【期中讲练测】人教版八年级下册数学 专题1-2二次根式 压轴专练 .zip

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二次根式的性质与化简 分母有理化
二次根式的混合运算 二次根式的化简求值
二次根式的应用
一．二次根式的性质与化简（共12小题）
1．（2023•舟山一模）观察下列各式：①，②；③，
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论．
【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）
．
故答案为：（1）；
（2）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
2．（2022春•蓬江区校级月考）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．，那么．
如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点为点的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为 ， ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（8）已知为常数，点，且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是 ．
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义解答；
（2）根据材料一，模仿解答；
（3）先化简得到点的坐标，再根据点是点的“横负纵变点”，求出点的坐标．
【解答】解：（1），
点的“横负纵变点”为，；
，
点的“横负纵变点”为，；
故答案为：，；，．
（2）
；
（3），
，
，
．
，
，，
，
，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简，考核学生的计算能力，计算时注意负数的绝对值等于它的相反数．
3．（2021春•安徽期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数、，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：
；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解答】解：（1）
，
；
（2）
，
．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
4．（2021春•朝阳区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点为点的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为 ， ，
点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知为常数，点，且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是 ．
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义解答；
（2）根据材料一，模仿解答；
（3）先化简得到点的坐标，再根据点是点的“横负纵变点”，求出点的坐标．
【解答】解：（1），
点的“横负纵变点”为，；
，
点的“横负纵变点”为，；
故答案为：，；，．
（2）
；
（3），
，
，
．
，
，，
，
，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简，考核学生的计算能力，计算时注意负数的绝对值等于它的相反数．
5．（2022秋•吉安县期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，，那么便有例如：化简
解：首先把化为，这里，；
由于，，即，，
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）．
【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
6．（2022秋•市中区期末）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）；故答案为：；
（2）；故答案为：；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
7．（2023春•芜湖期末）观察下列各式：
；；
，
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想： ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用为正整数）表示的等式： ；
③应用：计算．
【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；
②直接利用已知条件规律用为正整数）表示的等式即可；
③利用发现的规律将原式变形得出答案．
【解答】解：①猜想：；
故答案为：，；
②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用为正整数）表示的等式：
；
③应用：
．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确发现数字变化规律是解题关键．
8．（2023春•太原期中）观察下列各式并按规律填空：
；；
（1） ， ．
（2）按此规律第个式子可以表示为 ．
（3）并说明上面式子成立的理由．（请写出推导过程）
【分析】（1）利用已知数据之间变化规律得出根号下与根号外数据的变化规律进而得出答案；
（2）利用已知数据之间变化规律得出根号下与根号外数据的变化规律进而得出答案；
（3）利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：（1）；；
，；
故答案为：，；
（2）由（1）得按此规律第个式子可以表示为：；
故答案为：；
（3）
．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确得出数字之间变化规律是解题关键．
9．（2022春•杭锦后旗期中）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：．
再如：．
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且，，为正整数，求的值．
【分析】（1）把变形为，然后利用二次根式的化简即可；
（2）先把变形为，然后把被开方数变形为，然后利用二次根式的化简即可；
（3）利用完全平方公式把展开，则，，再利用有理数的整除性确定、值，然后计算对应的的值．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3），
，，
，
又、、为正整数，
，，或者，，
当，时，；
当，时，，
即的值为46或14．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质和完全平方公式是解决问题的关键．
10．（2021秋•沿河县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和，使且，则可变为，即变成，从而使得．
化简：．
．
．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把化为然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1），
；
（2）．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
11．（2023秋•渠县校级期中）观察下列各式及验证过程：，
验证；，
验证，
验证
（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明．
【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：．
【解答】解：（1）
验证：；
（2）．
验证：．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
12．（2023春•前郭县期中）观察下面的运算，完成下列各题的解答．
①判断下列各式是否成立：




②根据①判断的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来，并注明的取值范围．
③请说明你所发现式子的正确性．
【分析】（1）计算等式左右两边是否相等，然后做出判断．
（2）由，，，故根据上述规律可知，
（3）把两式平方，证明左边和右边相等．
【解答】解：①；；；
故答案为；；；．
②由，，，故根据上述规律可知，
③等式成立，
理由：，
故结论成立．
【点评】本题主要考查二次根式的化简的知识点，找出等式规律很重要．
二．分母有理化（共7小题）
13．（2021秋•射洪市校级月考）小芳在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
，，
，，，
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）化简．
（2）若．
①求的值；
②求的值．
【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值；
（2）各式变形后，将的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式；
（2）①，
原式；
②，
原式．
【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14．（2021春•淮北期末）已知，，求：
（1）的值；
（2）的值．
【分析】（1）先求出与与的值，再代入计算即可；
（2）将变形为，得到原式，再把，代入计算即可求解．
【解答】解：（1），，
，
，
；
（2），，
．
【点评】考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解答问题的关键．
15．（2021秋•高州市校级月考）阅读下面问题：
；
；
．
试求：
（1）为正整数） ．
（2）利用上面所揭示的规律计算：
．
【分析】（1）分子分母同时乘，求解即可，
（2）先化简，再找出规律求解即可．
【解答】解：（1）为正整数）．
故答案为：．
（2）
，
．
【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找出式子的规律．
16．（2021春•饶平县校级期末）先观察下列的计算，再完成习题：
；
请你直接写出下面的结果：
（1） ； ；
（2）根据你的猜想、归纳，运用规律计算：
．
【分析】（1）仿照已知等式将各式分母有理化即可；
（2）根据得出的规律将原式化简即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
原式；
故答案为：；；
（2）原式
．
【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
17．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：
；
；
．
（1）求的值；
（2）计算：．
【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【点评】此题考查了分母有理化，弄清分母有理化的方法是解本题的关键．
18．（2021春•裕华区校级期末）【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如：的有理化因式是；的有理化因式是．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
，．
【知识理解】
（1）填空：的有理化因式是 ；
（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：
① ；② ．
【启发运用】
（3）计算：．
【分析】（1）由，即可找出的有理化因式；
（2）①分式中分子、分母同时，即可得出结论；②分式中分子、分母同时，即可得出结论；
（3）利用分母有理化将原式变形为，合并同类项即可得出结论．
【解答】解：（1），
的有理化因式是．
故答案为：．
（2）①；
②．
故答案为：①；②．
（3）原式，
，
．
【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是：（1）由，找出的有理化因式；（2）根据平方差公式，将各式分母有理化；（3）利用分母有理化将原式变形为．
19．（2021秋•安仁县校级期末）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；
．以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：．
（1）请用其中一种方法化简；
（2）化简：．
【分析】（1）运用第二种方法求解，
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案，
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．
三．二次根式的混合运算（共7小题）
20．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中、、、均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得 ， ；
（2）试着把化成一个完全平方式．
（3）若是216的立方根，是16的平方根，试计算：．
【分析】（1）根据完全平方公式展开，再得出即可；
（2）根据完全平方公式得出即可；
（3）先求出、的值，再代入求出即可．
【解答】解：（1），
，
，，
故答案为：；；
（2）；
（3）是216的立方根，是16的平方根，
，，
．
【点评】本题考查了平方根、立方根、完全平方公式、算术平方根等知识点，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．
21．（2023秋•惠来县期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分．的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）找一组正整数、、、填空： ；
（3）化简．
【分析】（1）将用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；
（2）设，则，比较完全平方式右边的值与，可将和用和表示出来，再给和取特殊值，即可得答案；
（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．
【解答】解：（1），，
，，
故答案为：，．
（2）设．
则．
，，
若令，，则，．
故答案为：21，4，1，2．
（3）
．
【点评】本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓展应用，本题具有一定的计算难度．
22．（2022春•大理市校级期中）阅读下面的问题：
；
；
；
（1）求与的值；
（2）计算．
【分析】（1）根据分母有理化可以解答本题；
（2）根据分母有理化可以解答本题；
（3）根据（2）中的结果可以解答本题．
【解答】解：（1），
；
（2），
；
（3）
．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
23．（2022春•开州区期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：，那么，那么如何将双重二次根式，，化简呢？如能找到两个数，，使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；
例如化简：；
且，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空： ； ；
（2）化简：① ②
（3）计算：．
【分析】（1）把被开方数利用完全平方公式变形为完全平方式，然后利用二次根式的性质化简；
（2）利用二次根式的性质变形得到；，然后与（1）的方法一样化简即可；
（3）先变形得到，然后与（1）的方法一样化简即可．
【解答】解：（1）填空：；
；
（2）①；
②；
（3）
．
故答案为；．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
24．（2022秋•晋安区期末）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
【分析】（1）将3分成，利用完全平方公式即可求出结论；
（2）结合（1）将原式变形为，将18分成，利用完全平方公式即可求出结论；
（3）将3分成、5分成、7分成、9分成、11分成，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）原式，
，
，
，
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．
25．（2023•舟山二模）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中、、、均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空： ；
（3）若，且、、均为正整数，求的值．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
（2）先取，，则计算对应的、的值，然后填空即可；
（3）利用，和、、均为正整数可先确定、的值，然后计算对应的的值．
【解答】解：（1），
，；
（2），，则，，
，
（3），，
、、均为正整数，
，或，，
当，时，，
当，时，，
的值为12或28．
故答案为，；7，4，2，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
26．（2023春•宜丰县校级月考）已知，，且．试求正整数．
【分析】首先化简与，可得：，，所以，；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．
【解答】解：化简与得：，，
，，
将代入方程，化简得：，
，
．
，
解得．
【点评】此题考查了二次根式的分母有理化．解题的关键是整体代入思想的应用．
四．二次根式的化简求值（共9小题）
27．（2023春•东莞市校级期中）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用完全平方公式因式分解；
（2）利用平方差公式因式分解；
再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：（1）
；
（2）．
．
【点评】此题考查二次根式的混合运算，注意先利用完全平方公式和平方差公式因式分解，再代入计算．
28．（2023春•麒麟区校级期中）阅读下面的问题：
；
；
；
（1）求与的值．
（2）已知是正整数，求与的值；
（3）计算．
【分析】（1）根据分母有理化可以解答本题；
（2）根据分母有理化可以解答本题；
（3）根据（2）中的结果可以解答本题．
【解答】解：（1），
；
（2），
；
（3）
．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
29．（2021春•环翠区校级期中）已知：，，求的值．
【分析】根据二次根式的性质把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：，，
，，
，
当，时，原式．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．
30．（2021春•黄冈期中）已知，，试求代数式的值．
【分析】根据已经条件求出、，再利用整体代入的思想解决问题即可．
【解答】解：，，
，
，
．
解法二：由题意，，，
．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式等知识，解题的关键是灵活运用公式解决问题，学会用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．
31．（2023春•新会区校级期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
，
，
，，
，
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简．
（2）若．求：
①求的值．
②直接写出代数式的值 2 ； ．
【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；
（2）将分母有理化得，移项并平方得到，对①，②的式子进行变形后代入求值．
【解答】解：（1）原式
；
（2）①，
，
，
，
；
②
，
，
原式；
，
，
原式．
故答案为：0，2．
【点评】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，解题的关键是变形各式后利用来求解．
32．（2023春•东莞市校级期中）已知，，求下列各式的值．
（1）
（2）．
【分析】（1）所求式子利用平方差公式分解后，将与的值代入计算即可求出值；
（2）求出与的值，所求式子利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1），，
；
（2），，
，，
则．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
33．（2022秋•城关区期末）先化简，后求值：，其中．
【分析】求出的值，根据平方差公式得出，推出，把的值代入求出即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平方差公式和二次根式的化简求值的应用，关键是根据性质进行化简，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
34．（2020秋•惠济区校级月考）阅读下面的文字后，回答问题．
小明和小芳解答题目“先化简下式，再求值：，其中”时，得到了不同的答案．
小明的解答是：原式；
小芳的解答是：原式；
（1） 小明 的解答是错误的．
（2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质： ．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：原式；
（1）小明的解答是错误的．
（2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：，
故答案为：小明，．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键．
35．（2023秋•天府新区期中）已知，．求：
（1）的值；
（2）的值．
【分析】先将和进行化简，然后代入各式中进行求解即可．
【解答】解：（1），
，
．
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于将和进行化简，然后代入各式中进行求解．
五．二次根式的应用（共5小题）
36．（2023春•汤阴县期中）已知线段，，，且线段，满足．
（1）求，的值；
（2）若，，是某直角三角形的三条边的长度，求的值．
【分析】（1）根据非负数性质可得、的值；
（2）根据勾股定理逆定理可解答．
【解答】解：（1）因为线段，满足．
所以，；
（2）因为，，是某直角三角形的三条边的长度，
所以或．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，根据非负数性质和勾股定理逆定理得出相应算式是关键，二次根式的化简与运算是根本技能．
37．（2022春•东莞市校级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；，；
，；
（1）请用含有为正整数）的等式表示上述变化规律： ， ．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；
（2）利用（1）的规律代入求出即可；
（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：，，，所以．故：答案为 与
（2）当时，有：，解之得：
即：说明它是第32个三角形．
（3）
即：的值为11.25．
【点评】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
38．（2022春•岳麓区校级期中）已知，均为正整数．我们把满足的点称为幸福点．
（1）下列四个点中为幸福点的是 ；
；；；
（2）若点是一个幸福点，求的值；
（3）已知点，是一个幸福点，则存在正整数，满足，试问是否存在实数的值使得点和点，到轴的距离相等，且到轴的距离也相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据，均为正整数，对，分类讨论，分别求出幸福点即可；
（2）将点坐标分别代入求出的值即可；
（3）先表示出点，再根据点和点到轴的距离相等，到轴的距离也相等列出关系式求解即可．
【解答】解：（1），均为正整数，满足的点称为幸福点，
当，时，，，故是幸福点，
当，时，，，故是幸福点，
当，时，，，故是幸福点，
．
，，，中只有是幸福点，
故答案为：；
（2）点是一个幸福点，
，，
，均为正整数，
，或或，，
当，时，，
当时，，
当，时，，
的值为15或20或25；
（3）点，是一个幸福点，则存在正整数，满足，
消去得，，
，，，
，，，
点和点到轴的距离相等，
有4种情况，
①，
解得，（舍，；
②，
解得，，，
，符合题意；
③，
解得，（舍，；
④，
解得，（舍，；
当，，时，点和点到轴的距离相等，且到轴的距离也相等．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，点的坐标，读懂题意列出方程，能熟练运用分类讨论思想解决问题是解答此题的关键．
39．（2022秋•岳麓区校级期末）小明在解方程时采用了下面的方法：由
，
又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程的解是 ；
（2）解方程．
【分析】（1）首先把根式有理化，然后分别求出根式和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式和它的有理化因式的值，求出方程的解是多少即可；
（2）首先把根式有理化，然后分别求出根式和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式和它的有理化因式的值，求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）
，
，
，
，
经检验都是原方程的解，
方程的解是：；
故答案为：．
（2）
，
，
，
，
，
，
解得，
经检验是原方程的解，
方程的解是：．
【点评】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
40．（2021秋•湘潭县期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
【分析】（1）由三角形的边角命名修改找出、、的值，代入海伦公式即可得出结论；
（2）由三角形的面积底高，代入数据，即可得出结论．
【解答】解：（1），，，
，，，，
的面积．
（2）设边上的高为，
则，
解得．
【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明白海伦公式的运用，代入数据即可．