【期中模拟】2023-2024学年（沪教版2020选修） 上海市高二数学下学期期中模拟试卷01（沪教版2020：坐标平面上的直线、圆锥曲线、导数及其应用）.zip

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一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．点到直线的距离最大值是 ．
【分析】先求出直线所过定点，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：直线，过定点，
故点到直线的距离最大值是：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
2．使直线与直线平行，求 ．
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：直线与直线平行，
则，化简整理可得，，解得或，
当时，直线，重合，不符合题意，
当时，直线，不重合，符合题意，
综上所述，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
3．已知抛物线经过点，则抛物线的准线方程是 ．
【分析】把点代入抛物线方程，解方程可得，求得抛物线的准线方程；
【解答】解：抛物线经过点．可得，即，
可得抛物线的方程为，准线方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
4．已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率为 2 ．
【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式建立，，的等量关系式，计算可得结果．
【解答】解：双曲线的渐近线为：，即，
因为右焦点到一条渐近线的距离为，
所以，
即，
解得，
又，
所以，
因为，所以，
故答案为：2．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点是离心率的计算，属于基础题．
5．直线的倾斜角为 ．
【分析】直接利用直线的方程求出直线的倾斜角．
【解答】解：由于直线，
故该直线垂直于轴，
故直线的倾斜角为．
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角，主要考查学生的理解能力，属于基础题．
6．古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，设点的轨迹为圆，点为圆心，若直线与圆相交于，两点，且，则 或 ．
【分析】设点，由求出圆方程，根据截圆弦长求得值．
【解答】解：设点，点满足，
，
化为：，即点的轨迹圆，圆心，半径．
圆心到直线的距离，
，
，解得或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆的的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
7．已知函数，则（1） 7 ．
【分析】求出的导数，再将代入，即可得答案．
【解答】解：因为，
所以，
所以（1）．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
8．请写出直线的一个法向量 ．（答案不唯一） ．
【分析】直线的斜率，与直线垂直的直线的斜率为，求出与垂直的一条直线，由此能求出直线的一个法向量．
【解答】解：直线的斜率，
与直线垂直的直线的斜率为，
在直线中，当时，，
设与垂直的一条直线为，
过点，，
直线的一个法向量．
故答案为：．（答案不唯一）．
【点评】本题考查直线的斜率、直线与直线垂直的性质、直线的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 2 ．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得圆心到渐近线的距离，再由直线和圆相交的弦长公式，解方程即可得到，进而得到实轴长．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
即，
圆的圆心为，半径为，
由圆的弦长公式得弦心距，
另一方面，圆心到双曲线的渐近线的距离为
，
解得，即，
该双曲线的实轴长为．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相交的弦长公式，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
10．已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ．
【分析】先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可．
【解答】解：设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，
所以，整理得，
所以点的轨迹方程是．
故答案为：．
【点评】本题考查轨迹方程的求解，相关点法的应用，属中档题．
11．若点满足方程，则点的轨迹是 抛物线 ．（填圆锥曲线的类型，填方程不给分）
【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，结合抛物线的定义即可求解．
【解答】解：由，得，
所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，
即点到点的距离与到直线的距离相等．
又因为点不在直线上，
由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线．
故答案为：抛物线．
【点评】本题考查的知识要点：两点间的距离公式和点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12．曲线，给出下列结论：
①曲线关于原点对称；
②曲线关于坐标轴对称；
③曲线上只经过6个整数点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线上任意一点到原点的距离都不大于．
其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】将横纵坐标前面加负号看其曲线方程是否变化可以判断1、2命题；运用不等式估计可以判断3、4命题真假．
【解答】解：对①，将换成得：
，
化简得，
曲线关于原点对称，①正确；
对②，将换成得：，
化简得，曲线不关于轴对称，
将换成，同理可得也不关于轴对称，②错误；
对③，，
，，，，
当时，，，2个；
当时，，，无整数根；
当时，，，，0，
综上：经过的整点有，，，六个整点，③正确；
对④，，
，当且仅当时取等，④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查曲线方程的研究，属中档题．
二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．圆与圆的位置关系是
A．外离B．外切C．相交D．内含
【分析】求解出圆心之间距离，判定其跟半径和差之间关系得出位置关系．
【解答】解：由题意可得圆心，半径，圆心，半径，所以圆心距，半径和．所以圆与圆外切．
故选：．
【点评】本题考查圆与圆位置关系的判定，基础题．
14．椭圆上一点到一个焦点的距离为7，则点到另一个焦点的距离为
A．5B．3C．4D．7
【分析】根据椭圆方程求出的值，再根据椭圆的定义计算可得．
【解答】解：由知，长半轴长，
，
点到另一个焦点的距离为．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的定义及其性质，考查运算求解能力，属基础题．
15．已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若点在曲线上，则，即，
所以点满足曲线的方程为，
即点在曲线上，故充分性成立，
若点在曲线上，则，
此时，不一定满足，
即点不一定在曲线上，故必要性不成立，
所以“点在曲线上”是“点在曲线上”的充分非必要条件．
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
16．将曲线与曲线合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么
A．①②均正确B．①②均错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【分析】对①分析，使得点的轨迹总落在某个椭圆上即可；
对②设，，，，，，，则，，利用点差法化简可得，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则为常数，再化简分析推出无解即可．
【解答】解：设，，，，，，，则，，
对于①当时，，，易得，故两式相减得，易得，
故，所以，，即，，代入，可得，
所以，故存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；故①正确；
对于②，，则，，由题意，若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，
则，，，，又，
故，即，又，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，
则为常数，即
为定值，因为分子分母，次数不同，
故若为定值，则分子恒为0，即，此方程无解，
即不存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，故②不正确．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，探求符合条件的曲线是否存在的问题，属中档题．
三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）．
17．已知圆，动直线过点．
（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；
（2）若直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程
【分析】（1）讨论直线斜率不存在易得直线为，再根据两条切线关于对称，结合倾斜角的关系、二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为，即可写出切线方程．
（2）设，根据，应用两点距离公式化简得到的轨迹方程，注意、的范围．
【解答】解：（1）当直线斜率不存在时，显然直线与圆相切且切点为；
所以，对于另一条切线，若切点为，则，又，
所以，由图知：直线的倾斜角的补角与互余，
所以直线的斜率为，故另一条切线方程为，即，此时切点，
综上，直线的方程为或．
（2）由（1）知：直线与圆相交于、两点，则斜率必存在，
设，则，
所以，整理得．
由（1）得：，且．
综上，故的轨迹方程为且，．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解等知识，属于中等题．
18．（1）求函数的导函数；
（2）求曲线在点，（1）处的切线方程．
【分析】（1）利用导数的运算法则可求得；
（2）求出（1）、（1），利用导数的几何意义可得出所求切线的方程．
【解答】解：（1）因为，
则；
（2）因为，则，所以，（1），（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，导数的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
19．已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）若，是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值．
【分析】（1）利用双曲线的定义，可求的方程；
（2）设点的坐标，利用向量的数量积公式，结合基本不等式，可求的最小值．
【解答】解：（1）据题意，，动点满足条件，
动点的轨迹为双曲线的右支，且，，
曲线方程为；
（2）设，、，，，，则
的最小值是2．
【点评】本题考查轨迹方程，考查双曲线的定义，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为和的下顶点为，直线，点在上．
（1）若，线段的中点在轴上，求的坐标；
（2）若直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为，求；
（3）在椭圆上存在一个点，，，到的距离为，使，当变化时，求的最小值．
【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标；
（2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可；
（3）利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得，即可确定的最小值．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
的中点在轴上，
的纵坐标为，代入，得．
（2）由直线方程可知，
①若，则，即，
，
．
②若，则，
，，
，
．即，
，
，
综上或．
（3）由点到直线距离公式可得，
很明显椭圆在直线的左下方，则，
即，
，
，
据此可得，，
整理可得，即，
从而．
即的最小值为．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
21．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点，，，，记点的坐标为．
（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和3，求；
（2）若斜率，求的面积；
（3）若是等腰三角形且，求实数．
【分析】（1）由抛物线的定义求解即可；
（2）由抛物线焦点弦的弦长和点到直线距离求解即可；
（3）将抛物线方程与直线方程联立，用表示出中点的坐标，使即可．
【解答】解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为．
由抛物线的定义，若点和到准线的距离分别为和3，则，，
．
（2）若斜率，则直线的方程为，
由消去，整理得，△，
，，，，
，，
由抛物线的定义，．
到直线即的距离为，
的面积．
（3）直线的方程为，（易知
由消去，整理得，△，
，，，，，，
中点，
其中，，，
是等腰三角形且，，
，解得．
实数的值为1或．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于难题．