【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题1-3两条直线的位置关系-考点归纳讲练.zip

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知识点一．两直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行．
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即．
证明如下：
设两条直线的斜率分别为．
如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即．
∴，∴．
反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么．
由于，∴．又两条直线不重合，∴．
知识点二．两直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直．
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即．
证明如下：
设两条直线与的倾斜角分别为与．
如果，这时．否则，则，与相矛盾．
设（如下图），
图（1）的特征是与的交点在x轴上方；
图（2）的特征是与的交点在x轴下方；
图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有．
∵，的斜率分别是，且，∴．
∴． ∴，即．
反过来，若，即．
不失一般性，设，则，即，
∴．
知识点三、两直线位置关系的判定方法
1.已知两直线的斜率存在
两直线平行、两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等;
两直线垂直、两直线的斜率之积为-1.
2.已知两直线的斜率不存在
若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行;否则两直线重合
知识点四、两直线的夹角与垂直关系
两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.
如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0.
平面上两条直线夹角的范围：.
两条直线：（其中不同时为零；不同时为零）的夹角为：.
两条直线：的夹角为：，
.
注：公式应用前提是两直线的斜率均存在.
两条直线垂直的充要条件：
题型一：两条直线相交、平行与重合的判定
一、单选题
1．（2023上·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）若中，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边，且，则直线与直线（ ）
A．平行B．重合C．相交且垂直D．相交且不垂直
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质可得，将两直线化为斜截式，求出对应的斜率，结合正弦定理即可得出结果.
【详解】因为，所以均为正数，
由，即，
可得，即，
对于直线，即，
对于直线，即，
由正弦定理可得，所以直线与直线重合.
故选：B.
2．（2023上·上海·高二华师大二附中校考期末）若直线与直线平行，则（ ）
A．B．0C．1D．1或
【答案】C
【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可求解.
【详解】直线与直线平行，
故，解得，
故选：C
3．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）“”是“直线与直线平行”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
【答案】C
【分析】根据两直线平行满足的系数关系可得，即可结合充要条件的判定求解.
【详解】若直线与直线平行，
则，解得，
故 “”是“直线与直线平行”的充要条件，
故选：C
二、填空题
4．（2023上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知集合、，若，则 ．
【答案】1
【分析】即两图像没有交点，即两直线平行.
【详解】依题知两直线平行，则，解得，
经验证时，两直线不重合，所以.
故答案为：1
5．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）已知直线与直线平行，则实数 .
【答案】1
【分析】根据直线平行的条件求解即可.
【详解】由两直线平行，得，解得.
当时，直线与直线平行，所以.
故答案为：1.
6．（2023上·上海·高二曹杨二中校考阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程为 .
【答案】
【分析】由直线平行设直线为，将点代入求参数，即可得方程.
【详解】设所求直线方程为，
将点代入，解得，
则所求直线方程为.
故答案为：
7．（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知直线：与：，若，则实数的值为 ．
【答案】或
【分析】根据两直线平行的条件列式求解即可.
【详解】若，则，即，解得或，
当时，直线：与：，符合题意；
当时，直线：与：，符合题意，
综上，或.
故答案为：或.
三、解答题
8．（2023上·高二课时练习）求证：在直角坐标平面内，如果两条直线平行，那么它们的倾斜角相等．
【答案】证明见解析
【分析】设直线倾斜角分别为，由直线斜率与倾斜角关系及平行关系，结合倾斜角的范围证结论.
【详解】令两条平行直线的倾斜角分别为，
若两直线都垂直于轴，此时；
若两直线不垂直于轴，则，又，则必有；
综上，两条直线平行，则它们的倾斜角相等.
9．（2023上·高二课时练习）已知直线，，分别求的取值范围，使得：
(1)与相交；
(2)；
(3)与重合.
【答案】(1)且
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得，运算求解即可；
（2）（3）由题意可得，运算求解并检验即可.
【详解】（1）若与相交，等价于，即，解得且，
所以当且时，与相交.
（2）若，则，即，解得或，
当时，，，即，符合题意；
当时，，，即与重合，不合题意；
综上所述：.
（3）由（2）可得：.
10．（2024·全国·高二专题练习）已知经过，经过，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】求出直线的斜率，说明两直线不重合，根据斜率相等，即可证明结论.
【详解】证明：由题意得直线的斜率为，
直线的斜率为，
又，,
即不共线，即不重合，
因为，∴.
题型二：两条直线位置关系的应用
11．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．
【答案】
【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可.
【详解】由解得，所以的交点坐标为，
过定点，
若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行，
当经过点时，，解得；
当与平行时，，解得；
当与平行时，，解得.
故的值为.
故答案为：（只需写出其中一个即可）.
12．（2024上·上海·高二假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值．
【答案】或或
【分析】根据三条直线“至少有两条直线平行”或“三线共点”来求得的值.
【详解】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点．
当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为，
若，则.
若，则..
若三线共点，由解得，设，
将代入，
得，
综上所述，或或.
13．（2023下·上海宝山·高二统考期末）已知直线，.
(1)若，求实数的值；
(2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，结合截距的定义，并分类讨论，即可求解．
【详解】（1）直线，．
则，解得或，
当时，，，则直线，重合，不符合题意；
当时，，，则直线，不重合，符合题意，
故.
（2）当，即时，，直线在两坐标轴上的截距为，
满足直线在两个坐标轴上的截距相等；
当且时，
则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
由题意可知，，解得，
当时直线，显然不符合题意，
综上所述，或．
14．（2023上·高二课时练习）是否存在实数，使直线与直线平行？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，或.
【分析】利用两条直线不相交的等价条件求出，再验证作答.
【详解】依题意，直线与直线不相交，
则，解得或，
当时，直线与直线平行，
当时，直线与直线平行，
所以存在实数满足条件，或.
题型三：两条直线垂直的判定
15．（2023上·高二课时练习）已知直线与垂直，求实数的值.
【答案】
【分析】根据两直线垂直的公式求解即可.
【详解】因为直线与垂直，
故，
即，
解得.
16．（2023上·高二课时练习）设直线、的倾斜角分别为、，求证：的充要条件是．
【答案】证明见解析
【分析】对直线的倾斜角分类讨论，运用三角形外角定理证明.
【详解】如图，直线相交于A点，分别与x轴交于B，C两点，
当时，如果，则；
如果是的外角，，，
即是的充要条件；
当时，则 轴，如果，则轴，；
如果，则，，即；
即是的充要条件.
题型四：两条直线垂直的应用
17．（2023上·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知的顶点，线段的中点为，且.
(1)求的值；
(2)求边上的中线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直满足的斜率关系即可求解，
（2）根据中点公式以及斜率公式即可根据点斜式求解方程.
【详解】（1）因为，所以的坐标为，
因为，所以，
解得.
（2）设线段的中点为，由（1）知，则，
所以，
所以直线的方程为，化简得，
即边上的中线所在直线的方程为.
18．（2022上·上海宝山·高二校考期中）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.
(1)若直线与法向量平行，写出直线的方程；
(2)求面积的最小值；
(3)如图，若点分向量所成的比的值为2，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)；
(2)12；
(3)证明见解析，定点为.
【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点即可求出直线方程；
（2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不定式即可求出面积最小值；
（3）设，利用定比分点公式得到，再设，根据四边形面积得到，代回直线方程，求出定点.
【详解】（1）由题设直线，将点代入得，,故直线
（2）设直线的方程为，
将点代入得，则，
则，当且仅当，结合，即时等号成立.
故的面积最小值为12.
（3）证明：点分向量所成的比的值为2,即为,
设,由,
即有,
可得,,
梯形的面积为,由题意可得梯形的面积为6,
设,可得,即,
由直线的方程为,
将代入上式可得
,
由解得,
则直线经过定点.
题型五：求两条直线的夹角
19．（2023上·高二课时练习）求下列每组两条直线的夹角：
(1)与；
(2)与.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先得到和的斜率，再结合两条直线的夹角公式即可求解；
（2）先求得与的斜率，再结合两条直线的夹角公式即可求解
【详解】（1）由得，则该直线的斜率，
又由得，则该直线的斜率，
设与的夹角为（），
则，则，.
故与的夹角为.
（2）直线的斜率，
直线的斜率，
设与的夹角为，（），
则，则，，
故与的夹角为.
题型六：两条直线夹角公式的应用
20．（2023下·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知直线经过两条直线与的交点且与直线的夹角为，求直线的方程.
【答案】或
【分析】利用联立两条直线方程得出交点坐标，再利用两条直线的夹角公式及直线的点斜式方程即可求解.
【详解】由，得，
所以，
设直线的斜率为，则
解得，
所以直线的方程为，即，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也满足题意，
所以直线的方程为或.
21．（2023上·上海·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，
(1)求直线的方程；
(2)若直线过点，且直线与直线的夹角为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求得点的坐标，然后根据点斜式求得直线的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，通过夹角公式求得直线的方程.
【详解】（1）由解得，故.
直线斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
（2）设直线与直线的夹角为，且，则为锐角，且，
所以，
直线的斜率为，
当直线的斜率不存在，即直线轴时，，符合题意，.
当直线的斜率存在时，设其斜率为，
则，解得，
所以直线的方程为.
所以直线的方程为或.
一、填空题
1．（2024上·上海·高二上海市七宝中学校考期末）直线：与直线：的夹角的大小为 ．
【答案】
【分析】求出直线、的倾斜角，即可求出两条直线的夹角大小.
【详解】直线：的倾斜角，有，因此，
直线：的倾斜角，
所以直线：与直线：的夹角的大小为.
故答案为：
2．（2023上·上海·高二校考阶段练习）过定点且与直线平行的直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】利用两直线平行时方程的特点直接可写出所求直线.
【详解】过点且与直线平行的直线方程为：，即.
故答案为：
3．（2024上·上海·高二校考期末）已知直线：与：平行，则 .
【答案】1
【分析】由题意两直线平行得斜率相等且截距不等，求解即可.
【详解】由已知：方程可化为，则直线斜率为，
由两直线平行，则的斜率也存在，且为，
则：方程可化为：，
所以有，且，解得.
故答案为：.
4．（2023上·上海·高二校考期末）已知直线与垂直，则的值是 .
【答案】3
【分析】两个含参数的直线互相垂直，在利用直线斜率判断时，需先考虑两直线斜率不存在时是否符合，再用斜率之积等于进行求解即得.
【详解】当时，，即时，；
当时，，显然与不垂直；
当且时，直线与的斜率分别为：与，由，解得：，此时显然不成立.
综上，的值为3.
故答案为：3.
5．（2023上·上海·高二期末）若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】求出直线l的斜率，利用直线垂直关系列式求出a的值即得.
【详解】依题意，直线的斜率存在且为，由直线l经过点和，
得直线的斜率，解得，
所以实数a的值为.
故答案为：
6．（2023上·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线与直线的夹角为，则实数 ．
【答案】或
【分析】设直线与直线的夹角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，从而得到或，求出（或）即可得解.
【详解】设直线与直线的夹角为，则，
所以，
所以，，
设直线的倾斜角为，则，
设直线的倾斜角为，则，
所以或，
当时，
所以，则，
当，则，所以无意义，即，
所以直线的斜率不存在，所以，
综上可得或.
故答案为：或
7．（2023上·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）若直线与直线的倾斜角相等，则实数 .
【答案】
【分析】首先将直线化为斜截式，依题意可得，即可得解.
【详解】直线即，
直线即，
因为直线与直线的倾斜角相等，
所以，即.
故答案为：
8．（2023上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用两条直线的夹角公式求解即可.
【详解】由题知直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线与直线的夹角，
所以，即，
解得.
故答案为：.
9．（2024上·上海·高二假期作业）已知定点与定直线：，过点的直线与交于第一象限点，与轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程为 .
【答案】
【分析】分斜率存在与不存在两种情况，分别求出坐标，从而表示出的面积，进而可求出的面积的最小值，得出结果.
【详解】当直线斜率不存在时，直线的方程为，由，得到，
即，又易知，所以的面积为，
（2）当直线斜率存在时，不妨设直线为，
令，得到，
又由，消得到，
由题知，得到，
此时，的面积为，
令，得到，
则，
又因为，又由，得到，故，
所以，故，此时，
因为，所以使面积最小的直线方程为，即,
故答案为：.

10．（2023上·上海·高二曹杨二中校考阶段练习）过点且与直线的夹角大小为的直线的一般方程为 .
【答案】或
【分析】首先分斜率是否存在分类讨论，然后设出相应的直线方程，求出相应的方向向量，将直线的夹角转换为向量的方向向量的余弦来求直线方程中的参数即可得解.
【详解】由题意直线的方向向量为，
若斜率不存在，则直线方程为，其方向向量为，
夹角的余弦值为，符合题意，
若斜率存在， 设为，则直线方程为，其方向向量为，
则夹角的余弦值为，
则一般式方程为或.
故答案为：或.
二、单选题
11．（2024上·上海·高二假期作业）已知常数，直线：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可.
【详解】因为直线：，：，
当时，解得，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
12．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
【答案】C
【分析】根据直线方程确定斜率，利用三角形边角关系及直线垂直的判定判断两直线的位置关系即可.
【详解】由题设，的斜率为，的斜率为，
又，则，即两直线垂直.
故选：C
13．（2023上·上海·高二曹杨二中校考阶段练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程.
【详解】直线与直线的方程相减可得，，
把点代入可得，
所以，
所以线段的垂直平分线的方程是，即，
故选：C
三、解答题
14．（2023上·高二课时练习）判断下列两条直线的位置关系.若相交，求出交点坐标.
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)平行
(2)相交，
【分析】（1）求出两直线的斜率，即可判断；
（2）首先判断两直线不平行，再联立直线方程，求出交点坐标.
【详解】（1）对于，，
则，，所以，
又因为，所以.
（2）因为与的斜率分别为，，则，所以两条直线相交，
由，解得，所以两条直线的交点坐标为.
15．（2023上·高二课时练习）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值：
(1)与相交；
(2)与平行；
(3)与重合.
【答案】(1)且
(2)
(3)
【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围；
（2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值；
（3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值.
【详解】（1）解：已知，直线，
若与相交，则，即，解得且.
（2）解：已知，直线，
若与平行，则，即，解得.
（3）解：已知，直线，
若与重合，则，即，解得.
16．（2023上·高二课时练习）已知两条直线和，且，求实数的值.
【答案】或.
【分析】直接根据平行得，解出再检验即可.
【详解】若两直线平行，则，解得：或.
检验：当时，直线，直线，两直线平行；
当时，直线，即，直线，两直线平行，
所以或.
17．（2023上·高二课时练习）若直线与直线的夹角为，求的值.
【答案】
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系可得直线的倾斜角，进而可得直线的倾斜角，从而可得的值.
【详解】由题意，直线的斜率为，故的倾斜角为，
又直线与直线的夹角为，故直线的倾斜角为或.
当直线的倾斜角为时不成立；
当直线的倾斜角为时有.
综上有.
18．（2023上·高二课时练习）分别求过直线和的交点，且与直线垂直或平行的直线方程.
【答案】答案见解析
【分析】求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，结合所求直线与直线平行、垂直，结合点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】解：联立，解得，即直线、的交点为，
因为直线的斜率为，
所以，过点且与直线垂直的直线的方程为，即，
过点且与直线平行的直线的方程为，即.
19．（2023上·高二课时练习）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形.
【答案】证明见解析
【分析】利用向量共线定理证明，再证明其长度不等即可.
【详解】，
，且不在一条直线上，
则直线与直线平行，且，
则四边形是梯形.
20．（2023上·高二课时练习）已知集合，，且，求实数的值.
【答案】
【分析】根据条件得到直线与直线平行且不重合，结合两条直线的平行的关系即可求解.
【详解】由题意知：，
所以直线与直线平行且不重合，
则，即，解得：或，
经检验，当时，，
，
即，所以，
故实数的值为.
21．（2024上·上海·高二曹杨二中校考期末）已知，设直线：，直线：.
(1)若，求m的值；
(2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)，点I恒在定直线上
【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得；
（2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上.
【详解】（1）因为，所以，解得，
当时，直线：，直线：即，显然此时两直线重合，
当时，直线：，直线：即，符合题意，
故.
（2）由（1）知，当，相交时，
联立，解得，∴，
因为，即，
所以点I恒在定直线上.