【期中复习】人教B版2019 2023-2024学年必修第三册高一下册数学 专题02 向量的数量积与三角恒等变换（考点讲解）

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知识点1　向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量__________叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝__________.规定：零向量与任一向量的数量积为___.思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
知识点3　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|cs θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.
知识点4　平面向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝____(交换律).(2)(λa)·b＝_____＝______＝λa·b(数乘结合律).(3)(a＋b)·c＝ (分配律).
知识点5　平面向量数量积的运算性质
类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
(1)公式S2α：sin 2α＝ .(2)公式C2α：cs 2α＝ ＝ ＝ .(3)公式T2α：tan 2α＝ .
知识点6 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)1－cs α＝ ，1＋cs α＝ .(升幂公式)(2)1±sin α＝ .(升幂公式)(3)sin2α＝ ，cs2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式)
知识点7 常用的部分三角公式
向量的数量积、向量的垂直是考查的热点，向量的数量积，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查.解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养.
考点1 向量的数量积
解析　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，
即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，
向量数量积的运算方法总结(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs θ(θ为非零向量a，b的夹角).(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
考点2 向量数量积的应用
【例5】　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
方法二　(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，又∠AOB＝60°，
解　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.(2)求向量的夹角，主要是利用公式cs θ＝ 求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
考点3 与垂直有关的问题
因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，所以t＝－4.
(1)求向量的模的方法①公式法：利用|a|＝ 及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解.
(2)求平面向量夹角的方法①定义法：由向量数量积的定义知，cs θ＝ ，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝(3)两向量垂直的应用a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
考点4 投影向量
【例10】　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量.
解　∵|b|＝1，∴b为单位向量.
延伸探究　本例改为求b在a上的投影向量.
投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cs θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.(2)向量a在向量b上的投影向量为
考点5 向量的数量积的运算律及性质
【例11】　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是A. a·c－b·c＝(a－b)·cB.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C.|a|－|b|