【期中复习】2023-2024学年沪教版2020选修一 高二数学下册考题预测+易错点分析 专题2-1圆的方程-专题训练.zip

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1．圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．
2．点与圆的位置关系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝eq \r(x0－a2＋y0－b2).
3.圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
其中圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，圆的半径为r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论
①D2＋E2－4F＞0时表示圆．
②D2＋E2－4F＝0时表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．
4．直线与圆的三种位置关系
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
5．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
6．圆与圆的位置关系
7.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(圆C1方程,圆C2方程))eq \(――→,\s\up17(消元))一元二次方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0⇒相交，,Δ＝0⇒内切或外切，,Δ＜0⇒外离或内含.))

位置关系
d与r的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d＞r
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
d＜r
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
两圆相交
有两个公共点
两圆相切
外切和内切
只有一个公共点
两圆相离
外离和内含
没有公共点
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
0＜d＜|r1－r2|
圆的标准方程 圆的一般方程
二元二次方程表示圆的条件 点与圆的位置关系
关于点、直线对称的圆的方程 圆的切线方程
直线与圆相交的性质 直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系及其判定 相交弦所在直线的方程
直线和圆的方程的应用
一．圆的标准方程（共2小题）
1．（2023秋•浦东新区校级月考）圆心在第一象限，半径为1，且同时与，轴相切的圆的标准方程为 ．
2．（2023秋•青浦区校级期中）以点为圆心，与直线相切的圆的方程是 ．
二．圆的一般方程（共2小题）
3．（2022秋•浦东新区校级期末）已知方程表示圆，则实数的取值范围是
A．B．
C．，D．，，
4．（2023•浦东新区校级一模）圆的圆心到直线的距离等于 ．
三．二元二次方程表示圆的条件（共1小题）
5．（2023秋•宝山区校级期中）方程表示一个圆，则的取值范围是 ．
四．点与圆的位置关系（共1小题）
6．（2023秋•浦东新区校级月考）若点在圆内，则实数的取值范围为 ．
五．关于点、直线对称的圆的方程（共1小题）
7．（2023秋•浦东新区校级月考）圆关于点对称的圆的方程是 ．
六．圆的切线方程（共2小题）
8．（2023秋•杨浦区校级期中）过圆上一点的圆的切线方程为 ．
9．（2023秋•杨浦区校级期中）过点作圆的切线，则切线的方程为 ．
七．直线与圆相交的性质（共2小题）
10．（2023秋•青浦区校级月考）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A．1B．2C．3D．4
11．（2023秋•浦东新区校级期中）经过点作圆的弦，使得点平分弦，则弦所在直线的方程为 ．
八．直线与圆的位置关系（共22小题）
12．（2023秋•宝山区校级期中）已知，是圆内异于圆心的一点，则此直线与该圆
A．相交B．相切C．相离D．不确定
13．（2023秋•宝山区校级月考）已知，是圆上的两点，是直线上一点，若存在点，，，使得，则实数的取值范围是
A．，B．，C．D．
14．（2023秋•奉贤区校级期中）圆与直线的位置关系是
A．直线与圆相交但不过圆心B．相切
C．直线与圆相交且过圆心D．相离
15．（2023春•宝山区期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
16．（2023秋•浦东新区校级月考）已知圆，点是圆上的动点，则
A．的最大值为B．的最大值为3
C．的最小值为D．的最大值为
17．（2023春•浦东新区校级期末）已知圆，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当的面积最小时，的外接圆的方程为
A．B．
C．D．
18．（2023秋•浦东新区校级期中）已知直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为 ．
19．（2023秋•青浦区校级期中）若与有交点，则实数的取值范围为 ．
20．（2023秋•浦东新区校级月考）已知动直线与圆，则直线被圆所截得的弦长的最小值为 ．
21．（2023秋•浦东新区校级月考）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为 ．
22．（2023秋•浦东新区校级期末）已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 ．
23．（2023秋•浦东新区校级期末）点，在圆外，则直线与该圆的位置关系为 ．
24．（2022春•宝山区校级期中）已知定点，是圆上的动点，则当取到最大值时，点的坐标为 ．
25．（2023秋•闵行区校级期末）已知定点，圆．
（1）求圆心到点的距离；
（2）若以为圆心，为半径的圆与圆有两个不同公共点，求的取值范围．
26．（2022秋•上海期末）已知圆经过、，且圆心在直线上．
（Ⅰ）求圆的方程．
（Ⅱ）若直线经过点与圆相切，求直线的方程．
27．（2022秋•杨浦区校级期末）已知：以点为圆心的圆与轴交于点，，与轴交于点、，其中为原点，
（1）求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．
28．（2022秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点，．
（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
（2）在圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由；
（3）对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．
29．（2023秋•奉贤区校级期中）已知圆．
（1）过的动直线与圆交于、两点．若，求直线的方程；
（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，若为坐标原点），求动点的轨迹方程．
30．（2023秋•嘉定区校级期末）已知圆．
（1）求直线被圆截得弦长；
（2）已知为圆上一点，求与圆外切于点，且半径为6的圆的方程．
31．（2023秋•浦东新区校级月考）已知圆关于直线对称的图形为圆．
（1）求圆的方程；
（2）直线与圆交于，两点，若为坐标原点）的面积为，求直线的方程．
32．（2023秋•武汉期中）已知直线和圆．
（1）求与直线垂直且经过圆心的直线方程；
（2）求与直线平行且与圆相切的直线方程．
33．（2023秋•惠州期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以为坐标原点，所在的直线为轴建立直角坐标系．
（1）求该圆弧所在圆的方程；
（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
九．圆与圆的位置关系及其判定（共4小题）
34．（2023秋•浦东新区校级月考）圆和圆的位置关系是
A．相交B．相切C．相离D．内含
35．（2023秋•浦东新区校级期中）已知、分别是圆与圆上的点，是坐标原点，则的最小值为 ．
36．（2023秋•浦东新区校级月考）已知圆与圆交于，两点，若直线的倾斜角为，则 ．
37．（2023秋•浦东新区校级月考）已知圆与圆内切，则 ．
一十．相交弦所在直线的方程（共2小题）
38．（2023秋•青浦区校级月考）已知圆与圆交于、两点，则所在的直线方程是 ．
39．（2023秋•浦东新区校级月考）两圆与的公共弦所在直线的方程为 ．
一十一．直线和圆的方程的应用（共1小题）
40．（2023秋•浦东新区校级月考）已知圆，圆的圆心在轴上且与圆外切，圆与轴交于、两点，定点的坐标为．
（1）若点，求的正切值；
（2）当点在轴上运动时，求的最大值；
（3）在轴上是否存在定点，当圆在轴上运动时，是定值？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由．