湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题(无答案)

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题(无答案)，共5页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，函数的部分图象如图，则，函数的最大值为，在中，若，且，则，在中，，则角的可能取值是，下面四个命题中的真命题为等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题。满分150分。考试用时120分钟。
考试时间：2024年4月17日下午14：00—16：00
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．2D．
2．已知，向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．下面关于函数叙述中正确的是（ ）
A．关于直线对称B．关于点对称
C．在区间上单调递减D．函数的零点是
4．在中，角的对边分别为，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．函数的部分图象如图，则（ ）
A．B．C．1D．
6．函数的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
7．在中，若，且，则（ ）
A．B．C．3D．2
8．设是的外心，点为的中点，满足，若．则面积的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．8
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．在中，，则角的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
10．下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数满足，则B．若复数满足，则
C．已知，若，则D．已知，若，则
11．如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，则下列结论中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量满足，则______．
13．已知为锐角，，则______．
14．已知函数（其中)，若在区间上单调递增，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）
已知
（1）化简；
（2）已知，求的值．
16．（本题满分15分）
在①，②，
③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，内角所对的边分别为，已知，且选择条件______．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若为的平分线，且与交于点，求的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（本题满分15分）
如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．
（1）以为基底表示；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
18．（本题满分17分）
某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌．如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，当人在点时，观测到视角的正切值为．
（1）设的长为米，用表示；
（2）求扶梯的长；
（3）当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长．
19．（本题满分17分）
我们把（其中）称为一元次多项式方程．
代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积．
即，其中，为方程的根．
进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式．例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，．
（1）在复数集内解方程：；
（2）设，其中，且．
（ⅰ）分解因式：；
（ⅱ）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点．
求证：当时，．