数在上单调递增，则的取值范围为 ， ．
【分析】求出的导数，由题意可得恒成立，设，即有，对讨论，分，，，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：函数的导数为，
由题意可得恒成立，
即为，
即有，
设，即有，
当时，不等式显然成立；
当时，，
由在，递增，可得时，取得最大值，
可得，即；
当时，，
由在，递增，可得时，取得最小值1，
可得，即，
综上可得的范围是，，
故答案为：，．
【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．
8．（2024春•宝山区校级月考）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
【分析】（1）求出导函数，根据切线斜率和极值点列出方程组，求出，，，得到解析式；
（2）令导函数大于0和小于0，求出单调区间．
【解答】解：（1）由题意，函数，可得，
因为函数在点处的切线斜率为4，且在处为驻点，
可得，即，
解得，
所以，
（2）可得，令，解得：或，
当变化时，，的变换情况如下：
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是．
【点评】本题主要考查了导数与单调性的关系，导数的几何意义的应用，还考查了导数与函数知识的综合应用，属于中档题．
9．（2023秋•静安区校级期中）（1）利用定义证明：函数在上单调递增．
（2）求方程的实数解（精确到．
【分析】（1）按照取值、作差并判断差的符号、下结论的步骤证明；
（2）利用二分法求解．
【解答】解：（1）证明：设，
，
因为，所以，且，
所以，即，
所以在上是增函数；
（2）因为（1），，
由（1）可知，是增函数，所以在上存在唯一解，
又，因为（1），
所以在上存在唯一解，
又，所以在上存在唯一解，
，
因为，所以在上存在根，
因为，
由题意取近似实数解为1.2．
【点评】本题考查函数单调性的定义、二分法求方程的近似解，属于中档题．
10．（2022秋•普陀区期中）已知函数，．
（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，（2），求实数的值；
（2）设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数的取值范围；
（3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为、，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出，根据导数的几何意义列出关于的方程，求解即可得出答案；
（2）求出，题意转化为在上恒成立，利用分离变量法得对上的任意实数恒成立，令，，利用导数求出最大值，即可得出答案；
（3）题意转化为在上有两个不同的根，利用二次函数的性质，可得，又不等式恒成立，即，
表示出，构造函数（a），利用导数研究函数的单调性，即可得出答案．
【解答】解：（1），则，
过点，（2）切线的斜率，
在点，（2）的切线过点，
，即，解得；
（2），，则，
函数在区间当为严格递减函数，转化为对上的任意实数恒成立，
对上的任意实数恒成立，
令，，则，
由得，由得，由得，
在，上单调递增，在，上单调递减，
又当时，，当时，，
当时，，
故实数的取值范围为；
（3），，
函数有两个极值点为、，转化为在上有两个不同的根，
在上有两个不同的根，
，解得，
不等式恒成立，即，
又，
令，所以，
又，
（a）恒成立，即在区间上单调递减，
，
，
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性、最值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．（2022秋•嘉定区期末）已知．
（1）求函数的导数，并证明：函数在，上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
（2）根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
（3）已知、是正整数，，，求证：，是满足条件的唯一一组值．
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数判断函数的单调性即可．
（2）判断，利用函数的单调性即可证明结论成立，再写出推广结论．
（3）由，得出、的值，再证明唯一性即可．
【解答】（1）证明：因为函数，，所以的导函数为，
令，得，解得，列表如下：
所以函数在，上是严格减函数．
（2）解：判断，证明如下：
由（1）知，，所以，即，所以，
由函数是定义域上的单调增函数，所以．
推广一般结论为：对于实数、，若，则，即．
（3）证明：因为，可知，满足，、，
下面证明唯一性：
①若，由推广的结论可知，与矛盾；
②若，则，即，与矛盾；
③若，则，即，容易验证，成立，
若，由推广的结论可知，则，所以，与矛盾．
综合①②③，，是满足条件的唯一一组值．
【点评】本题考查了函数的导数综合应用问题，也考查了运算求解能力与推理论证能力，是难题．
12．（2022秋•长宁区期末）已知函数的定义域为．
（1）若．
①求曲线在点处的切线方程；
②求函数的单调减区间和极小值；
（2）若对任意，，，函数在区间，上均无最小值，且对于任意，当时，都有．求证：当时，．
【分析】（1）①求出函数的导数，求出时的值，得出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；
②求出函数的导数，利用导数判断函数的单调性，即可求出函数的单调减区间和极小值．
（2）先证明对于任意，；再证明且时，；且时，；即可证明时，．
【解答】解：（1）①因为函数，，所以，（1），
所以曲线在点处的切线方程为，即；
②因为函数，，
所以，
令，解得或，列表如下：
所以的单调减区间为，，极小值为（1）；
（2）①首先证明对于任意，．
当时，由，
可知介于和之间．
若，则在区间，上存在最小值，矛盾．
利用归纳法和上面结论可得：对于任意，，当时，．
②其次证明当且时，；当且时，．
任取，设正整数满足，则．
若存在使得，则，即．
由于当时，，所以在区间，有最小值，矛盾．
类似可证，当且时，．
③最后证明：当时，．
当时，（2）（1）成立．当时，由可知，存在使得，
所以．
当时，有：．
若，则，
所以在，上存在最小值，故不具有性质，故不成立．
若，则，，．
假设，则在，上存在最小值，故不具有性质，故假设不成立．
所以当时，对于任意都成都成立．
又，故当、，
所以，即．
所以当时，则存在正整数使得，则，
所以当时，，同理可证得当时，．
所以当时，必然存在正整数，使得，所以．
综上所述：当时，．
【点评】本题考查了函数与方程的综合应用问题，也考查了逻辑思维能力和运算求解能力，是难题．
13．（2022春•黄浦区校级期末）已知函数．
（1）试判断的单调性；
（2）求证：恒成立，且为严格递减数列．
【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的单调区间．
（2）根据题意利用函数的性质先证，再利用（1）中的结论证明为严格递减数列．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，，
且，
令，则．
当时，；当时，．
所以在上为严格单调减函数，在上为严格单调增函数，
所以．
所以当，，时，，函数在和上严格单调递增．
（2）先证；
因为时，，所以，．
因为，由可得．
再证为严格递减数列；
由（1）可知，，所以．
所以，所以，
所以，即，
所以为严格递减数列．
综上可知，恒成立，且为递减数列．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及函数与数列的应用问题，是难题．
14．（2023•普陀区模拟）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
【分析】（1）通过对函数求导，分、两种情况考虑导函数与0的大小关系可得结论；
（2）通过（1）可知，进而取特殊值可知，．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知，另一方面可知，从而当时，，，比较可得结论．
【解答】解：（1）因为函数，，
所以，且（1）．
所以当时恒成立，此时在上单调递增，
故当时，（1），这与矛盾；
当时令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，即（a），
若，则（a）（1），从而与矛盾；
所以；
（2）由（1）可知当时，即，
所以当且仅当时取等号，
所以，．
，
即；
因为为整数，且对于任意正整数，成立，
当时，，
所以的最小值为3．
【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．
三．利用导数研究函数的极值（共6小题）
15．（2023春•普陀区校级期末）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点（包括极大值点和极小值点）有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据当时函数单调递增，时单调递减，可从的图象可知在内从左到右的单调性依次为增减增减，然后得到答案．
【解答】解：从的图象可知在内从左到右的单调性依次为增减增减，
根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，
由图可知，在内只有3个极值点．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．
16．（2023秋•西安期末）函数的极小值为
A．B．1C．0D．不存在
【分析】求出定义域，导数及导数的零点，再判断导数附近的符号，确定结论．
【解答】解：，，
，由，
时，，时，，
所以的极小值（1）．
故选：．
【点评】本题考查函数极值（点的判断和计算，属于中档题．
17．（2024春•常州月考）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是 3 ．
【分析】问题转化为在上只有一个零点，即在上只有一个零点，令，再在上研究只有一个零点，求解的范围，确定的最小值．
【解答】解：由题意得：，该函数在上只有一个零点，
则，即在上只有一个零点，
令，，则，，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以，
所以时，在上只有一个变号的根，
即函数在上有且仅有一个极值点．
故答案为：3．
【点评】本题考查利用导数研究函数极值点个数的问题，属于中档题．
18．（2023秋•泰山区校级期末）已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数的取值范围为 ．
【分析】求出，然后转化为有两个不同的变号零点，再分与，讨论，的图象有两个交点即可．
【解答】解：对函数求导得：，
令，即有有两个不同的变号零点，
令，，
当时，设过原点的切线的切点坐标为，，切线斜率为，
切线方程为：，
将代入切线方程得，
此时切线的斜率为：，现在需要有两个交点，
即，所以．
同理知当时，，所以．
综上知：的取值范围为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的方法以及极值点处的性质，属于中档题．
19．（2023春•普陀区校级期中）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升关于行驶速度（千米小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米．
（Ⅰ）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【分析】把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量即可．
求出耗油量为与速度为的关系式，再利用导函数求出的极小值判断出就是最小值即可．
【解答】解：当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗油（升．
答：当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
当速度为千米小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得，．
令，得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
当时，取到极小值．
因为在，上只有一个极值，
所以它是最小值．
答：当汽车以80千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
【点评】本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
20．（2023春•浦东新区校级月考）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若函数在区间内有唯一极值点，解答以下问题：
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）证明：在区间内有唯一零点，且．
【分析】（1）求出在处的导数值、函数值，利用点斜式求出切线；
（2）研究导数在内的单调性、端点处函数值符号，极值的符号解决（Ⅰ），对于（Ⅱ），需研究函数的单调性、极值求解．
【解答】解：（1），故，，
故切线方程：即，
（2），当时，，，
（Ⅰ）①当时，，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
②当时，显然在上递增，又因为，，
所以在上有唯一零点，所以，；，，
所以在上有唯一极值点，符合题意，
综上，的取值范围是；
（Ⅱ）由知，所以时，，
所以，，单调递减；，，，单调递增，
所以时，，则，
又因为，所以在，上有唯一零点，即在上有唯一零点，
因为，由（1）知，所以，
则，
构造，，
所以，
记，则，
显然在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，所以，所以，
由前面讨论可知：，，且在，单调递增，所以．
【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值情况，进而解决函数零点的存在性问题，不等式的证明问题，属于难题．
四．利用导数研究函数的最值（共3小题）
21．（2022•杨浦区校级开学）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】先研究函数在，上的单调性，极值情况，然后利用端点处函数值的符号，极值的符号求解．
【解答】解：，，
，，
所以是减函数，且（1），
所以是的极大值点，则要使原函数有两个不同零点，
只需，解得．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数的单调性、极值与函数零点之间的关系和应用，属于中档题．
22．（2022秋•浦东新区校级月考）已知函数，对于任意，恒成立，则整数的最大值为 0 ．
【分析】先求出导数，然后利用导数为0，找出它的极小值点即可．
【解答】解：易知定义域为，，
，
显然，令，，
故在上单调递增，又（1），，
所以存在使得，即①，两边取自然对数得，即②，
当时，，，时，，
故是极小值点，也是最小值点，故
将①②两式代入上式得，因为，
故，所以要使原式恒成立，只需，
此时整数的最大值为0．
故答案为：0．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，进而解决不等式恒成立问题，属于中档题．
23．（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知函数是自然对数的底数），对任意的，存在，，有，则的取值范围为 ．
【分析】由题意，将问题转化成，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，结合二次函数的性质，利用对称轴与区间的关系讨论的单调性求其最值，构造关于的不等式再进行求解即可．
【解答】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
易知函数是开口向下的二次函数，对称轴，
当，即时，在，上单调递减，
此时（1），
因为对任意的，存在，，有，
所以，
则，
解得，
所以；
当，即时，
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
此时，
解得；
当，即时，
易得函数在，上单调递增，
所以，
此时，
解得，
综上，满足条件的的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共17小题）
24．（2022春•长宁区校级期末）曲线在处的切线经过点，，且，则
A．B．C．D．
【分析】由题意先利用导数求出切线方程，结合已知找到与间的关系，可知是等比数列，最后利用求和公式求解．
【解答】解：由已知得，
故切线方程为，
因切线经过点，，故，
若，则，与矛盾，故，
则原式可化为：，即数列是以1为首项，公比为的等比数列，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了导数的几何意义和等比数列的求和公式，属于中档题．
25．（2024•重庆模拟）已知是奇函数，则在点，处的切线方程为
A．B．C．D．
【分析】根据定义域关于原点对称、奇函数则恒成立，求出，的值，再利用导数的几何意义求出切线方程．
【解答】解：显然，根据奇函数定义域关于原点对称，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，
，，
所以切线方程为．
故选：．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断、导数的几何意义与切线方程的求法，属于中档题．
26．（2023秋•香坊区期末）下列函数的图象不可能与直线，相切的是
A．B．
C．D．
【分析】题目转化为函数有解，则直线就可以为该函数图象的切线，则逐项检验即可得结论．
【解答】解：若导函数有解，则直线就可以为该函数图象的切线，
对于选项，令，解得，满足条件；
对于选项，因为在上单调递增，且，（2），所以方程有解，满足条件；
对于选项，令，解得，满足条件；
对于选项，，不满足条件．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于中档题．
27．（2023春•浦东新区校级期中）过点作曲线的切线，则切线方程是 ．
【分析】先设出切点，结合导数求出切线的斜率，写出切线方程的点斜式，再将点坐标代入，解出切点，即可解决问题．
【解答】解：设切点为，由得斜率为，
故切线方程为，
将代入上式得，解得，
故切线为：．
故答案为：．
【点评】本题考查切线方程的求法，方程思想的应用，属于基础题．
28．（2022秋•闵行区期末）若曲线和直线的某一条平行线相切，则切点的横坐标是 1 ．
【分析】根据切点处的导数值就是切线的斜率，列出切点坐标满足的方程求解．
【解答】解：由已知得切线斜率为，
令，解得．
故答案为：1．
【点评】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，属于基础题．
29．（2023•普陀区校级开学）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标为 ．
【分析】先设，对函数求导，由在点处的切线与直线平行，求出，最后求出．
【解答】解：设，则，
，在点处的切线与直线平行，
令，解得，
，故．
故答案为：．
【点评】本题考查了导数的几何意义，即点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．
30．（2022春•静安区校级期末）曲线在点处的切线方程为 ．
【分析】先求出切点处的导数，然后利用点斜式写出切线的方程．
【解答】解：由已知得，
故，
故切线方程为，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题．
31．（2023•徐汇区校级三模）设是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围是 ，， ．
【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．
【解答】解：由已知得，
由，得，，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查导数的几何意义、正切函数的性质，属于中档题．
32．（2023春•长宁区校级期末）若直线与曲线、曲线都相切，则直线的方程为 或 ．
【分析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线的切点为，由此写出直线的方程，利用对应系数相等列方程组求出和的值，即可求出直线的方程．
【解答】解：设直线与曲线相切于点，
由，得，则直线的方程为，即，
设直线与曲线的切点为，
由，得，则直线的方程为，即，
所以，
解得或，
所直线的方程为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了方程思想以及运算求解能力，是中档题．
33．（2023•宝山区校级开学）直线是曲线的切线，则的最小值为 2 ．
【分析】先设出切点，然后利用导数分别表示出切线的斜率、纵截距，最后结合基本不等式求出的最小值．
【解答】解：设直线与曲线相切于点，
由得，所以切线方程为，即，
所以，所以，当且仅当时，等号成立，
所以．
故答案为：2．
【点评】本题考查导数的几何意义、切线的求法，以及利用基本不等式求最值．属于中档题．
34．（2022春•宝山区校级月考）曲线在点处的切线方程为 ．
【分析】求出函数的导函数，取得到函数在处的导数，直接代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由，得．
．
曲线在点处的切线方程为．
即．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，关键是区分给出的点是不是切点，是中档题也是易错题．
35．（2023秋•金寨县校级期末）已知点在函数上，若满足到直线的距离为的点有且仅有两个，则实数的取值范围是 ．
【分析】求得，设切点，，令，求得切点，求得点到直线的距离为时，，求得，的值，结合图象，即可求解．
【解答】解：由函数，可得，
设切点，，令，即，解得，即切点，
所以点到直线的距离为时，，解得或，
当时，函数图象与直线不相交（如图所示），
从而函数的图象上只有一点到直线的距离为；
当时，函数图象与直线相交（如图所示），
从而函数的图象上有且仅有三个点到直线的距离为，
综上，要满足点到直线的距离为的点有且仅有两个时，满足，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，利用导数研究函数的最值的方法，属于中档题．
36．（2024•常德模拟）已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则 ．
【分析】先利用导数求出切线方程，然后利用弦长公式求弦长．
【解答】解：由题意（1），切点为，
，（1），
切线方程为：，
代入整理后得，
显然△，
设，，，，则，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数求切线的方法，直线与圆相交时的弦长公式，属于中档题．
37．（2024•罗湖区校级模拟）已知函数若函数的图象在点，和点，处的两条切线相互平行且分别交轴于，两点，则的取值范围为 ， ．
【分析】设切线的倾斜角为，则，，再结合切线相互平行，则导数相等，得到，之间的关系，将化成关于的函数，再研究函数的值域即可．
【解答】解：不妨设两条切线的倾斜角为，显然为锐角，
则，，所以，
由，，
所以，即，
所以，
令，，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且时，；时，，（1），
所以，即的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性、最值的方法，属于中档题．
38．（2023秋•越秀区期末）曲线与曲线的公切线方程是 ．
【分析】分别利用导数，设出切点求出各自的切线方程，令斜率、截距相等求出切点坐标，则方程可求．
【解答】解：设的切点为，，
因为，所以，
切线方程为，
①
再设曲线的切点为，，
切线为，即②，
所以，解得，
所以切线为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于中档题．
39．（2023•浦东新区二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
（2）已知，．证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
【分析】（1）是的1度点，不是的1度点；
（2）求导得，设，可得出曲线在点处的切线方程为，该切线过点时，，然后设，然后根据导数符号可判断在上单调递增，从而得出方程无解，这样即可得出要证明的结论；
（3）求导得出，设，可得出曲线在处的切线方程为，设点为函数的2度点，从而得出关于的方程恰有两个不同的实数解，设，则有两个不同的零点，讨论时，可得出不合要求；时，，根据可求出的极大值和极小值，并可得出，，然后讨论极大值和极小值和0的关系即可得出函数的2度点构成的集合．
【解答】解：（1）由题意，设，则曲线在点处的切线方程为，
该切线过原点时，，解得，故原点是函数的一个1度点；
又因为该切线过点，所以，
设，则，令，得，
所以时，，单调递减；时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，且（1），
所以无解，点不是函数的1度点；
（2）证明：设，，则曲线在点处的切线方程为，
则该切线过点，当且仅当，
设，，时，，
故在区间上单调递增，
当时，，恒不成立，即点是的一个0度点；
（3），
对任意，曲线在点处的切线方程为，
故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，
设，则点为函数的一个2度点，当且仅当有两个不同的零点，
若，则在上严格增，只有一个零点，不合要求；
若，，令得或，
由或时，，得严格增；当时，，得严格减，
故在时取得极大值，在时取得极小值（a），
又，，
当（a）时，由零点存在定理，在，，上各有一个零点，不合要求；
当（a）时，仅上有一个零点，不合要求；
当（a）时，仅上有一个零点，也不合要求；
故有两个不同零点当且仅当或（a），
若，同理可得有两个不同零点当且仅当或（a），
综上，函数的全体2度点构成的集合为或，．
【点评】本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据导数求函数极大值和极小值的方法，函数零点个数的判断方法，考查了计算能力，属于难题．
40．（2023春•浦东新区校级期末）设，函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若有零点，求实数的取值范围；
（3）若有两个相异零点，，求证：．
【分析】（1）求出当 时的导数，再求切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）对讨论，分，，，可通过解方程和零点存在定理以及应用导数求极值，令极大值不小于0，即可得到；
（3）原不等式，
令，则，于是．设函数．求出导数，判断单调性，由单调性即可得证．
【解答】解：在区间上，．
（1）当 时，．
曲线在处的切线斜率为，
则切线方程为，即；
（2）①若，有唯一零点．
②若，则，是区间上的增函数，
（1），，
（1），函数在区间有唯一零点．
③若，令得：．
在区间上，，函数是增函数；
在区间，上，，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为．
由 即，解得：．
故所求实数的取值范围是．
（3）证明：设，，，
，，
原不等式，
，
令，则，于是．
设函数．
求导得：，
故函数是上的增函数，
（1），即不等式成立，
故所证不等式成立．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值，考查函数的零点问题，注意运用零点存在定理，考查不等式的证明，注意构造函数应用导数判断单调性加以证明，属于中档题．
0
0
递增
2
递减
递增
0
单调递增
极大值
单调递减
，
1
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增