【期中模拟】2023-2024学年(沪教版2020选修) 上海市高二数学下学期期中模拟试卷01(沪教版2020:坐标平面上的直线、圆锥曲线、导数及其应用).zip
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一、填空题(满分54分,1-6题每题4分,7-12题每题5分)
1.点到直线的距离最大值是 .
【分析】先求出直线所过定点,再结合两点之间的距离公式,即可求解.
【解答】解:直线,过定点,
故点到直线的距离最大值是:,
故答案为:.
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式,属于基础题.
2.使直线与直线平行,求 .
【分析】根据已知条件,结合直线平行的性质,即可求解.
【解答】解:直线与直线平行,
则,化简整理可得,,解得或,
当时,直线,重合,不符合题意,
当时,直线,不重合,符合题意,
综上所述,.
故答案为:.
【点评】本题主要考查直线平行的性质,属于基础题.
3.已知抛物线经过点,则抛物线的准线方程是 .
【分析】把点代入抛物线方程,解方程可得,求得抛物线的准线方程;
【解答】解:抛物线经过点.可得,即,
可得抛物线的方程为,准线方程为.
故答案为:.
【点评】本题考查抛物线的几何性质,属基础题.
4.已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率为 2 .
【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线,再用点到直线的距离公式建立,,的等量关系式,计算可得结果.
【解答】解:双曲线的渐近线为:,即,
因为右焦点到一条渐近线的距离为,
所以,
即,
解得,
又,
所以,
因为,所以,
故答案为:2.
【点评】本题考查了双曲线的性质,重点是离心率的计算,属于基础题.
5.直线的倾斜角为 .
【分析】直接利用直线的方程求出直线的倾斜角.
【解答】解:由于直线,
故该直线垂直于轴,
故直线的倾斜角为.
故答案为:
【点评】本题考查的知识要点:直线的倾斜角,主要考查学生的理解能力,属于基础题.
6.古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论:“平面内到两个定点,的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中,已知点,,点满足,设点的轨迹为圆,点为圆心,若直线与圆相交于,两点,且,则 或 .
【分析】设点,由求出圆方程,根据截圆弦长求得值.
【解答】解:设点,点满足,
,
化为:,即点的轨迹圆,圆心,半径.
圆心到直线的距离,
,
,解得或.
故答案为:或.
【点评】本题主要考查轨迹方程的求法,直线与圆的的位置关系,考查运算求解能力,属于基础题.
7.已知函数,则(1) 7 .
【分析】求出的导数,再将代入,即可得答案.
【解答】解:因为,
所以,
所以(1).
故答案为:7.
【点评】本题主要考查导数的运算,属于基础题.
8.请写出直线的一个法向量 .(答案不唯一) .
【分析】直线的斜率,与直线垂直的直线的斜率为,求出与垂直的一条直线,由此能求出直线的一个法向量.
【解答】解:直线的斜率,
与直线垂直的直线的斜率为,
在直线中,当时,,
设与垂直的一条直线为,
过点,,
直线的一个法向量.
故答案为:.(答案不唯一).
【点评】本题考查直线的斜率、直线与直线垂直的性质、直线的法向量等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
9.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为 2 .
【分析】求出双曲线的渐近线方程,求得圆心到渐近线的距离,再由直线和圆相交的弦长公式,解方程即可得到,进而得到实轴长.
【解答】解:双曲线的渐近线方程为,
即,
圆的圆心为,半径为,
由圆的弦长公式得弦心距,
另一方面,圆心到双曲线的渐近线的距离为
,
解得,即,
该双曲线的实轴长为.
故答案为:2.
【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查直线和圆相交的弦长公式,考查点到直线的距离公式,属于基础题.
10.已知为椭圆上一动点,记原点为,若,则点的轨迹方程为 .
【分析】先设点,再由应用相关点法求轨迹方程即可.
【解答】解:设点,由得点,而点为椭圆上的任意一点,
所以,整理得,
所以点的轨迹方程是.
故答案为:.
【点评】本题考查轨迹方程的求解,相关点法的应用,属中档题.
11.若点满足方程,则点的轨迹是 抛物线 .(填圆锥曲线的类型,填方程不给分)
【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式,结合抛物线的定义即可求解.
【解答】解:由,得,
所以等式左边表示点到点的距离,右边表示点到直线的距离,
即点到点的距离与到直线的距离相等.
又因为点不在直线上,
由抛物线的定义知,点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线.
故答案为:抛物线.
【点评】本题考查的知识要点:两点间的距离公式和点到直线的距离公式,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
12.曲线,给出下列结论:
①曲线关于原点对称;
②曲线关于坐标轴对称;
③曲线上只经过6个整数点(即横、纵坐标均为整数的点);
④曲线上任意一点到原点的距离都不大于.
其中,所有正确结论的序号是 ①③④ .
【分析】将横纵坐标前面加负号看其曲线方程是否变化可以判断1、2命题;运用不等式估计可以判断3、4命题真假.
【解答】解:对①,将换成得:
,
化简得,
曲线关于原点对称,①正确;
对②,将换成得:,
化简得,曲线不关于轴对称,
将换成,同理可得也不关于轴对称,②错误;
对③,,
,,,,
当时,,,2个;
当时,,,无整数根;
当时,,,,0,
综上:经过的整点有,,,六个整点,③正确;
对④,,
,当且仅当时取等,④正确.
故答案为:①③④.
【点评】本题考查曲线方程的研究,属中档题.
二、选择题(共18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)
13.圆与圆的位置关系是
A.外离B.外切C.相交D.内含
【分析】求解出圆心之间距离,判定其跟半径和差之间关系得出位置关系.
【解答】解:由题意可得圆心,半径,圆心,半径,所以圆心距,半径和.所以圆与圆外切.
故选:.
【点评】本题考查圆与圆位置关系的判定,基础题.
14.椭圆上一点到一个焦点的距离为7,则点到另一个焦点的距离为
A.5B.3C.4D.7
【分析】根据椭圆方程求出的值,再根据椭圆的定义计算可得.
【解答】解:由知,长半轴长,
,
点到另一个焦点的距离为.
故选:.
【点评】本题考查椭圆的定义及其性质,考查运算求解能力,属基础题.
15.已知点,曲线的方程为,曲线的方程为,则“点在曲线上”是“点在曲线上”的
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答】解:若点在曲线上,则,即,
所以点满足曲线的方程为,
即点在曲线上,故充分性成立,
若点在曲线上,则,
此时,不一定满足,
即点不一定在曲线上,故必要性不成立,
所以“点在曲线上”是“点在曲线上”的充分非必要条件.
故选:.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.
16.将曲线与曲线合成的曲线记作.设为实数,斜率为的直线与交于,两点,为线段的中点,有下列两个结论:①存在,使得点的轨迹总落在某个椭圆上;②存在,使得点的轨迹总落在某条直线上,那么
A.①②均正确B.①②均错误C.①正确,②错误D.①错误,②正确
【分析】对①分析,使得点的轨迹总落在某个椭圆上即可;
对②设,,,,,,,则,,利用点差法化简可得,故若存在,使得点的轨迹总落在某条直线上,则为常数,再化简分析推出无解即可.
【解答】解:设,,,,,,,则,,
对于①当时,,,易得,故两式相减得,易得,
故,所以,,即,,代入,可得,
所以,故存在,使得点的轨迹总落在某个椭圆上;故①正确;
对于②,,则,,由题意,若存在,使得点的轨迹总落在某条直线上,
则,,,,又,
故,即,又,故若存在,使得点的轨迹总落在某条直线上,
则为常数,即
为定值,因为分子分母,次数不同,
故若为定值,则分子恒为0,即,此方程无解,
即不存在,使得点的轨迹总落在某条直线上,故②不正确.
故选:.
【点评】本题考查椭圆的几何性质,探求符合条件的曲线是否存在的问题,属中档题.
三、解答题(共78分,第17、18、19题每题14分,第20、21题每题18分).
17.已知圆,动直线过点.
(1)当直线与圆相切时,求直线的方程;
(2)若直线与圆相交于、两点,求中点的轨迹方程
【分析】(1)讨论直线斜率不存在易得直线为,再根据两条切线关于对称,结合倾斜角的关系、二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为,即可写出切线方程.
(2)设,根据,应用两点距离公式化简得到的轨迹方程,注意、的范围.
【解答】解:(1)当直线斜率不存在时,显然直线与圆相切且切点为;
所以,对于另一条切线,若切点为,则,又,
所以,由图知:直线的倾斜角的补角与互余,
所以直线的斜率为,故另一条切线方程为,即,此时切点,
综上,直线的方程为或.
(2)由(1)知:直线与圆相交于、两点,则斜率必存在,
设,则,
所以,整理得.
由(1)得:,且.
综上,故的轨迹方程为且,.
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系,轨迹方程的求解等知识,属于中等题.
18.(1)求函数的导函数;
(2)求曲线在点,(1)处的切线方程.
【分析】(1)利用导数的运算法则可求得;
(2)求出(1)、(1),利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【解答】解:(1)因为,
则;
(2)因为,则,所以,(1),(1),
所以曲线在点,(1)处的切线方程为,即.
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,导数的运算,考查运算求解能力,属于中档题.
19.已知点,,动点满足条件.记动点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)若,是上的不同两点,是坐标原点,求的最小值.
【分析】(1)利用双曲线的定义,可求的方程;
(2)设点的坐标,利用向量的数量积公式,结合基本不等式,可求的最小值.
【解答】解:(1)据题意,,动点满足条件,
动点的轨迹为双曲线的右支,且,,
曲线方程为;
(2)设,、,,,,则
的最小值是2.
【点评】本题考查轨迹方程,考查双曲线的定义,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为和的下顶点为,直线,点在上.
(1)若,线段的中点在轴上,求的坐标;
(2)若直线与轴交于,直线经过右焦点,在中有一个内角的余弦值为,求;
(3)在椭圆上存在一个点,,,到的距离为,使,当变化时,求的最小值.
【分析】(1)由题意可得椭圆方程为,从而确定点的纵坐标,进一步可得点的坐标;
(2)由直线方程可知,分类讨论和两种情况确定的值即可;
(3)利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得,进一步整理计算,结合三角函数的有界性求得,即可确定的最小值.
【解答】解:(1)由题意可得,
,
的中点在轴上,
的纵坐标为,代入,得.
(2)由直线方程可知,
①若,则,即,
,
.
②若,则,
,,
,
.即,
,
,
综上或.
(3)由点到直线距离公式可得,
很明显椭圆在直线的左下方,则,
即,
,
,
据此可得,,
整理可得,即,
从而.
即的最小值为.
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,点到直线距离公式及其应用,椭圆中的最值与范围问题等知识,属于中等题.
21.已知斜率为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于不同的两点,,,,记点的坐标为.
(1)若点和到抛物线准线的距离分别为和3,求;
(2)若斜率,求的面积;
(3)若是等腰三角形且,求实数.
【分析】(1)由抛物线的定义求解即可;
(2)由抛物线焦点弦的弦长和点到直线距离求解即可;
(3)将抛物线方程与直线方程联立,用表示出中点的坐标,使即可.
【解答】解:(1)抛物线的焦点为,准线方程为.
由抛物线的定义,若点和到准线的距离分别为和3,则,,
.
(2)若斜率,则直线的方程为,
由消去,整理得,△,
,,,,
,,
由抛物线的定义,.
到直线即的距离为,
的面积.
(3)直线的方程为,(易知
由消去,整理得,△,
,,,,,,
中点,
其中,,,
是等腰三角形且,,
,解得.
实数的值为1或.
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合,考查转化能力,属于难题.
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