【期中复习】2023-2024学年（苏教版2019选修二）高二数学下册专题01+空间向量与立体几何考点串讲课件

这是一份【期中复习】2023-2024学年（苏教版2019选修二）高二数学下册专题01+空间向量与立体几何考点串讲课件，共60页。

第6章 空间向量与立体几何
考点1 空间向量的有关概念
1.定义:在空间,把具有①　大小    和②　方向    的量叫做空间向量.2.长度(模):空间向量的③　大小    叫做空间向量的长度或模.3.表示法(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作④         ,其模记为|a|或⑤　| |    .
考点2 空间向量的线性运算
考点3 共线向量定理
　　对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使⑨    a=λb    .
1.共面向量:平行于同一个⑩　平面    的向量,叫做共面向量.2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一 的有序实数对(x,y),使     p=xa+yb    .
考点4 共面向量定理
练习1 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同. (　√　)2.空间中两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致. (　√　)3.空间向量的数乘中,λ只决定向量的大小,不决定向量的方向. (    ✕　)提示:设b=λa(a≠0),λ>0时,b与a方向相同,λ<0时,b与a方向相反.4.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. (    ✕　)提示:若b=0,a≠0,则不存在实数λ,使a=λb.5.空间中任意两个单位向量必相等. (    ✕　)提示:任意两个单位向量模相等,方向不一定相同.6.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p. (　√　)
考点5 空间向量的有关概念
1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空 间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的 相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相 对应的概念完全相同; 3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来 解决; 4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.
考点6 空间向量的线性运算
利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的 方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识,巧妙运用以下性质:①若点D为△ABC边BC的中点,则 = ( + );②若D为△ABC边BC上一点,且BD∶DC=λ∶μ,则 =  +  .
考点7 空间两个向量的夹角
1.如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,则① 　∠AOB    叫做向量a,b的夹角,记作②　〈a,b〉    . 2.两个非零向量a,b的夹角〈a,b〉的范围是③ 　[0,π]     ;若〈a,b〉=0,则向量a,b方向④相同;若〈a,b〉=π,则向量a,b方向⑤ 　相反    ;若〈a,b〉= ,则向量a,b⑥　互相垂直    .
考点8 空间向量的数量积
1.定义已知两个非零向量a,b,则⑦　|a||b|cs〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作⑧    a·b    .即a·b=|a||b|cs〈a,b〉.规定:零向量与任意向量的数量积为⑨　0    .2.运算律(1)(λa)·b=⑩     λ(a·b)    ,λ∈R;(2)交换律:a·b=     b·a    ;(3)分配律:a·(b+c)=     a·b+a·c    .
考点9 空间向量数量积的性质
1.a·e= 　|a|cs〈a,e〉  (其中e为单位向量);2.若a,b为非零向量,则a⊥b⇔     a·b=0    ;3.a·a=|a||a|cs〈a,a〉=|a|2或|a|=          =       ;4.若a,b为非零向量,则cs〈a,b〉=          ;5.|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时,等号成立).
考点10 空间向量的投影
　　1.如图(1),在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=  ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图(2)).  图(1) 图(2)
练习2 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”.
1.对于非零向量a,b,〈a,b〉与〈a,-b〉相等. (    ✕　)提示:〈a,b〉与〈a,-b〉互补.2.对于任意向量a,b,c,都有(a·b)c=a(b·c). (    ✕　)提示:(a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,但c与a不一定共线.3.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. (    ✕　)提示:由a·b=b·c知b·(a-c)=0,即b与a-c垂直或a=c,故a=c不一定成立.4.若a·b=0,则a=0或b=0. (    ✕　)
考点11 空间向量基本定理
　 如果三个向量a,b,c①　不共面    ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=②    xa+yb+zc    .我们把{a,b,c}叫做空间的一个③　基底    ,a,b,c都叫做④   基向量    .空间任意三个⑤　不共面    的向量都可以构成空间的一个⑥　基底    .
　　如果空间的一个基底中的三个基向量⑦ 　两两垂直    ,且长度都为⑧　1    ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个⑨　两两垂直    的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
考点12 空间向量的正交分解
考点13 空间直角坐标系
　　　在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为①正方向,以它们的长为②　单位长度   建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做③ 坐标轴    .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做④ 坐标向量 ,通过⑤每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成⑥　八    个部分.
考点14 空间点的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量 ,且点A的位置由向量 ⑦唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使⑧  =xi+yj+zk  .在单位正交基底{i,j,k}下与向量 对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
考点15 空间向量的坐标表示
　　在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作 =a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作⑨    a=(x,y,z)    .
考点16 空间向量运算的坐标表示
　　设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
考点17 空间向量常用结论的坐标表示
考点18 空间两点间的距离公式
　　在空间直角坐标系Oxyz中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则 = - =(x2-x1,y2-y1,z2-z1),P1P2=| |= .
练习3 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
1.点(2,-3,-1)在Oxy平面上的射影为点(2,-3). (    ✕　)提示:点(2,-3,-1)在Oxy平面上的射影为点(2,-3,0).2.已知i, j,k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量,并且 =-i+j-k,则B点的坐标为(-1,1,-1). (　√　)3.向量a=(2,-3,1)与向量b=(-4,6,-2)平行. (　√　)4.若向量a=(1,-1,2)与向量b=(x,2,-1)垂直,则x=4. (　√　)5.对于空间任意两个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若a与b共线,则 = = . (    ✕　)提示:b为零向量时不成立.6.空间向量a=(1,1,1)为单位向量. (    ✕　)提示:a的模不是1.
考点19 空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量 如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量①         来 表示.我们把向量②         称为点P的位置向量.
考点20 空间直线的向量表示式 
图(1)      图(2)
考点21 空间向量的有关概念
如图(1),a是直线l的方向向量,在直线l上取 =a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得 =ta,即 =t .进一步地,如图(2),取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使③     = +ta (i),将 =a代入(i)式,得④     = +t     (ii).(i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式.3.空间平面的向量表示式
考点22 空间向量的有关概念
如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y, 使⑤      = +x +y     (iii).我们把(iii)式称为空间平面ABC的向量表示式.4.法向量 如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的⑥　法向量    .给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合⑦　{P|a· =0}    .
考点23 空间中直线、平面的平行
考点24 空间中直线、平面的垂直
练习4 判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” 。
1.直线l的方向向量是唯一的. (    ✕　)提示:与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量.2.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.(　√　)3.若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. (    ✕　)提示:此命题成立的前提条件是k≠0.4.已知直线l垂直于平面α,向量a与直线l平行,则a是平面α的一个法向量. (    ✕　)提示:不一定.当a=0时,也满足a∥l,但a不是平面α的一个法向量.5.若直线l是平面α外的一条直线,直线m垂直于l在平面α内的投影,则l与m垂直. (    ✕　)提示:不一定.若直线m在平面α外,例如m⊥α,尽管m垂直于直线l在平面α内的投影,但也不能 得出m⊥l的结论.6.一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量.(　√　)
考点1 用空间向量研究距离
1.直线外一点到直线的距离 如图,直线l的单位方向向量为u,设 =a,则向量 在直线l上的投影向量 =①　(a·u)u    .在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线l的距离PQ=②     =     .
考点25 平面外一点到平面的距离
如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l, 交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离PQ=③     = =      .
考点26 用空间向量研究空间角
考点27 空间向量的有关概念
练习5 判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” 。
1.直线与平面所成的角α和该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余. (    ✕　)提示:当直线的方向向量与平面的法向量的夹角β是锐角时,直线与平面所成的角α与其互余.2.若一条直线在某一平面外,则该直线上任一点到平面的距离d必为一个正数. (    ✕　)提示:直线在平面外也有可能与平面相交.当直线与平面相交时,该说法不成立.3.平面的斜线与平面所成的角是锐角. (　√　)4.直线与平面所成角的范围是 . (　√　)5.若两个平面的法向量分别为n1,n2,则这两个平面的夹角与两个法向量的夹角一定 相等. (    ✕　)提示:也可能互补.6.设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,则点B到α的距离为d= . (    ✕　)提示:当A在平面内,B在平面外时结论才正确.
空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则、数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等.
例1 (1)判断下列各命题的真假：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析　①假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.
(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
训练1 (多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下结论正确的是(　　 )
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量、利用向量的共线和垂直进行证明.2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例2 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.
(1)求证：BM∥平面ADEF；
证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.又AD⊥CD，从而可得DA，DC，DE两两互相垂直.
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2).
(2)求证：BC⊥平面BDE.
迁移 本例条件不变，如何证明平面BCE⊥平面BDE?
证明　由本例(2)知BC⊥平面BDE，又BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE.
(1)证明：平面PQB⊥平面DCQ；
证明　由题意易知DA，DP，DC两两互相垂直.
如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz.
依题意有D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，
又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ，故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQB，所以平面PQB⊥平面DCQ.
(2)证明：PC∥平面BAQ.
证明　根据题意，有A(1，0，0)，B(1，0，1)，
即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.
2.通过利用向量计算空间距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例3 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.
解　以C为坐标原点，CB，CD，CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.由题意可知G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，
训练3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，BC＝2，E是PB上一点，且BE＝2EP，求点E到直线PD的距离.
解　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，0，2)，P(0，0，3)，D(0，2，0)，
2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例4 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
解　建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，
A1(0，0，4)，M(5，2，4)，D(0，8，0).
(2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值；
解 由(1)知A1D⊥AM，又A1D⊥AN，AM∩AN＝A，AM，AN⊂平面AMN，∴A1D⊥平面AMN，
(3)求平面ANM与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
训练4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则直线A1D与EC所成 的角的余弦值为________；平面A1ED与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ________.
解析　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，
∴n1＝(1，2，2).
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
类型一　利用空间向量证明线、面的位置关系
类型二　利用空间向量求解空间角
类型三　用空间向量解决折叠问题
类型四　用空间向量解决探索性问题