【期中模拟】2023-2024学年（沪教版2020选修） 上海市高二数学下学期期中模拟02（沪教版2020：坐标平面上的直线、圆锥曲线）.zip

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一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．经过两点、的直线的倾斜角为，则实数 ．
2．若直线与直线平行，则 ．
3．以点为圆心，且经过原点的圆的方程为 ．
4．设双曲线，以的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线，通过研究可以得到双曲线和它的共轭双曲线有很多相同的性质，请写出其中的一个性质： ．
5．已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则 ．
6．经过点，可作圆的两条切线，已知其中一条切线的方程为，则另一条切线的方程为 （用一般式表示）．
7．若椭圆的一个焦点为，则 ．
8．直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围是 ．
9．已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于，两点，若，则的周长为 ．
10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是圆与的渐近线的一个交点，若，则双曲线的离心率为 ．
11．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则 ．
12．直线与曲线的公共点个数为 ．
二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．已知两条直线，“”是“直线与直线的夹角为”的 条件．
A．必要非充分B．充分非必要
C．充分必要D．既非充分又非必要
14．已知，，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
15．数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．如曲线，（如图所示），给出下列三个结论：
①曲线关于直线对称
②曲线上任意一点到原点的距离都小于
③曲线围成的图形的面积是
其中，正确结论的序号是
A．①B．①②C．①③D．②③
16．双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是
A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）．
17．已知，，三点．
（1）求边上中线所在直线的方程；
（2）求的面积．
18．已知椭圆，圆与轴的交点恰为的焦点，且上的点到焦点距离的最大值为．
（1）求的标准方程；
（2）不过原点的动直线与交于，两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
19．已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点．
（1）求△的周长；
（2）当垂直于轴时，求直线的方程；
（3）记△与△的面积分别为、，求的最大值．
21．已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上．
（1）求双曲线的方程；
（2）过原点的直线与交于，两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
（3）过点的直线交双曲线于，两点，直线，与轴的交点分别为，，求证：的中点为定点．