【期中复习】2023-2024学年沪教版2020选修一 高二数学下册考题预测+易错点分析 专题2-2圆锥曲线综合-专题训练.zip

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椭圆的标准方程 椭圆的性质
抛物线的标准方程 抛物线的性质
双曲线的标准方程 双曲线的性质
一．椭圆的标准方程（共1小题）
1．（2023秋•思明区校级期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为 ．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用椭圆经过的点，求解即可．
【解答】解：椭圆，即：，可得，可得，椭圆的焦点，
设椭圆的方程为：，椭圆过点，
可得：，，解得，，
所求的椭圆方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力．
二．椭圆的性质（共20小题）
2．（2023秋•浦东新区校级期中）椭圆的长轴长为
A．B．C．4D．2
【分析】由题意得，即可得出答案．
【解答】解：椭圆，则，
椭圆的长轴长为，
故选：．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查运算能力，属于基础题．
3．（2023秋•杨浦区校级期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练．如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点应在怎样的曲线上
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【分析】根据椭圆定义，结合基本不等式、余弦定理即可判断．
【解答】解：设，，在中，
，
随着增大而减小，
最大时，则最小，
由基本不等式可知，当且仅当为定值时，有最小值，
即为定值且，
射门点应该在椭圆上．
故选：．
【点评】本题考查了椭圆的定义及性质、基本不等式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（2023秋•浦东新区校级期中）已知点是椭圆上的动点，则点到直线的距离最小值为
A．B．5C．D．
【分析】由题意设，，利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，结合辅助角公式化简即可求得答案．
【解答】解：点是椭圆上的动点，设，，
则点到直线的距离为
，其中，
当时，取最小值．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．
5．（2023秋•宝山区校级期中）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为
A．B．
C．D．
【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴，半焦距，即可确定该卫星远地点离地面的距离．
【解答】解：椭圆的离心率：，为半焦距；为长半轴），
只要求出椭圆的和，即可确定卫星远地点离地面的距离，
设卫星近地点，远地点离地面距离分别为，，
由题意，结合图形可知，，远地点离地面的距离为：，，
，
，
所以远地点离地面的距离为：．
故选：．
【点评】本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力．
6．（2023秋•杨浦区校级期中）椭圆的离心率是 ．
【分析】根据条件，求出，，再利用离心率的定义即可求出结果．
【解答】解：由椭圆方程，知，，
离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（2023秋•宝山区校级期中）直线与椭圆恒有两个公共点，则的取值范围为 ，， ．
【分析】分类讨论，根据椭圆焦点位置，由直线恒过点，要使直线与椭圆恒有两个公共点，则只需必在椭圆内部，即可求得的取值范围．
【解答】解：当椭圆的焦点在轴上时，则时，
直线恒过点，要使直线与椭圆恒有两个公共点，
则必在椭圆内部，即，则，
当椭圆的焦点在轴上，则，
直线恒过点，要使直线与椭圆恒有两个公共点，
则必在椭圆内部，显然成立，
则，
综上可知：的取值范围：，，，
故答案为：，，．
【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想，属于基础题．
8．（2023春•长宁区校级期中）椭圆的焦点坐标为 ．
【分析】利用椭圆的标准方程，求解焦点坐标即可．
【解答】解：由椭圆方程可知其焦点在轴上，半焦距为，所以焦点坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的基本性质，属基础题．
9．（2023秋•普陀区校级期中）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是 ．
【分析】根据相关点法，即可求解．
【解答】解：设点，则，
又点在圆上，
，
的轨迹即为椭圆，
，，，
这个椭圆的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，相关点法的应用，属基础题．
10．（2023秋•浦东新区校级期中）已知椭圆，，为椭圆的两焦点，如果上存在点，使，那么离心率的取值范围是 ．
【分析】设椭圆的上顶点为，由上存在点，使，则，则，然后结合椭圆离心率的求法求解即可．
【解答】解：设椭圆的上顶点为，
由上存在点，使，
则，
则，
则，
又，
则离心率的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属基础题．
11．（2023秋•青浦区校级月考）若椭圆的方程为，且此椭圆的焦距为4，则实数 4或8 ．
【分析】首先分两种情况：①焦点在轴上．②焦点在轴上，分别求出的值即可．
【解答】解：椭圆的焦距为4．
，即
在椭圆中，
①焦点在轴上时：
解得：．
②焦点在轴上时
解得：
故答案为：4或8．
【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在轴或轴上，考察、、的关系式，及相关的运算问题．
12．（2023秋•浦东新区校级期中）椭圆的焦点为，，点在椭圆上，若，的大小为 ．
【分析】由，且，易得，再利用余弦定理，即可求得结论．
【解答】解：，，
．
在△中，，
．
故答案为：
【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．（2023秋•杨浦区校级期中）已知椭圆的两个焦点为、，为该椭圆上一点，为坐标原点且，满足，则的取值范围为 ， ．
【分析】由，可得．设，，由题意可得，，结合基本不等式及离心率计算公式即可得出结论．
【解答】解：设，，
由题意可得，，
，，
，解得，
，
，
，
．
故答案为：，．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及性质、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．（2023秋•杨浦区校级期中）设、分别为椭圆的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则 ．
【分析】由椭圆方程求得左焦点坐标，得到直线方程，与椭圆方程联立，求得，再由椭圆定义求解的值．
【解答】解：由椭圆，得，，则，
，又所作直线的斜率为1，则直线方程为，即，
联立，得．
设，，，，
则，，
．
由椭圆定义可得，，则．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
15．（2023秋•浦东新区校级月考）已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，，则周长的最大值为 ．
【分析】的周长为，而，的周长为，当最大时，、、三点共线，即求出最大值．
【解答】解：的周长为，
而，
的周长为，当最大时，、、三点共线，如图所示，
由题意得，，点坐标为，坐标为，
则的周长最大为，
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（2023•青浦区二模）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为 ．
【分析】如图，延长，与椭圆交于点，连接，设，可得，在△中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解．
【解答】解：设椭圆的半焦距为，
如图，延长，与椭圆交于点，连接，
由，所以根据对称性可知，，
设，，则，，
从而，故，
在中，，
所以，
在△中，，即，
所以，所以，所以离心率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，椭圆中的焦点三角形问题等知识，属于中档题．
17．（2023秋•宝山区校级期中）已知椭圆的左右顶点为和，右焦点坐标为，点为直线上一点．若外接圆的面积的最小值为，则的值等于 ．
【分析】数形结合可知当外接圆面积取到最小值时，圆与直线相切，得到半径，由此得解．
【解答】解；椭圆，则左、右顶点，，
则外接圆圆心在轴上，又右焦点，则，，
由点在直线上．如图所示，当外接圆面积取到最小值时，
圆与直线 相切，又圆的面积最小值为，则此时圆的半径，
解得，由得．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的性质，考查椭圆的方程，属于中档题．
18．（2023秋•浦东新区校级月考）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆，，为椭圆长轴的端点，，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则椭圆的离心率为 ．
【分析】设点，根据，将坐标代入化简即得点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，由此可得面积的最大值和面积的最小值，得出，之间的关系，进而求得椭圆离心率．
【解答】解：设点，由题意，，
则由，可得，即，
整理可得，即，
所以，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，
点到轴的距离的最大值为，
则的面积的最大值为，即，①
点到轴距离的最小值为，
则的面积的最小值为，即，②
由①②可得，因此，
椭圆的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标法求轨迹方程，考查椭圆离心率的求法，属中档题．
19．（2023秋•宝山区校级月考）已知，是椭圆的两焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，则椭圆的离心率是 ．
【分析】由题意可得，由直线与椭圆长轴垂直，得，△中，设，进而可得，即可得出椭圆长轴的长，焦距，即可得出答案．
【解答】解：是正三角形，，
直线与椭圆长轴垂直，是正三角形的高，
，
在△中，设，，
，，焦距，
椭圆的离心率是．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的离心率的求法，属中档题．
20．（2023秋•浦东新区校级月考）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为 ．
【分析】结合题意，由球的半径可求得，的值，进而可得的正弦值，所以可求出的值，即可以求出的值，由圆柱的底面半径可以求出的值，进而可以求出离心率．
【解答】解：在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆，
则由图可知：，，
所以，
又因为，
结合可知：，
所以，
而，
即，
所以，
所以离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属中档题．
21．（2023秋•宝山区校级月考）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？
（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）
【分析】（1）根据题意，建立坐标系，可得的坐标并设出椭圆的方程，将与点坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得，计算可得答案；
（2）根据题意，设椭圆方程为，将代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当且，时，，进而分析可得答案．
【解答】解：（1）如图建立直角坐标系，则点，
椭圆方程为．
将与点坐标代入椭圆方程，
得，
此时此时
因此隧道的拱宽约为33.3米；
（2）由椭圆方程，
根据题意，将代入方程可得．
因为
即且，，
所以
当取最小值时，
有，
得，
此时，
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．
【点评】本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．
三．抛物线的标准方程（共1小题）
22．（2023秋•宝山区校级月考）如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一段，宽，高，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为 ．
【分析】根据题意，设抛物线方程为，分析的坐标，由此求出抛物线的标准方程，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设抛物线方程为，
则的坐标为，
则有，解可得，抛物线的方程为，
则其准线的方程为，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物的应用，涉及抛物线的标准方程，属于基础题．
四．抛物线的性质（共9小题）
23．（2023秋•宝山区校级期中）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为
A．B．C．D．
【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得，然后整理换元转化为二次函数求最值．
【解答】解：如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，
该抛物线的准线方程为，设，
由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，
如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，
，且，
所以，令，则，
所以，由，
而，
得取得最小值，则的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
24．（2023秋•杨浦区校级期中），是关于的二次方程的两个不同实数根，则经过两点，，，的直线与抛物线公共点的个数是
A．2B．1C．0D．不确定
【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系求解．
【解答】解：已知，是关于的二次方程的两个不同实数根，
则，，
又经过两点，，，的直线方程为，
即，
即，
又，
令，
即，
即直线过定点，
又，
即点在抛物线内部，
又直线斜率不为0，
即直线与抛物线的对称轴不平行，
即直线与抛物线公共点的个数是2个，
故选：．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
25．（2023秋•青浦区校级月考）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为 1.63 ．（精确到
【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，利用点的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程 可求出结果．
【解答】解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线的标准方程为，
由题意可得，代入，得，解得，
抛物线方程为，
设，，，，则，
则，，
截面图中水面宽的长度约为．
故答案为：1.63．
【点评】本题考查抛物线方程及其性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
26．（2023秋•浦东新区校级月考）如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为时，水面宽度为，当水面再上升时，水面宽度为 ．
【分析】由题意建立平面直角坐标系，设抛物线所在直线方程，由已知求解抛物线方程，取求得值，则答案可求．
【解答】解：建立如图上式平面直角坐标系，
设高脚杯的轴截面所在抛物线方程为，
由题意可得，代入抛物线方程，可得，即，
则抛物线方程为，
由题意可设的纵坐标为3，则，即，
当水面再上升时，水面宽度为．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
27．（2023秋•杨浦区校级期中）已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 ．
【分析】由抛物线的定义，结合点到直线的距离公式求解．
【解答】解：已知抛物方程为线，
则抛物线的准线方程为，焦点，
又直线和直线，
则点到准线的距离等于点到焦点的距离，
则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为点到直线的距离，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
28．（2023秋•青浦区校级月考）已知抛物的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，若，则到准线的距离为 5 ．
【分析】结合图形，利用相似关系，以及抛物线的几何性质，即可求解．
【解答】解：由抛物线，可知，即为坐标原点），
过点作轴的垂线，垂足为，由三角形相似可知，
所以，所以点到准线的距离为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属中档题．
29．（2023秋•浦东新区校级月考）为抛物线上任意一点，是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，点为线段的中点，则的取值范围是 ， ．
【分析】设出，，，得出，则，结合，，即可求得取值范围．
【解答】解：如图，，，设，，，
由点为线段的中点，得，
故，
因为，，所以，，
故当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为7，
则的取值范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查向量数量积的坐标运算，属中档题．
30．（2023秋•杨浦区校级期中）已知抛物线的方程为．
（1）求过点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程；
（2）已知直线过焦点，且与抛物线交于，两点，点为该抛物线准线上一点，求证：．
【分析】（1）考虑直线斜率不存在和与抛物线对称轴平行的直线，再在斜率存在时，设方程，由它与抛物线相切得结论．
（2）直线方程为，设，，，，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，代入计算可得．
【解答】（1）解：已知抛物线的方程为，
显然直线和直线都是与抛物线只有一个公共点，
再设直线方程为，
代入抛物线方程得，
由△得，
即直线方程为，它与抛物线相切，只有一个公共点，
所以所求直线方程为或或；
（2）证明：由已知抛物线焦点为，
设直线方程为，
设，，，，
由得，
则，，
又抛物线的准线方程是，
设，
所以
．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
31．（2023秋•宝山区校级期中）已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的动点．
（1）是一个定点，求的最小值：
（2）若焦点是的垂心，求点、的坐标
【分析】（1）设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小，进而可推断出当，，三点共线时的最小，答案可得．
（2）根据垂心的性质可得，关于轴对称，且，设，，则，．求出，的斜率，令解出即可得出，的坐标．
【解答】解：（1）设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，
要求取得最小值，即求取得最小，
当，，三点共线时最小，为．
即的最小值：5．
（2）抛物线焦点，
焦点是的垂心，
直线轴．
，关于轴对称．
设，，则，．
．．
焦点是的垂心，
．
，即，解得．
，，；或，，．
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当，，三点共线时最小，同时考查三角形垂心的性质，属于中档题．
五．双曲线的标准方程（共2小题）
32．（2023秋•奉贤区校级期中）以椭圆的焦点为顶点、椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程是 ．
【分析】由已知求出椭圆的顶点坐标与焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标与顶点坐标，进一步得到与的值，则答案可求．
【解答】解：由椭圆的方程，得焦点坐标为，，顶点坐标为、，
若双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，
则双曲线的焦点坐标为，顶点坐标为，，
则其中，，则，
故要求双曲线的方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查双曲线标准方程的求法，是基础题．
33．（2022秋•杨浦区校级期末）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 ．
【分析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用、、的关系和条件列出方程求出、，代入双曲线的方程即可．
【解答】解：由题意得，，
解得，，
双曲线的方程是，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．
六．双曲线的性质（共17小题）
34．（2023秋•杨浦区校级期中）设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为
A．4B．C．D．
【分析】直接利用双曲线的标准方程求出，再由双曲线的定义得答案．
【解答】解：双曲线，，，
由双曲线的定义可得，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为4．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线定义的应用，是基础题．
35．（2023秋•杨浦区校级月考）已知点的坐标满足，则动点的轨迹是
A．双曲线B．双曲线一支C．两条射线D．一条射线
【分析】利用双曲线的定义，直接判断．
【解答】解：点的坐标满足，
动点到和的距离之差等于4，
和两点间的距离为，
动点的轨迹方程是双曲线的一支．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的定义，是基础题，解题时要熟练掌握两点间距离公式．
36．（2023秋•浦东新区校级月考）双曲线的两渐近线夹角为 ．
【分析】首先求出渐近线方程，设直线的倾斜角为，即可求出，设双曲线的两渐近线夹角为，则，即可求出．
【解答】解：双曲线的渐近线为，
设直线的倾斜角为，则，
所以，所以为钝角，
设双曲线的两渐近线夹角为，
则，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．
37．（2023秋•松江区月考）已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为 ．
【分析】由双曲线的离心率求出渐近线的斜率，根据直线的夹角公式即可求得答案．
【解答】解：因为双曲线的离心率为，所以，即，则，
故双曲线两条渐渐近线的斜率为，
设双曲线的两条渐近线的夹角为，则，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
38．（2023•浦东新区三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据双曲线标准方程的特点求解．
【解答】解：是焦点在轴上的双曲线，
，，即；
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
39．（2023秋•浦东新区校级期中）已知双曲线的一条渐近线方程是，则 5 ．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，求解即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，
可得，
所以．
故答案为：5．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
40．（2023秋•浦东新区校级月考）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点为，则双曲线的标准方程为 ．
【分析】利用焦点坐标得到的值，由渐近线方程得到和的关系，再利用，即可求出，的值，从而得到双曲线的标准方程．
【解答】解：因为焦点为，则，
又渐近线方程为，则，即，
因为，所以，
解得，，
故双曲线的标准方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，双曲线标准方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
41．（2023秋•宝山区校级月考）在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以，
所以双曲线的离心率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
42．（2023秋•宝山区校级月考）已知方程表示双曲线，则的取值范围是 ，， ．
【分析】由方程表示双曲线，知，由此能求出的取值范围．
【解答】解：方程表示双曲线，
，
解得，
的取值范围是，，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用．
43．（2023秋•浦东新区校级期中）从双曲线的左焦点引圆的切线交双曲线右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则等于 ．
【分析】利用坐标原点是两焦点的中点，利用三角形的中位线的性质得到用焦半径表示；将用焦半径表示；利用圆的切线与过切点的半径垂直得到直角三角形；利用勾股定理及双曲线的定义，求出值．
【解答】设双曲线的右焦点为，因为为中点，为中点，所以为三角形的中位线，
，
又，
所以，
又，
．
所以．
故答案为．
【点评】在解决双曲线中的有关中点问题时，要注意坐标原点是两个焦点的中点、解决与双曲线的与焦点有关的问题常联系双曲线的定义．
44．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为55米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为 ．
【分析】设双曲线的标准方程，利用条件确定，，进而利用离心率公式求解即可．
【解答】解：如图，以冷却塔的轴截面所在平面建立的平面直角坐标系，
设双曲线的标准方程为，
则由题知，点横坐标为20，，
点，的横坐标分别为，
则设点，的坐标为，
所以，解得，，
因冷却塔总高度为55米，
所以，，
所以，
故所求双曲线的离心率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题．
45．（2023秋•松江区月考）已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点、使，则的取值范围为 ， ．
【分析】设，，利用，可得，可求的取值范围．
【解答】解：设，，则，，，
，，，，
，，，，
又，，，
．
故答案为：，．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查向量的数积的计算，属中档题．
46．（2023秋•奉贤区校级期中）过双曲线的右焦点作一条垂直于轴的垂线交双曲线的两条渐近线于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为 8 ．
【分析】求得双曲线的，，求得双曲线的渐近线方程，将代入双曲线的渐近线方程，可得，的坐标，求得的面积，运用基本不等式可得最小值．
【解答】解：双曲线的，，，
设，双曲线的渐近线方程为，
由代入可得交点，，
即有的面积为
，
当且仅当时，的面积取得最小值8．
故答案为：8．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查三角形的面积的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
47．（2023秋•杨浦区校级期中）已知双曲线，过点作直线和双曲线交于，两点．点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，则直线倾斜角的取值范围是 ．
【分析】根据双曲线的几何性质，斜率公式，直线斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
又过点作直线和双曲线交于，两点，点在第一象限，
设直线的方程为，，设，
则，，
，又，，
，又倾斜角范围为，，
直线倾斜角的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，斜率公式，直线斜率与倾斜角的关系，属中档题．
48．（2023秋•浦东新区校级期中）双曲线的离心率是，点，是该双曲线的两焦点，在双曲线上，且轴，则△的内切圆和外接圆半径之比 ．
【分析】由离心率为，可得，再由轴，结合双曲线的定义可表示出，，从而可表示出△的内切圆和外接圆半径，进而可求得答案．
【解答】解：由，得，则，
设，，，，
因为轴，所以，所以，
所以△的内切圆半径为，
△的外接圆半径为，
所以△的内切圆和外接圆半径之比．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及三角形的内切圆和外接圆半径的求法，属中档题．
49．（2023春•浦东新区期末）若双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的标准方程为 ．
【分析】求出抛物线的焦点，即有，求得渐近线方程即有，结合，，的关系，即可解得，，进而得到双曲线方程．
【解答】解：抛物线的焦点为，
即有双曲线的焦点为，
设双曲线的方程为，
则，
由渐近线方程为．
则有有，
又，
解得，，
则双曲线的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，考查运算能力，属基础题．
50．（2023•长宁区二模）已知、是双曲线的左、右焦点，是的一条渐近线，以为圆心的圆与相切于点．若双曲线的离心率为2，则 ．
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式推得，再结合离心率公式，求得，，并根据余弦定理，即可求解．
【解答】解：不妨设双曲线的一条渐近线为，
则到直线的距离为，
以为圆心的圆与相切于点，
则，
故，
双曲线的离心率为2，
则，即，，
在△中，，
在△中，，解得，
，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．