【期中复习】苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学 专题04 复数（考点梳理）.zip

这是一份【期中复习】苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学 专题04 复数（考点梳理）.zip，文件包含期中复习苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学专题04复数考点梳理原卷版docx、期中复习苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学专题04复数考点梳理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

【考点题型一】复数的有关概念理解
方法点拨：
1、复数的有关概念：
（1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是eq \a\vs4\al(a)，虚部是eq \a\vs4\al(b).
（2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
（3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
（4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
2、复数概念的几个关注点
（1）复数的代数形式：若z=a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部；
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；
（3）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答。
【例1】（22-23高二下·四川成都·期中）复数的虚部为（ ）
A．1 B． C．2i D．
【答案】D
【解析】∵的虚部为b，∴的虚部为.故选：D.
【变式1-1】（23-24高二下·全国·练习）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得：，故选：A.
【变式1-2】（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）（多选）若复数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为虚数不能比较大小，若复数，
则说明与均为实数，所以且.故选：AC
【变式1-3】（23-24高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（ ）
①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小.
A．1 B．2 C．0 D．3
【答案】B
【解析】对于①，因为，所以，故①正确；
对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误；
对于③，当，时，成立，故③错误；④正确.故选：B
【变式1-4】（23-24高一·全国·专题练习）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．若x是实数，则x是复数 B．若z是虚数，则z不是实数
C．复数与（R）不可能相等 D．没有平方根
【答案】ABC
【解析】对于A，实数集是复数集的真子集，A正确；
对于B，若z是虚数，则z一定不是实数，B正确；
对于C，由a，b均为实数，且这两个复数的虚部不相等，得这两个复数不可能相等，C正确；
对于D，因为的平方根为，D错误．故选：ABC
【考点题型二】复数的分类及应用
方法点拨：
1、对于复数a＋bi，复数=实数b=0 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
2、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【例2】（23-24高一下·重庆·月考）若复数是纯虚数，则（ ）
A． B．且 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，解得或，又，所以.故选：A
【变式2-1】（22-23高一下·广东清远·期中）已知复数，其中i为虚数单位．若复数z为实数，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为复数，复数z为实数，则，解得.故选：D.
【变式2-2】（22-23高一下·贵州·期中）已知复数.
（1）若z为实数，求m的值；
（2）若z为纯虚数，求m的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若z为实数，则，即；
（2）若z为纯虚数，则，可得.
【变式2-3】（22-23高一下·陕西商洛·期中）已知是虚数单位，当实数m满足什么条件时，复数分别满足下列条件？
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
【答案】（1）或；（2）且；（3）2
【解析】（1）当，即或时，复数为实数；
（2）当，即且时，复数为虚数；
（3）当，即时，复数为纯虚数.
【考点题型三】利用复数相等求参数
方法点拨：
1、如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即，这就是说，两个复数相等的充要条件就是它们的实部和虚部分别相等。
2、复数相等的充要条件是“化实为虚”的主要依据，多用来求解参数。解决复数相等问题的步骤：分别分理处两个复数的实部和虚部，利用复数的实部与实部的相等，虚部与虚部的相等列方程组求解。
【例3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意，
所以，解得，所以.故选：D.
【变式3-1】（22-23高三·陕四川·月考）设，且，则 ．
【答案】
【解析】由题意知：，解得：，.
【变式3-2】（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知，则
【答案】3
【解析】因为，，
所以 解得，所以.
【变式3-3】（22-23高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】复数，且，
所以，则
因为，所以，当时，，当时，
所以的取值范围是.故选：B.
【考点题型四】复数的加减乘除运算
方法点拨：
1、复数的四则运算规律
（1）复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项；
（2）复数的乘法：复数的乘法与多项式的乘法类似，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只需讲i2换成-1，并把实部与实部合并，虚部与虚部合并即可；
（3）复数的除法运算：两个复数相除，可以先把它们的商写成分数形式，然后把分子、分母同乘分母的共轭复数（互为共轭复数的两个数的乘积是一个实数），再对分子、分母分别进行乘法运算，最后整理、化简成负数的标准代数形式。
2、复数的运算技巧
（1）充分观察题中的数字特征：
（2）充分利用复数模、共轭复数的运算性质：
（3）利用一些基本结论简化计算：，，；
【例4】（2023·贵州黔东南·一模）已知复数，，则的实部与虚部分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】因为，，所以，其实部与虚部分别为，.故选：A
【变式4-1】（23-24高三上·湖北·期末）已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】.故选：B
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，即，
故，故选:B．
【变式4-3】（23-24高三上·海南·月考）已知复数满足的共轭复数为，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】由，
所以，故选：B
【考点题型五】复数的乘方运算
方法点拨：，，，，.
【例5】（22-23高一下·江苏苏州·期中）若是虚数单位，，则 .
【答案】
【解析】化简原式，可得，所以，所以.
【变式5-1】（23-24高一下·浙江宁波·月考）已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，可得，
则.故选：B
【变式5-2】（23-24高一下·重庆·月考）复数的共轭复数的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，
所以，其共轭复数为，虚部为.故选：B
【变式5-3】（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）已知复数满足，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由题意，所以.故选：C.
【考点题型六】共轭复数及其应用
方法点拨：共轭复数问题的求解技巧
1、求复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算；
2、已知关于与的方程，而复数的的代数式形式未知，求解。解此类题的常规思路为：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解。
【例6】（2023·全国·模拟预测）若，分别是非零复数，的共轭复数，，则下列等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
所以．故选：B
【变式6-1】（23-24高三上·广东中山·月考）复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.故选：A
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）（多选）设非零复数的共轭复数为，则下列计算结果为实数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】设（且、不同时为），则，
所以，故A正确；
，故B正确；
，
因为、不同时为，所以，所以为虚数，故C错误；
，故D正确；故选：ABD
【变式6-3】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）（多选）已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面内对应的点在一条直线上
【答案】AD
【解析】对于A：设，若，则，故，必有，A正确；
对于B：若，，则有，但，B错误；
对于C：若，，则有，但，C错误；
对于D：设复数，在复平面内对应的点为和
若，则在复平面内对应的点为线段的中垂线，
故在复平面内对应的点在一条直线上，D正确，故选：AD.
【考点题型七】复数范围内的解方程
方法点拨：在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法： = 1 \* GB3 ①当∆≥0时，x=-b±b2-4ac2a = 2 \* GB3 ②当∆