【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题05计数原理全章复习攻略-考点归纳讲练.zip

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知识点一 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
知识点三 两个计数原理的区别与联系
知识点四 两个计数原理的应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
知识点五 排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
知识点六 排列相同的条件
两个排列相同的充要条件：
(1)两个排列的元素完全相同．
(2)元素的排列顺序也相同．
知识点七 排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
知识点八 排列数公式及全排列
1．排列数公式的两种形式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！).
2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为Aeq \\al(n,n)＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
知识点九 组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
知识点十 排列与组合的关系
知识点十一 组合数公式
规定：Ceq \\al(0,n)＝1.
知识点十二 组合数的性质
性质1：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
性质2：Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
知识点十三 二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数Ceq \\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点十四 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk.
知识点十五 二项式系数的性质
一．古典概型及其概率计算公式（共5小题）
1．（2023春•宝山区校级期中）已知是1，3，3，5，7，8，10，11的分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于的概率为
A．B．C．D．
2．（2024春•长宁区校级月考）将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为
A．B．C．D．
3．（2023秋•黄浦区期中）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是
A．B．C．D．
4．（2024春•长宁区校级月考）盒子中有大小与质地相同的8只红球和2只黑球，每次从中任取一个球，不放回地连续取两次，则事件“取出的两只球一只是红球，一只是黑球”的概率是 ．
5．（2023•黄浦区模拟）如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．
二．分类加法计数原理（共2小题）
6．（2023春•闵行区月考）小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有 种．
7．（2022•崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
（1）每位学生每天最多选择1项；
（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有 种．（用数值表示）
三．分步乘法计数原理（共4小题）
8．（2023秋•松江区校级月考）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有种，则为
A．，B．，C．，D．，
9．（2023春•嘉定区校级期中）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有
A．10种B．20种C．25种D．32种
10．（2023秋•普陀区期中）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 种．（结果用数值表示）
11．（2023春•浦东新区校级期末）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点、、、、、上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）．
四．计数原理的应用（共5小题）
12．（2023春•闵行区月考）五名旅客在三家旅店投宿的方法有 种．
13．（2023春•浦东新区校级期中）书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 种不同的插法．（具体数字作答）
14．（2023春•长宁区校级期末）用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数．
（1）组成的四位数中，大于4000的有多少个？
（2）能组成多少个被25整除的四位数？这些数相加，所得的和是多少？
15．（2023春•徐汇区校级期中）已知，，，，，六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有 种．
16．（2023春•浦东新区校级期末）某校高二年级共有10个班级，5位数学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数 ．
五．排列及排列数公式（共4小题）
17．（2023春•金山区校级期末）已知，则的值为
A．3B．4C．5D．6
18．（2023春•浦东新区校级期中）下列关于排列数和组合数的计算中正确的是
A．B．
C．D．
19．（2023春•长宁区校级期中）已知为正整数，且，则 ．
20．（2023春•闵行区校级期中）若，则 ．
六．组合及组合数公式（共7小题）
21．（2023春•浦东新区校级期中）已知，则正整数 ．
22．（2023秋•嘉定区校级期中）若，则 ．
23．（2023春•浦东新区校级期中） ．
24．（2023春•普陀区校级月考）若，则实数 ．
25．（2023春•闵行区月考）计算： ．
26．（2023春•闵行区校级期中）富比尼原理又称算两次原理，是组合数学中非常重要的计算方法，下面的组合恒等式可以用富比尼原理进行证明，具体如下：人中有1人是军人，从人中选人各奖励1颗星，共有种选法，另一方面，这等价于考虑这人中的军人是否被选中，若选中军人，则有种选法，若未选中军人，则有种选法，所以；
（1）若，求关于的方程的解；
（2）将题干中的问题推广到人中有人是军人的情形，写出结论并加以证明．
27．（2023春•静安区期末）（1）已知是自然数，是正整数，且．求证组合数性质：；
（2）按（1）中的组合数性质公式，有．请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据．
七．排列、组合及简单计数问题（共5小题）
28．（2023春•普陀区校级月考）现要用5种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有
A．180种B．192种C．300种D．420种
29．（2023春•杨浦区校级月考）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有
A．68种B．70种C．72种D．74种
30．（2024春•长宁区校级月考）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有 种（用数字作答）．
31．（2022秋•长宁区期末）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有 种不同的选法．
32．（2023秋•黄浦区校级月考）空间中有三个点，，，且，在空间中任取2个不同的点，使得它们与，，恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 种．
八．二项式定理（共5小题）
33．（2023春•浦东新区校级期末）的展开式中的系数是 ．
34．（2023秋•徐汇区校级月考）的二项展开式中，常数项为 ．
35．（2023•黄浦区校级模拟）若的展开式中的系数为160，则实数的值为 ．
36．（2023春•普陀区校级期末）已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．
（1）求的值；
（2）求的展开式的中间两项．
37．（2023春•闵行区校级期中）已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的所有有理项，并指明是第几项．
一．填空题（共12小题）
1．（2023•黄浦区校级开学）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则同一个项目最多只有2人参寒的情况共有 种．
2．（2023春•闵行区月考）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有 种．
3．（2023春•宝山区校级期中）2位教师和4名学生站成一排合影，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为 （结果用数字表示）．
4．（2023春•徐汇区校级期中）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
5．（2023秋•嘉定区期末）已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
6．（2023秋•闵行区期末）已知，则 ．
7．（2023秋•青浦区校级期中）已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则的值为 ．
8．（2023秋•虹口区校级期中）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为 ．
9．（2023春•浦东新区校级月考）把二项式的所有展开项重新排列，则有理项不相邻的概率为 ．
10．（2023•杨浦区校级模拟）若，则 ．
11．（2023春•徐汇区校级期中）二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 ．
12．（2023秋•浦东新区校级期中）设，为的展开式的各项系数之和，表示不超过实数的最大整数），则的最小值为 ．
二．选择题（共4小题）
13．（2022春•浦东新区校级期末）公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由、、、、中的两个不同字母，和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3个不同数字，组成的三个数字都相邻的一个号牌，则他选择号牌的方法种数最多有
A．7200种B．14400种C．21600种D．43200种
14．（2023春•闵行区月考）已知，则被10除所得的余数为
A．0B．1C．2D．3
15．（2023春•嘉定区校级月考）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则的值为
A．1B．2C．3D．4
16．（2022春•宝山区校级期末）设为实数，甲：；乙：二项展开式常数项为1．则甲是乙成立的 条件．
A．充分但不必要B．充要
C．必要但不充分D．既不充分也不必要
三．解答题（共5小题）
17．（2022秋•浦东新区校级期末）4个男同学，3个女同学站成一排．
（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？
（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？
18．（2023春•青浦区期中）已知二项式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．
（1）求展开式中含的项；
（2）求系数最大的项．
19．（2023春•杨浦区校级期中）设实数．对任意给定的实数，都有．
（1）当时，求的值；
（2）若是整数，且满足成立，求的值；
（3）当时，根据的取值，讨论的二项展开式中系数最大的项是第几项．
20．（2023春•普陀区校级期末）规定，其中，是正整数，且这是组合数，是正整数，且的一种推广．
（1）的值；
（2）组合数的两个性质：；是否都能推广到的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由；
（3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，．
21．（2023春•闵行区月考）晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：
（1）3个舞蹈节目排在一起；
（2）3个舞蹈节目彼此分开；
（3）3个舞蹈节目先后顺序一定；
（4）前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点
针对的是“分类”问题
不同点
各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事
各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数Ceq \\al(m,n)与排列数Aeq \\al(m,n)间存在的关系
Aeq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m,n)Aeq \\al(m,m)
组合数
公式
乘积
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)
对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增减性
与最
大值
增减性：当keq \f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项
式系数
的和
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1
时间
周一
周二
周三
周四
周五
课后服务
音乐、阅读、
体育、编程
口语、阅读、
编程、美术
手工、阅读、
科技、体育
口语、阅读、
体育、编程
音乐、口语、
美术、科技