【期中复习】苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学 专题03 解三角形（考点梳理）.zip

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【考点题型一】余弦定理解三角形
余弦定理在解三角形中的应用
（1）类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
（2）类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解
【例1】（22-23高一下·广东·月考）在中，角A，，的对边分别为，，，若，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由余弦定理得.故选：D．
【变式1-1】（22-23高一下·吉林辽源·月考）在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么=
【答案】
【解析】在中，，，，则由余弦定理得，
【变式1-2】（22-23高一下·江苏·月考）若的内角、、所对的边、、满足，且，则的值为 .
【答案】.
【解析】
由余弦定理可知：
，即解得：
【变式1-3】（22-23高一下·甘肃白银·月考）（多选）在中，若，则角的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】在中，由余弦定理得，即，
代入，得，则，
因为，所以或.故选：BC.
【考点题型二】正弦定理解三角形
已知两角及一边解三角形
方法概要： = 1 \* GB3 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
= 2 \* GB3 ②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
= 3 \* GB3 ③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论
【例2】（22-23高一下·广西河池·月考）在中，已知，，，则角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】由题知，，，
在中，由正弦定理可得：，
即，所以，
因为，所以，所以或.故选：C．
【变式2-1】（22-23高一下·江苏连云港·月考）设的内角A，B，C对边分别为，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
由，得，所以.故选：B.
【变式2-2】（22-23高一下·广东佛山·月考）设的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，则，可得，
由正弦定理，可得.故选：D.
【变式2-3】（22-23高一下·河北张家口·月考）在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理可得：，
由，则，得到，即，
又，则，
因为，根据正弦定理，.故选：B
【考点题型三】三角形解的个数判断
方法点拨：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
当A为锐角时：
当A为钝角时
【例3】（22-23高一下·山东滨州·月考）已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理，得到，所以，
又因为，故，.故选：B.
【变式3-1】（22-23高一下·江苏宿迁·月考）（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（ ）
A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．，，A＝60°，无解 D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
【答案】BC
【解析】选项A，由正弦定理，得，
又，故，则三角形有一解，故选项A错误；
选项B，因为，所以，则三角形有一解，故选项B正确；
选项C，因为，所以，则三角形无解，故选项C正确；
选项D，因为，所以，则三角形无解，故选项D错误.
故选：BC
【变式3-2】（22-23高一下·北京·期中）已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】由正弦定理可得，
若满足条件的三角形有且只有一个，则或，
所以或，可得或.故选：D.
【变式3-3】（22-23高一下·重庆北碚·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，，，
由正弦定理得，得，解得，
因为满足条件的三角形有两个，所以，
所以，即，解得，
即x的取值范围为，故选：B
【考点题型四】三角形的面积问题
方法点拨：常用的三角形面积公式
在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB边上的高分别记作ha，hb，hc，r为内切圆半径，R为外接圆半径，O为内切圆心。
（1）S=12aha=bhb=chc
（2）S=12absinC=12bcsinA=12acsinB
（3）S=12a+b+c∙r
（4）S=a+b+c4R
【例4】（22-23高一下·江苏扬州·期中）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，，则的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】，即，
由余弦定理得，解得：，
则，故选：C.
【变式4-1】（22-23高一下·湖南永州·月考）在△ABC中，M为边BC上一点，，△ABC的面积为4，则∠BAC的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，
所以，故，
又，故，，故，
在为等腰三角形，且，则，
由余弦定理知：，
综上，.故选：A
【变式4-2】（22-23高一下·新疆喀什·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
（1）求B；
（2）若，且的面积为，求b.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），由正弦定理得，即，
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2）由（1）得，所以的面积为，得，
由及正弦定理，得，所以.
由余弦定理，得，所以.
【变式4-3】（22-23高一下·广西玉林·月考）已知在中，角的对边分别为，．
（1）求角的大小；
（2）若，面积为，求周长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
因为，所以.
（2）若，则，
面积为，则，
所以，即，
周长.
【考点题型五】三角形的外接圆问题
方法点拨：利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径。
若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。
【例5】（22-23高一下·山西怀仁·月考）在中，，的面积为2，则三角形外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角形的面积公式，可得，解得，
又由，可得，
由正弦定理，所以.故选：C.
【变式5-1】（22-23高一下·广东东莞·月考）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，，
即：，可得.
又因为，可得．
又已知，，
由余弦定理得，解得.
则外接圆直径.故选：D.
【变式5-2】（22-23高一下·福建龙岩·月考）在中，角所对的边分别为，若， 则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意及正弦定理得(R为的外接圆半径)，
即，
又及，知，
，解得，
所以外接圆面积.故选：C
【变式5-3】（22-23高三·湖南娄底·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，即，
又，所以，所以，所以.
因为，
由余弦定理得，即，
又，所以，所以，
由正弦定理得，所以.
设的外接圆的半径为，所以，解得，
所以的外接圆的面积为.故选：B.
【考点题型六】用正余弦定理判断三角形的形状
方法点拨：根据已知条件（通常是含有三角形的边和角的等式或不等式）判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系。一般有以下两种途径：将已知条件统一化乘边的关系，用代数法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解。
【例6】（22-24高一下·河北保定·开学考）为的内角，且，则是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．正三角形
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
又因，所以，所以为钝角，
所以是钝角三角形.故选：A.
【变式6-1】（22-23高一下·江苏徐州·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】，由正弦定理化简得，
即，故，，
则或，即或，
则的形状为等腰或直角三角形.故选：D.
【变式6-2】（22-23高一下·福建泉州·期中）（多选）对于，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定为等腰三角形
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则
D．若，则一定为锐角三角形
【答案】BD
【解析】对于A，在中，若，则或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若，由正弦定理得，所以一定为等腰三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理，得，
又，所以，
即，即，
又，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，所以，所以，
又因，所以，故C错误；
对于D，，
所以，
所以，
所以三个数有个或个为负数，
又因最多一个钝角，所以，即都是锐角，
所以一定为锐角三角形，故D正确.故选：BD.
【变式6-3】（22-23高一下·贵州遵义·期末）（多选）已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列条件一定能使是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A：因为，即，
即，即，
又，所以，则，即是直角三角形，故A正确；
对于B：因为，由正弦定理可得，
即，所以，又，所以，
又，所以，即是直角三角形，故B正确；
对于C：当，时，满足，
显然不是直角三角形，故C错误；
对于D：因为，所以，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以，
即，即，
所以或，则或，
所以是直角三角形，故D正确；故选：ABD
【考点题型七】求多三角形中的边角问题
求解多个三角形问题解题思路：
1、求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型
2、第一步：把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中；
第二步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形；
第三步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件；
第四步：结合三角恒等变换公式进行化简。
【注意】做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，
如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，
要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
【例7】（22-23高三·河北石家庄·月考）在四边形中，∥，．
（1）若，求；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在三角形中，根据余弦定理可得，，
由题得：，
所以，
在三角形中，根据余弦定理可得，
，
所以，
（2）设，
在三角形中，根据余弦定理可得，，
在三角形中，根据余弦定理可得，，
所以，得：或（舍），
则
【变式7-1】（22-23高一下·江苏苏州·月考）如图，在平面四边形中，，，.
（1）若，求的面积；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，
所以，
在中，，
，
的面积.
（2），，
，，
在中，，，
在中，由正弦定理有，
即，
由积化和差公式有，
，
将此结果代入式中化简可得：，
解得（舍负），
.
【变式7-2】（22-23高一下·广东云浮·月考）如图，在中，，，，P为内一点，．

（1）若，求PA的长；
（2）若，求PA的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知得，，，∴，
在中，由余弦定理得，∴；
（2）设，由已知得，，
在中，由正弦定理得，化简得，，
又由，，得，所以.
【变式7-3】（22-23高一下·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.
（1）求的大小；
（2）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在合题意
【解析】（1）在中，由余弦定理，，
因为，所以，
即，又因为，所以.
（2）设，则，，，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
两式作商，得，
即，因为，所以，，
，，
假设，所以，解得.
【考点题型八】三角形中的最值范围问题
方法点拨：1、三角形中的最值、范围问题的解题策略
（1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．
（2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．
（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点
（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
（2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
【例8】（22-23高一下·四川遂宁·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
由正弦定理可得，即，
由余弦定理的变形得，
又，所以.
（2）由，，得，
锐角中，有，解得，
所以，
所以，
因为，从而，
所以，从而
故的取值范围为.
【变式8-1】（22-23高一下·黑龙江·月考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
（1）求角C；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若选①：，则，
∴，∴
∵，，∴，∵，∴.
若选②：，
由正弦定理得，∴，∴，
∵，∴．
若选③：，则，
由正弦定理得，∴∴，∴，
∵，∴．
（2）由正弦定理得，
，
则，
∵，，，
∴.
【变式8-2】（22-23高一下·湖北黄冈·月考）在锐角△ABC中，，，
（1）求角A；
（2）求△ABC的周长l的范围.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）∵，，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
，所以.
（2），
所以,所以，，
所以
因为△ABC是锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，所以，所以.
【变式8-3】（22-23高一下·广东深圳·期中）已知锐角的内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理可得，
又由，
因为，可得，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（2）因为是锐角三角形，由（1）知且，可得，
因为，所以，
由三角形面积公式得
又由正弦定理且，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即面积的取值范围为.
【考点题型九】三角形的中线、角平分线、垂线
方法点拨：1、解三角形角平分线的应用
如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，c
（1）利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD
（2）内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC=BDDC.
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。
（3）等面积法：因为S∆ABD+S∆ACD=S∆ABC，所以12c∙ADsinA2+12b∙ADsinA2=12bcsinA，
所以b+cAD=2bc csA2，整理的：AD=2bccsA2b+c（角平分线长公式）
2、解三角形中线的应用
（1）中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2)
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
（2）向量法：AD2=14b2+c2+2bccsA
【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD的值也适用）.
3、解三角形垂线的应用
（1）分别为边上的高，则
（2）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
【例9】（22-23高一下·河南商丘·月考）已知在中，，，分别为内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）设为边上一点，是的角平分线，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理得，即，得，
由余弦定理得，
又，所以．
（2）因为是的角平分线，所以．
由，可得．
因为，，所以，解得，
故．
【变式9-1】（22-23高一下·江苏徐州·月考）已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且，，．
（1）求的边；
（2）求边上的高．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，，
由余弦定理可得：，所以；
（2）因为，
设边上的高为，则由三角形的面积可得：
，即，解得，
则边上的高为．
【变式9-2】（22-23高一下·江苏徐州·月考）在，角，，对的边分别为，，，．
（1）若外接圆的半径为，边上的中线长为，求的周长．
（2）若在线段上，平分，，且，求面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）外接圆的半径为，，由正弦定理得，解得，
设为边上的中点，则，，
利用向量加法法则得：，又，
所以，即①，
由余弦定理，即②，
①②可得，，即，
所以，所以，
所以的周长为．
（2）由在线段上，可知，，
，平分，则，又，
由得，即，则，
由得，即，则，
故的面积为．
【变式9-3】（22-23高一下·辽宁沈阳·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求中边上的高的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，，整理得；
（2）因为，因为，由（1）可得，则，
所以，
又，即，当且仅当时等号成立，
于是，
所以的最大值为，又，所以，当且仅当时等号成立，
即中边上的高的最大值．
【考点题型十】测量距离问题
方法点拨：测量距离问题解决办法
（1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs γ).
（2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
（3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
【例10】（22-23高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由余弦定理可得：．故选：C
【变式10-1】（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（ ）
A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里
【答案】D
【解析】依题意设炮弹第一次命中点为，则，，
，，
在中，
即，解得，
所以，
又为锐角，解得（负值舍去），
在中，
所以，即炮台与弹着点的距离为公里.故选：D
【变式10-2】（22-23高一下·辽宁铁岭·期末）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，，，
，；
中，由余弦定理得，
；
即两山顶A，C之间的距离为．故选：A．
【变式10-3】（22-23高一下·安徽滁州·月考）2023年3月15日至19日，中国､伊朗､俄罗斯三国海军在阿曼湾举行“安全纽带—2023”海上联合军事演习.在某次巡航中，军舰B在海港A的正南方向，军舰C在军舰B的正西方向，军舰D在军舰B，C之间，且海里，若在军舰C处测得海港A在东偏北45°的位置，在军舰D处测得海港A在东偏北75°的位置，则军舰B到海港A的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】C
【解析】由题意知，，，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又因为，
所以，
即军舰B到海港A的距离为海里.故选：C
【考点题型十一】测量角度问题
方法点拨：测量角度问题三个注意事项
（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；
（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。
【例11】（22-23高一下·湖北武汉·月考）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（ ）
A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向
【答案】C
【解析】由题，1小时后，甲船来到C处，则，则.
又由题可知，此时，乙船来到D处，，结合BD是北偏东60°方向，则.
又，则，
即此时乙在甲的北偏东30°方向，甲在乙的南偏西30°方向.故选：C
【变式11-1】（22-23高一下·江苏南京·月考）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，
过作圆的切线，，线段交圆于，如图，
则，，，，
则.故选：B
【变式11-2】（2023·四川绵阳·三模）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）
A．0.62 B．0.56 C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，所以，
切线，，由切线长定理，不妨取，
又，由余弦定理，
有，
.故选：A
【变式11-3】（22-23高一下·云南曲靖·月考）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，在中，由余弦定理得；
因为，所以，
在中，由正弦定理
所以，解得.故选：D
【考点题型十二】测量高度问题
方法点拨：测量高度问题三个注意事项
（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
【例12】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·月考）滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，滕王阁分为上部主体建筑和下部象征古城墙的高台座，始建于唐朝永徽四年，因唐太宗李世民之弟——滕王李元婴始建而得名，因初唐诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，为了测量滕王阁的高度，选取了与该阁底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高（ ）（参考数据：取）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，则，
由正弦定理，得，
由在点测得滕王阁顶端的仰角为，得，
所以滕王阁的高为.故选：A
【变式12-1】（22-23高一下·湖南·月考）泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设且，在测得泰姬陵顶端处仰角为，
所以，则，
所以，故.故选：A
【变式12-2】（22-23高一下·河南洛阳·月考）紫金山位于江苏省南京市玄武区境内，是江南四大名山之一，三峰相连形如巨龙，山、水、城浑然一体，古有“钟山龙蟠，石城虎踞”之称.建筑师在高度接近200米的峰顶测得一建筑物顶部的仰角为，底部的俯角为，那么该建筑的高度接近（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】作出示意图,过点作,其中,
可得，
在直角中,因为,则,
在直角中,因为,可得,
则米,
所以建筑的高度接近米.故选：A.
【变式12-3】（22-23高一下·黑龙江七台河·月考）如图，某兴趣小组为测量河对岸直塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，，，可测的量有，，，，，，．
（1）若，，，，求塔高；
（2）用表示塔高；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）令，由题意，在直角中．
在直角中．
在中．
故，化简得，
解得，或（舍），所以塔高为．
（2）同（1）设，直角中，
在中，且由正弦定理，
所以，解得.
所以塔高为．