吉林省长春市实验中学2023-2024学年高一下学期第一学程（4月）考试数学试题(无答案)

这是一份吉林省长春市实验中学2023-2024学年高一下学期第一学程（4月）考试数学试题(无答案)，共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一数学试卷
一、单选题
1．已知复数z=1+i20241−2i，则z在复数平面的点位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
2．在△ABC中，已知AB+AC=AB−AC，且sinA=2sinBcsC，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
3．南方“小土豆”小明同学来“老哈”旅游，决定在旅游之余进行数学建模活动。为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为153−1m，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15​∘和60​∘，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30​∘，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）sin15∘=6−24
A．20mB．30mC．203mD．303m
4．在△ABC中，ABAB+ACAC⋅BC=0，且ABAB⋅ACAC=32，则∠ABC=（ ）
A．30​∘B．45​∘C．60​∘D．75​∘
5．设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=asinθ+bcsθ。已知向量a为单位向量，b=3，a+b=2，则a⊕b=（ ）
A．22B．1C．2D．102
6．已知△ABC为等边三角形，点O是△ABC外一点，∠AOB=θ0<θ<π，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是（ ）
A．4+534B．8+534C．3D．4+52
7．青花瓷blueandwℎiteprcelain，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MB的取值不可能是（ ）
A．32B．2C．52D．3
8．已知△ABC中，AQ=λAB+1−λAC，且O为△ABC的外心。若BA在BC上的投影向量为μBC，且cs∠AOC∈[13,23]，则μ的取值范围为（ ）
A．[23,56]B．[15,310]C．[43,53]D．[15,35]
二、多选题
9．已知复数z1=2−i,z2=2i，则（ ）
A．z2是纯虚数B．z1−z2对应的点位于第二象限
C．z1+z2=3D．z1z2=25
10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列结论正确的是（ ）
A．OA⋅OD=−22B．OB+OH=−2OE
C．AH−FH=22+2D．OE在OB上的投影向量为−22OB
11．已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c，面积为34a​2+c​2−b​2，则下列说法正确的是（ ）
A．csAcsC的取值范围是−12,14
B．若D为边AC的中点，且BD=1，则△ABC的面积的最大值为33
C．若△ABC是锐角三角形，则ac的取值范围是12,2
D．若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且BE=3，则a+4c的最小值为10
三、填空题
12．已知m∈R，复数3m​2−8m−3+m​2−4m+3i是纯虚数，则m= .
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4FC，BE=2EC，AE=aAB+bAF，则a−b= .
14．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知角A为最小角且tanA,tanB,tanC均为整数，则csA= ，设B四、解答题
15．已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=−1,3,b=−2,4;(c=2,m.
（1）若a⊥b+c，求c
（2）若ka+b与2a−b共线，求k的值.
16．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m=a,3b与n=csA,sinB平行：
（1）求A；
（2）若a=7,b=2，求△ABC的面积.
17．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足2a−c=2bcsC.
（1）求A的大小；
（2）若a=2,AD是△ABC的中线，求AD的最大值.
18．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系.如图，设Ox,Oy是平面内相交成60​∘角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对x,y叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标.
（1）设OP=3e1+2e2，求OP；
（2）已知a=x1,y1,b=x2,y2，求a⋅b；
（3）若m=2,4，n=−6,3，m与n夹角记为θ，求θ的余弦值.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题。该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120​∘时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120​∘的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120​∘时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，
（1）若csinC−asinA=c−bsinB，
①求A；
②若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
（2）若cs2B+cs2C−cs2A=1，设点P为△ABC的费马点，PB+PC=tPA，求实数t的最小值.