【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题2-4抛物线-考点归纳讲练.zip

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一．抛物线的定义
抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．
标准方程
①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；
②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．
性质
我们以y2＝2px（p＞0）为例：
①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．
【命题方向】
抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．
二．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
三．抛物线的性质
抛物线的简单性质：
一．抛物线的定义（共5小题）
1．（2023春•米东区校级月考）若抛物线上一点到定点的距离为2，则到轴的距离为
A．0B．1C．2D．4
2．（2023春•汉滨区期末）动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
3．（2023春•海淀区校级月考）已知直线，定点，是直线上的动点，若经过点，的圆与相切，则这个圆面积的最小值为
A．B．C．D．
4．（2023春•船山区校级月考）已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点，则的最小值是
A．5B．C．4D．
5．（2023秋•南海区月考）设抛物线的焦点为，点．若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为 ．
二．抛物线的标准方程（共8小题）
6．（2023秋•沙坪坝区校级期末）抛物线的焦点坐标为
A．B．C．，D．
7．（2022春•黄浦区校级期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是
A．B．C．D．
8．（2023•昌江县二模）中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为
A．B．C．D．12
9．（2022春•徐汇区期末）以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程为 ．
10．（2023春•保山期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 ．
11．（2023春•遂宁期末）分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程．
12．（2023春•张掖月考）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）经过点；
（2）焦点为直线与坐标轴的交点．
13．（2023春•内江月考）求符合下列条件的曲线方程：
（1）以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方程．
（2）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，，求抛物线的方程及点的坐标．
三．抛物线的性质（共12小题）
14．（2023春•浦东新区期中）若抛物线上一点的横坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为 ．
15．（2022秋•金山区期末）已知抛物线的焦点坐标为，则的值为 ．
16．（2023春•黄浦区校级期中）抛物线的焦点坐标为 ．
17．（2023春•黄浦区校级期末）若点为抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，则 ．
18．（2023春•浦东新区期末）抛物线的准线方程是 ．
19．（2023春•静安区期末）以为准线的抛物线的标准方程是 ．
20．（2024春•浦东新区校级月考）设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为
A．0B．1C．2D．3
21．（2023春•松江区校级期中）已知抛物线的焦点为，准线为，是过焦点的一条弦，已知点，则
A．焦点到准线的距离为1
B．焦点，准线方程为
C．
D．的最小值是5
22．（2023春•宝山区校级期中）已知抛物线的焦点为．
（1）求抛物线的方程；
（2）斜率为1的直线过点，且与抛物线交于，两点，求线段的长．
23．（2023春•浦东新区校级期末）（1）抛物线的焦点在轴上且抛物线过点，求抛物线的标准方程；
（2）双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又的实轴长为4，且一条渐近线为，求双曲线的标准方程．
24．（2023春•浦东新区期中）已知抛物线，其焦点到准线的距离为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于、两点，求的面积．
25．（2023春•静安区校级期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图，盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；
（2）若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位．
一．填空题（共12小题）
1．（2023•闵行区校级开学）已知抛物线上一点到此抛物线焦点的距离为，那么点的纵坐标为 ．
2．（2023春•宝山区校级月考）已经抛物线方程，则其准线方程为 ．
3．（2023春•松江区校级期中）抛物线的准线方程为
4．（2023春•普陀区校级期中）设为抛物线的焦点，、、为该抛物线上三点，若为的重心，则 ．
5．（2023春•杨浦区校级月考）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为 ．
6．（2023春•奉贤区期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，若，则到准线的距离为 ．
7．（2023春•静安区校级期中）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，和，，又直线经过抛物线的焦点，那么 ．
8．（2023春•浦东新区校级月考）抛物线的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则 ．
9．（2022秋•古冶区校级期末）已知抛物线的焦点为，点，，，在抛物线上，若，且的最小值为，则到抛物线的准线的距离为 ．
10．（2023春•长宁区校级期中）已知抛物线的弦过它的焦点，直线的斜率为1，则弦的长为 ．
11．（2023春•静安区校级期中）已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 ．
12．（2023春•黄浦区校级期中）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，则弦的中点到轴的距离为 ．
二．选择题（共4小题）
13．（2023春•虹口区校级月考）过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线的准线的交点为，点在抛物线准线上的射影为，若，则抛物线的方程为
A．B．C．D．
14．（2023春•奉贤区期末）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约 ．
A．1.33B．1.63C．1.50D．1.75
15．（2023春•嘉定区校级月考）已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于，两点，过，作的切线交于点，则下列结论中正确结论的个数是
（1）；
（2）若点，且直线与倾斜角互补，则；
（3）点在定直线上；
（4）设点，则的最小值为3．
A．1B．2C．3D．4
16．（2023春•浦东新区校级月考）设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是
A．B．C．D．
三．解答题（共5小题）
17．（2023春•徐汇区校级期中）求抛物线上的点到直线的最小距离．
18．（2021春•青浦区期末）已知抛物线：的焦点坐标为，设为点关于原点的对称点．
（1）若直线被抛物线截得的弦长为4，求抛物线的方程；
（2）为抛物线上任意一点，求的取值范围：
（3）过焦点作直线交抛物线于、两点，满足，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，若，求的值．
19．（2022秋•闵行区校级期末）如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形、内部的抛物线以及水平的杠杆组成，其中和分别与抛物线相切于，，，分别是和的中点．梯形的高和的长度都是4米．
（1）求杠杆的长度；
（2）求等腰梯形的周长．
20．（2022春•宝山区校级期中）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，，，两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
21．（2023春•浦东新区校级期中）如图，弯曲的河流是近似的抛物线，公路恰好是的准线，上的点到的距离最近，且为0.4千米，城镇位于点的北偏东处，千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路，以便建立水陆交通网．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程；
（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）
标准方程
y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上
x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形


顶点
（0，0）
（0，0）
对称轴
x轴
焦点在x轴长上
y轴
焦点在y轴长上
焦点
（，0）
（0，）
焦距
无
无
离心率
e＝1
e＝1
准线
x＝﹣
y＝﹣