【期中讲练测】人教版八年级下册数学 期中真题精选（常考考点专练）.zip

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二次根式有意义的条件 二次根式的性质与化简
分母有理化 同类二次根式
二次根式的混合运算 二次根式的化简求值
二次根式的应用 直角三角形斜边上的中线
勾股定理 勾股定理的逆定理
勾股定理的应用 三角形中位线定理
平行四边形的性质 平行四边形的判定与性质
菱形的性质 菱形的判定与性质
矩形的性质 矩形的判定
矩形的判定与性质 正方形的性质
一．二次根式有意义的条件（共4小题）
1．（2023春•汤阴县期中）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
，
解得，．
故选：．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．（2023春•监利市校级期中）若，都是实数，，则的值为 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，最后代值计算即可．
【解答】解：要有意义，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
3．（2023春•新宾县期中）已知，则的值为 ．
【分析】根据被开方数的非负性可得，从而得到，再代入，即可求解．
【解答】解：依题意得：，，
，，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了算术平方根的非负性，求算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
4．（2023春•开州区校级期中）若关于的二次根式有意义，且为整数，若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有的值的积为 40 ．
【分析】根据二次根式有意义的可得，再根据分式的解为正数，可得，确定的取值范围，当时的情形除外，求得所有正数解，再求其积即可．
【解答】解：二次根式有意义．
，
，
去分母得，，
解得，
，
，
，
，
，
综上可知，且，为整数，
，，，，其和为．
故答案为：40．
【点评】本题考查了二次根式的性质，分式方程的解法，不等式的整数解，解题的关键是综合运用以上知识．
二．二次根式的性质与化简（共3小题）
5．（2023春•青云谱区校级期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得： ， ；（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③．
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用、表示出、；
（2）利用（1）中结论得到，利用、、均为正整数得到，或，，然后利用计算对应的值；
（3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到的值．
【解答】解：（1）设（其中、、、均为整数），
则有，；
故答案为：，；
（2），
，
、、均为正整数，
，或，，
当，时，；
当，时，；
即的值为12或28；
（3）①
；
②
；
③设，
则
，
．
【点评】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．（2023春•召陵区期中）【阅读材料】
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】
（1）请你仿照嘉嘉的方法将化成另一个式子的平方；
（2）请运用嘉嘉的方法化简：．
【变式探究】
若，且，，均为正整数，则 22或10 ．
【分析】【类比归纳】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式易得；
（2）利用完全平方公式求解；
【变式探究】把右边等式展开可得到，，利用整式的特征得到，于是得到的值．【解答】解：【类比归纳】
（1）；
（2）；
【变式探究】，
，，
，，均为正整数，
，
或10．
故答案为：22或10．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
7．（2023秋•碑林区校级期中）已知实数，，在数轴上的对应点，如图所示，化简 ．
【分析】根据化简即可．
【解答】解：，，，
原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键．
三．分母有理化（共1小题）
8．（2023春•环翠区期中）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，
按上述规律，计算 ．
【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
四．同类二次根式（共2小题）
9．（2023春•铁西区期中）若与最简二次根式可以合并，则 2 ．
【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可．
【解答】解：，
与最简二次根式可以合并，
，
解得：．
故答案为：2．
【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
10．（2023春•前郭县期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是 2 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，解得：．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
五．二次根式的混合运算（共4小题）
11．（2023春•召陵区期中）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断．
【解答】解：、与不能合并，所以选项错误；
、原式，所以选项正确；
、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
12．（2023春•任城区期中）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及完全平方公式化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
13．（2023秋•莲池区校级期中）计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）原式先化简二次根式和进行二次根式的乘法，再进行合并即可；（2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开后再合并即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
14．（2023春•海淀区校级期中）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则，．
请利用“平方法”解决下面问题：
（1）比较，大小， （填写，或者．
（2）猜想，之间的大小，并证明．
（3）化简： （直接写出答案）．
【分析】（1）根据平方法比较大小即可；
（2）根据平方法比较大小即可；
（3）先化简，然后分两种情况即可得出答案．
【解答】解：（1），，
，，
，
，
故答案为：；
（2），
证明：，，
，，
，
；
（3）原式
，
，
，
当时，原式；
当时，原式；
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数大小比较，考查了分类讨论的思想，根据进行化简是解题的关键．
六．二次根式的化简求值（共2小题）
15．（2023春•吕梁期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬2个单位长度到达点，点与点关于原点对称，若、、三点表示的数分别为、、，且．
（1）则 ， ， ；
（2）化简：．
【分析】（1）利用数轴表示数的方法，把加2得到的值，再写出的相反数得到的值，然后计算的值；
（2）利用二次根式的性质得到原式，然后去绝对值合并即可．【解答】解：（1），
，
点与点关于原点对称，
，
；
故答案为：，，；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：利用二次根式的性质和绝对值的意义计算．也考查了数轴．
16．（2023春•晋安区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
，
，
，，
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
【分析】（1）根据所给的解答方式进行求解即可；
（2）把各式的分母进行有理化，即可求解；
（3）先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可．【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）原式
；
（3），
，
，
即．
．
．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
七．二次根式的应用（共4小题）
17．（2023春•遵义期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，．
（1）求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空抛物动能（单位：物体质量（单位：高度（单位：，某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能）【分析】（1）将代入计算即可；
（2）将代入计算求出，再将及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可．
【解答】解：（1）当时，
，
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：
当时，，
解得，
高空抛物动能，
这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【点评】此题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解题意代入求值是解题的关键．
18．（2023春•通榆县期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个面积是125的正方形，，图中空白部分是一个小正方形，求这个小正方形的周长．
【分析】首先由正方形的面积是125，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可．
【解答】解：正方形的面积是125，
，
，
，
空白部分的小正方形的边长为：，
这个小正方形的周长为：．【点评】本题考查二次根式的运用，看清图意，找出小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键．
19．（2023春•东平县期中）已知：如图，中，，，，求
（1）的面积．
（2）斜边的长．
（3）求边上的高．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以解答本题；
（2）根据勾股定理可以解答本题；
（3）根据等积法可以解答本题．
【解答】解：（1）中，，，，
的面积，
即的面积是4；
（2）中，，，，
，
即的长是；
（3）的面积是4，，
边上的高是：，
即边上的高是．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用解直角三角形的相关知识解答．
20．（2023春•互助县期中）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．（1）长方形的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
【解答】解：（1）长方形的长为，宽为，
长方形的周长为：．
答：长方形的周长是．
（2）由题意，知（元．
答：购买地砖需要花费660元．
【点评】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
八．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
21．（2023春•随州期中）若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为 2.5 ．
【分析】根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线求出即可．
【解答】解：，，，由勾股定理得：，
是中线，
，
故答案为：2.5．
【点评】本题主要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键．
九．勾股定理（共6小题）
22．（2023春•富锦市校级期中）在中，，，，则的长为
A．26B．18C．20D．21
【分析】根据，可知表示斜边，、分别表示直角边；接下来，在中，利用勾股定理求斜边的长即可．
【解答】解：中，，，，
．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的知识，关键是找到斜边和直角边．
23．（2023春•江门校级期中）图1是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为
A．B．C．D．
【分析】根据题意先求出，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：在中，，，
，
在中，
．
故选：．
【点评】本题意考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题关键．
24．（2023春•微山县期中）如图，长方形的边在数轴上，若点与数轴上表示数的点重合，点与数轴上表示数的点重合，，以点为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点，则点表示的数为
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理计算出的长度，进而求得该点与点的距离，再根据点表示的数为，可得该点表示的数．
【解答】解：在长方形中，，，
，
则点到该交点的距离为，
点表示的数为，
该点表示的数为：，
故选：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
25．（2023春•惠阳区校级期中）如图，在中，，，分别以，为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，，则的值为 ．
【分析】根据图形得到，，根据勾股定理可以得出结论．
【解答】解：由题意，得，，
，
，
故答案为：．【点评】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
26．（2023春•和平区校级期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连接，．设点运动时间为秒．当是等腰三角形时，则 5或或4 秒．
【分析】先根据勾股定理求出，再分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
当时，，
，
；
当时，，
则，
，即，
解得：，
由勾股定理得：，
；
当时，
，，
，由勾股定理得：，
，，，
，
，
；
综上所述，是等腰三角形时，的值为5或或4，
故答案为：5或或4．
【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
27．（2023春•新宾县期中）如图，矩形中，，，在数轴上，且点与原点重合，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数是 ．
【分析】先结合矩形的性质利用勾股定理求出，根据及点的位置，即可求解点表示的数．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
点与原点重合，
点表示点数为．
故答案为：．
【点评】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出、的长，属于中考常考题型．
一十．勾股定理的逆定理（共6小题）
28．（2023春•香河县校级期中）下列各组数中，能作为直角三角形边长的是 A．1，2，3B．6，7，8C．1，1，D．5，12，13
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
29．（2023春•陕州区期中）如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积等于 36 ．
【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：连接，
，，，
，
在中，，
是直角三角形，
．
故答案为：36．
【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键，难度适中．
30．（2023春•东莞市校级期中）如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；
（2）根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接，
，，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为；
（2）由题意得：
四边形的面积的面积的面积
，
四边形的面积为．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
31．（2023春•庄浪县校级期中）如图：在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【分析】在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积．
【解答】解：，
为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则．故四边形的面积是36．
【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
32．（2023春•贵池区期中）如图，的顶点在正方形网格中的格点上，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题．
（1）的面积为 5 ；
（2）判断的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据的面积等于矩形的面积减去三个小直角三角形的面积解答即可；
（2）根据勾股定理得出，，的长，然后根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：（1）由图可得，
，
故答案为：5；
（2）是直角三角形，
理由：由勾股定理得，
，，，
，
是直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解答本题的关键是求出，，的长．
33．（2023春•澄城县期中）如图，已知，，．
（1）求的长；（2）求的面积．
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
，
的长为；
（2），，
，
是直角三角形，
，
的面积
，
的面积为．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
一十一．勾股定理的应用（共12小题）
34．（2023春•岳阳期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 ．
【分析】设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索长为尺，可列方程为，
故答案为：
【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
35．（2023春•新会区校级期中）如图，一根橡皮筋放置在轴上，固定两端和，其中点坐标，点坐标，然后把中点向上拉升到，则橡皮筋被拉长了 2 ．
【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
36．（2023春•西城区校级期中）如图，一个梯子长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端与墙角距离为7米，梯子滑动后停在上的位置上，如图，测得的长4米，则梯子底端向右滑动了 8 米．
【分析】由勾得到股定理求出的长，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．
【解答】解：，米，米，
（米，
（米，
米，
（米，
（米，
梯子底端向右滑动了8米．
故答案为：8．
【点评】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出、的长．
37．（2023春•公安县期中）如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是秒，乙客轮航行的速度是秒，5分钟后甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向是 北偏西 ．
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【解答】解：如图，
甲的路程：，
乙的路程：，
，即：，
，即甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
甲客轮沿着北偏东，即：，
，
乙客轮的航行方向是北偏西，
故答案为：北偏西．
【点评】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、方位角，解题的关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
38．（2023春•贵池区期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也向右滑，则梯子的长度为 ．
【分析】设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，然后由勾股定理求出的长度．
【解答】解：设，
由题意得：，，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得：，，
即梯子的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
39．（2023春•河东区期中）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知米，米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
【分析】根据题意得出的长，进而得出的长，即可得出答案．
【解答】解：车宽1.6米，
卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．
在中，由勾股定理可得：
，
，
卡车能通过此门．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出的长是解题关键．
40．（2023秋•大渡口区校级期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）海港受台风影响，理由：
，，，
，
是直角三角形，；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；
（2）当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
41．（2023春•花山区校级期中）如图，有一台环卫车沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域．
（1）学校会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出学校是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．
【解答】解：（1）学校会受噪声影响．
理由：如图，过点作于，
，，，
．
是直角三角形．
，
，
，
环卫车周围以内为受噪声影响区域，学校会受噪声影响．
（2）当，时，正好影响学校，
，
，
环卫车的行驶速度为每分钟50米，
（分钟），
即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
42．（2023春•庆云县期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是 ．
（2）应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．
（2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【解答】解：（1）在中，，
，
点表示的数是，
故答案为：．
（2）解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为，
答：绳索的长为．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出，的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
43．（2023春•抚松县期中）如图，一棵大树两侧各有一条斜拉的绳子，大致如图所示，李明想用所学知识测量大树的高度，他从工作人员处了解到绳子的长为13米，的长为20米，然后用米尺测得、之间的距离为21米，已知、、在一条直线上，，求大树的高．
【分析】设米，则米，根据勾股定理解方程即可得到结论．
【解答】解：设米，则米，
，
．
在中，，
在中，，
．
米，米，
，
解得，
即米，
（米．
即大树的高为12米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
44．（2023秋•龙泉驿区校级期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米．
（1）求的长；
（2）求小路的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）米，米，米，
，
，
，
米，
（米；
（2），
，
（米，
故小路的长为米．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法，属于常考题型．
45．（2023春•白云区期中）某中学有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
（1）求出空地的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出所需费用．
【解答】解：（1）连接，
在中，，
在中，，，
而，即，所以，
则．
（2）所需费用为（元．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出是解题关键．
一十二．三角形中位线定理（共2小题）
46．（2023春•天山区校级期中）如图，在中，是边的中点，是的角平分线，于点，连接．若，，则的长度是
A．4B．4.5C．5D．5.5
【分析】延长，交于点，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果．
【解答】解：延长，交于点．
平分，，
，，
在与中，
，
，
，，
又是中点，，
是的中位线，
．
；
故选：．
【点评】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．
47．（2023春•越秀区校级期中）如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长
A．只与、的长有关
B．只与、的长有关
C．只与、的长有关
D．与四边形各边的长都有关．
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】解：点、、、分别是线段、、、的中点，
四边形的周长，
故选：．
【点评】本题考查三角形的中位线定理理． 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
一十三．菱形的性质（共1小题）
48．（2023秋•秦都区校级期中）如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为
A．24B．18C．12D．9
【分析】由三角形的中位线定理可得，即可求解．
【解答】解：、分别是、的中点，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长，
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．
一十四．菱形的判定与性质（共4小题）
49．（2023春•莱州市期中）如图，在四边形中，，过点作的角平分线交于点，连接交于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形的面积．
【分析】（1）证四边形是平行四边形，，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，，再求出，则，然后由勾股定理得，则，即可解决问题．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
，，，，
的周长为36，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
50．（2023春•东阿县期中）如图，在中，，平分交于点，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求四边形的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义证出，则，可证出四边形是平行四边形，由菱形的判定方法可得出结论；
（2）由菱形的性质证出，由勾股定理可求出的长，根据菱形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形为菱形；
（2）解：四边形为菱形，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
又，
四边形的面积．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
51．（2023春•东莞市校级期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解答本题的关键．
52．（2023春•高青县期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【分析】（1）先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
（2）由菱形的性质可得，，，，，由直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，，，
，，
，
，
，
（负值舍去），，
菱形的面积．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
一十五．矩形的性质（共3小题）
53．（2023春•秀峰区校级期中）在长方形中，，，连接，的角平分线交于点，则线段的长为
A．B．C．3D．4
【分析】作于点，由，，，根据勾股定理求得，由角平分线的性质得，再证明，得，则，再由勾股定理得，即可求得．
【解答】解：作于点，则，
四边形是矩形，，，
，
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，且，，
，，
故选：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
54．（2023春•香河县校级期中）矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为
A．12B．10C．7.5D．5
【分析】如图所示：，即：，是该矩形较短的一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有，又因为，所以的长即可求出．
【解答】解：如图所示：矩形，对角线，
四边形是矩形
（矩形的对角线互相平分且相等）
又，
，
所以该矩形较短的一边长为7.5，
故选：．
【点评】本题主要考查矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，且矩形对角线相交所得角中“大角对大边，小角对小边”．55．（2023春•光泽县期中）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为 ．
【分析】先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可．
【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
如图，作点关于点的对称点，连接，
即为的最小值，
，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键．
一十六．矩形的判定（共1小题）56．（2023春•通州区期中）在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，，，并进行如下研究活动，将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移．
（1）图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．
（2）当纸片平移到某一位置时，小敏发现四边形为矩形（如图，求的长．
【分析】（1）由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论；
（2）连接交于点，设，则，得出，由勾股定理列出方程，进而求解．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形．
证明：，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）如图1，连接交于点，
四边形为矩形，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
一十七．矩形的判定与性质（共1小题）
57．（2023春•锡山区校级期中）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，，求的长．
【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，，然后由面积法求出的长，即可得出答案．
【解答】（1）证明：，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
，又，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形为矩形，
，，
，，，
，
为直角三角形，，
，
，
即，
，
．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
一十八．正方形的性质（共3小题）
58．（2023春•建邺区校级期中）如图，正方形的对角线与相交于点，的平分线分别交、于、两点，若，则正方形的边长为 ．
【分析】作于，如图，根据正方形的性质得，则为等腰直角三角形，再求出，根据勾股定理即可求得．
【解答】解：作于，如图，
四边形为正方形，，
，
平分，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形，掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
59．（2023春•天宁区校级期中）如图，在边长为2的正方形中，点、分别是边，的中点，连接，，点、分别是，的中点，连接，则的长度为 ．
【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接并延长交于，连接，
四边形是正方形，
，，，，分别是边，的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
60．（2023春•新兴县校级期中）问题引入：如图①，，，，是线段的中点．连结并延长交于点，连结．则与之间的数量关系是 ．
问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连结、．
（1）判断与之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结，若，，则的长为 ．
【分析】问题引入：利用证明，可得，进而可以解决问题；
问题延伸（1）延长交于点，根据正方形的性质证明，可得，，根据为斜边上的中线，进而可以解决问题；
（2）根据正方形的性质设，可得，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：问题引入：，理由如下：
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
为斜边上的中线，
，
；
故答案为：；
问题延伸：（1），理由如下：
如图，延长交于点，
四边形，为正方形，
，，
，
为的中点，，
在和中，
，
，
，，
为斜边上的中线，
，
；
（2）四边形、为正方形，
，，，
设，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是解答本题的关键．