【期中讲练测】北师大版七年级下册数学 专题01 整式的乘除（压轴专练）.zip

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题型1 幂的乘方与积的乘方 题型2 同底数幂的除法
题型3 多项式乘多项式 题型4 完全平方公式运用
题型5 完全平方公式的几何背景 题型6 完全平方公式
题型7 平方差公式 题型 8 平方差公式的几何背景
题型9 整式的混合运算—化简求值 题型10 整式的混合运算—化简求值
一．幂的乘方与积的乘方（共3小题）
1．已知a＝240，b＝332，c＝424，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a
2．若am＝2，an＝3，则a2m+n＝ ．
3．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝ ，D（16）＝ ．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．
二．同底数幂的除法（共3小题）
4．已知32m＝10，3n＝2，则92m﹣n的值为（ ）
A．25B．96C．5D．3
5．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（ ）
A．3B．6C．7D．8
6．已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．则32a﹣3b+c的值是（ ）
A．B．C．D．
三．多项式乘多项式（共6小题）
7．要使（x+m）（x﹣1）的结果不含x的一次项，则m的值等于（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
8．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，8，5B．3，8，6C．3，7，5D．2，6，7
9．如图1是宽为a，长为b（a＜b）的小长方形纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为S1，S2，若S＝S1﹣S2，且S为定值，则a，b满足的数量关系（ ）
A．b＝2aB．b＝3aC．b＝4aD．b＝5a
10．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
11．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．
（1）求m与n的值．
（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
12．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
四．完全平方公式（共8小题）
13．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（ ）
A．5B．9C．13D．17
14．若a+b＝8，ab＝6，则a2+b2的值是（ ）
A．52B．53C．54D．55
15．已知2a﹣3＝b，4a2﹣3ab+b2＝11，则2a2b﹣ab2的值为（ ）
A．3B．6C．8D．11
16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出”杨辉三角“（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）7的展开式中所有系数的和是（ ）
A．2018B．512C．128D．64
17．若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝ ．
18．阅读理解：由（a﹣b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时，取到等号．
例如：已知x＞0，求式子的最小值．
解：令a＝x，，则由，得，
当且仅当时，即正数x＝2时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当x＞0，式子的最小值为 ；
（2）如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
（3）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是6和12，求四边形ABCD面积的最小值．
19．阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
20．已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
五．完全平方公式的几何背景（共8小题）
21．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．5B．10C．20D．30
22．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
① ；
② ．
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）2，（m﹣n）2，mn ．
（4）运用你所得到的公式，计算若mn＝﹣2，m﹣n＝4，求（m+n）2的值．
（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2﹣4y+7的最小值．
23．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．
24．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝4，则（x﹣y）2＝ ；
（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是 ．
25．如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn
（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．
26．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图③，写出一个代数恒等式： ；
（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．
27．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求：
①a+b的值；
②a4﹣b4的值．
28．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的面积为 ；
②观察图2请你写出 （a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则（x﹣y）2＝ ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．
如图3，你发现的等式是 ．
六．完全平方式（共1小题）
29．若4x2﹣kx+25是完全平方式，则k的值为（ ）
A．﹣5或5B．﹣10或10C．﹣20或10D．﹣20或20
七．平方差公式（共5小题）
30．计算20232﹣2024×2022的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
31．观察（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，x2023的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．1或﹣2
32．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），结果是（ ）
A．264﹣1B．264C．232﹣1D．2128﹣1
33．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ．
34．填空：
（x﹣1）（x+1）＝ ．
（x﹣1）（x2+x+1）＝ ．
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ．
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝ ．
…
（1）根据上面的规律得：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）．
（2）当x＝3时，计算：（3﹣1）（32017+32016+32015+…+33+32+3+1）＝ ；
（3）设a＝22017+22016+22015+…+23+22+2+1，则a的个位数字为 ；
（4）计算：52020+52019+52018+52017+22016+52015+…+53+52+5．
八．平方差公式的几何背景（共3小题）
35．如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．
36．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
37．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
九．整式的混合运算（共1小题）
38．如图①，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图②所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（ ）
A．4a﹣8bB．2a﹣3bC．2a﹣4bD．4a﹣10b
十．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
39．若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为 ．