【期中讲练测】人教版八年级下册数学 期中模拟03（二次根式、勾股定理、平行四边形）.zip

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一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．使二次根式有意义的的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2．下列各组数据分别是线段，，的长，能组成直角三角形的是
A．7，2，9B．4，5，6C．3，4，5D．5，10，13
【分析】据勾股定理的逆定理，逐项判定即可．
【解答】解：，所以7、2、9不能组成直角三角形；
，所以4、5、6不能组成直角三角形；
，所以3、4、5可以组成直角三角形；
，所以5、10、13不能组成直角三角形；
故选：．
【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键．
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A．对角线相等B．对角线平分一组对角
C．对角线互相垂直D．两组对边分别平行
【分析】利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：．
【点评】本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
4．下列二次根式中，最简二次根式是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义可知：①被开方数不含有分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，满足这样条件的二次根式叫做最简二次根式，即可判断为最简二次根式．
【解答】解：，不符合题意；
，不符合题意；
，不符合题意；
为最简二次根式，符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式，关键是掌握判定最简二次根式的条件．
5．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为
A．10B．12C．16D．18
【分析】由矩形的性质可证明，即可求解．
【解答】解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．
6．下列计算，正确的是
A．B．C．D．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：、不是同类二次根式，不能进行加减，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项正确，符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的性质及运算，掌握运算法则是解题的关键．
7．如图：已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】由菱形的性质可知点和点关于原点对称，结合条件可求得点点的坐标．
【解答】解：四边形为菱形，
，，
点为坐标原点，
点和点关于原点对称，点和点关于原点对称，
点的坐标为，
点坐标为，，
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
8．如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是菱形
【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：．，
，
平行四边形是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
．，
，
，
，
四边形是菱形，，
故结论正确，但不符合题意；
．四边形是平行四边形，
，，
又，
，
平行四边形是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
．当时，四边形不一定是菱形，
故结论错误，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
9．如图，在中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且的面积为1，则的长为
A．B．5C．D．10
【分析】过作于，根据已知条件得到，求得，求得，根据三角形的面积公式得到，得到，求得（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过作于，
是的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的面积为1，
，
，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
10．如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过作，垂足为，连接，若，，则的最小值为
A．B．C．D．
【分析】先说明的形状固定，点的位置固定，点为对角线与的交点，点在的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点，交于点，过点作，延长交于点，根据垂线段最短，得出此时最短，根据含直角三角形的性质求出的长即可．
【解答】解：，，，
，，
，
，
的形状固定，点的位置固定，
点为对角线与的交点，
点在的垂直平分线，
如图，作的垂直平分线，交于点，交于点，过点作，延长交于点，
垂线段最短，
此时最短，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是找出使最小时，点的位置．
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．的值是 5 ．
【分析】根据算术平方根的定义求解
【解答】解：，
．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，比较简单．
12．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的长为 4 ．
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知，则，又，故可求．
【解答】解：是矩形
，
又，
故答案为：4．
【点评】本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单．
13．已知：，，则 4 ．
【分析】先把进行变形，得到，再把，的值代入即可求出答案．
【解答】解：，，
；
故答案为：4．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是完全平方公式，二次根式的运算，关键是对要求的式子进行变形．
14．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则 86 ．
【分析】由正方形的性质得，，，，再由勾股定理得，则，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，
由正方形的性质可知：，，，，
在和中，，
即，
，
故答案为：86．
【点评】本题考查的是勾股定理和正方形的性质，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解答的关键．
15．如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 ．
【分析】作出辅助线，因为与同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．
【解答】解：如图，连接
与同底等高，
，
即，
即，
同理可得，
阴影部分的面积为．
故答案为：44．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的面积，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
16．如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于 8 ．
【分析】根据矩形及折叠的性质可知，，，则，设，则．，利用勾股定理可得：，即：，求出即可求得的长度．
【解答】解：四边形是矩形，．
，，，，
，
由折叠可知，，，
，
，
设，则，．
则由勾股定理可得：，
即：，解得：．
则．
故答案为：8．
【点评】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，由矩形与翻折的性质得到是解决问题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先算除法和完全平方公式，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．已知，，分别求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算；
（2）根据完全平方公式计算．
【解答】解：（1），，
，，
；
（2）
．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
19．如图，四边形是平行四边形，，分别是，边上的点，，．求证：四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质证明，即可．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，．
，
，
四边形是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，属于中考基础题．
20．如图，一架长为5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子底端距离墙有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离的长．
（2）若梯子顶点下滑1米到点，求梯子的底端向右滑到的距离．
【分析】（1）已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用勾股定理计算另一条直角边；
（2）在直角三角形中，已知斜边仍然是5，，再根据勾股定理求得的长即可．
【解答】解：（1）米；
（2）米，米．
【点评】能够运用数学知识解决实际生活中的问题，考查了勾股定理的应用．
21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，按要求在图①、图②、图③中以为边各画一个菱形．
要求：菱形的顶点、均在格点上，且所画的三个菱形不全等．
【分析】根据菱形的定义画出图形即可．
【解答】解：如图，菱形即为所求作．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图所示，矩形中，以对角线为边，作等腰（点在上方），且，连接．
（1）①直接写出 45 ；
②求证：；
（2）若，，连接，请直接写出的长 ．
【分析】（1）①如图所示，过点作于，，交延长线于，先证明四边形是矩形，再证明，得到，即可证明四边形是正方形，则；
②全等三角形的性质得到，又正方形的性质得到，据此即可证明；
（2）如图所示，延长交于，证明四边形是矩形，得到，，由（1）②的结论求出，进一步求出，，则．
【解答】（1）①解：如图所示，过点作于，，交延长线于，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
又，，
，
，
四边形是正方形，
，即，
故答案为：45；
②证明：，
，
四边形是正方形，
，
，
，即；
（2）解：如图所示，延长交于，
四边形，都是矩形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且已知．
（1）求证：．
（2）如图1，过轴上一点作于，交轴于点，求点的坐标；
（3）将沿轴向左平移，边与轴交于一点不同于和两点），过作一直线与的延长线交于点，与轴交于点，且，在平移过程中，点的坐标是否发生变化？写出你的结论及理由．
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出、，根据等腰三角形的性质证明；
（2）证明，根据全等三角形的性质求出，求出点的坐标；
（3）过点作交于，证明，，得到，得到答案．
【解答】（1）证明：，
，，
解得：，，
则，
，
，
；
（2）解：点的坐标为，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
点的坐标为；
（3）解：点的坐标不发生变化，
理由如下：过点作交于，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
点的坐标不发生变化，为．
【点评】本题考查的是非负数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
24．（1）如图所示，矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到新的矩形，连接，，线段交于点，连．
①请直接写出线段和的数量关系 ，位置关系 ；
②求证：．
（2）如图2所示，中，，，将绕点逆时针旋转，得到新的，连接，，线段，相交于点，点为线段中点，连，在旋转的过程中，是否发生改变？如果不变，请求出的值；如果发生改变，请说明理由．
【分析】（1）①由旋转得，；②设与的交点为，证明是等腰直角三角形，推出、是等腰直角三角形，证明，推出，根据直角三角形的性质即可推出；
（2）在上取点，使得，令，证明，推出，再证明是的中位线，据此求解即可．
【解答】（1）①解：由旋转得，；
故答案为：，；
②证明：设与的交点为，
由旋转得，，，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
、是等腰直角三角形，
、，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：在上取点，使得，
由旋转可知，，，
则可令，
，
，，
，
则，
，，
，
．
为中点，
，，
又，
，
，故．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，作出合适的辅助线，证明三角形全等是解题的关键．