【期中讲练测】北师大版七年级下册数学 专题01 整式的乘除（易错专练）.zip

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同底数幂的乘法
同底数幂的除法
多项式乘多项式
完全平方公式的几何背景
平方差公式
整式的混合运算—化简求值
单项式乘多项式
完全平方公式的变形
完全平方式
实数大小比较
平方差公式的几何背景
一．同底数幂的乘法（共1小题）
1．我们约定：a★b＝10a×10b，例如3★4＝103×104＝107．
（1）试求2★5和3★17的值；
（2）猜想：a★b与b★a的运算结果是否相等？说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）2★5＝102×105＝107，
3★17＝103×1017＝1020；
（2）a★b与b★a的运算结果相等，
a★b＝10a×10b＝10a+b
b★a＝10b×10a＝10b+a，
∴a★b＝b★a．
二．幂的乘方与积的乘方（共4小题）
2．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（ ）
A．9；5B．3；5C．5；3D．6；12
【答案】B
【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15，
∴a3mb3n＝a9b15，
∴3m＝9，3n＝15，
∴m＝3，n＝5，
故选：B．
3．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＜b＜cD．b＞c＞a
【答案】A
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122．
则a＞b＞c．
故选：A．
4．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：
＝••
＝•
＝1×
＝．
故选：A．
5．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（ ）
A．1B．6C．7D．12
【答案】D
【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，
∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．
故选：D．
三．同底数幂的除法（共2小题）
6．若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵am＝8，an＝2，
∴am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝8÷22＝2，
故答案为：2．
7．已知（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a3
（1）求xy和2x﹣y的值；
（2）求4x2+y2的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a3
∴axy＝a6，a2x÷ay＝a2x﹣y＝a3，
∴xy＝6，2x﹣y＝3．
（2）4x2+y2＝（2x﹣y）2+4xy＝32+4×6＝9+24＝33．
四．单项式乘多项式（共1小题）
8．阅读下列文字，并解决问题．
已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．
分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．
解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．
请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）
＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab
＝﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab
＝﹣4×33+6×32﹣8×3
＝﹣108+54﹣24
＝﹣78．
五．多项式乘多项式（共2小题）
9．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3B．3C．0D．1
【答案】A
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
10．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖 2 块．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：4块A的面积为：4×m×m＝4m2；
2块B的面积为：2×m×n＝2mn；
1块C的面积为n×n＝n2；
那么这三种类型的砖的总面积应该是：
4m2+2mn+n2＝4m2+4mn+n2﹣2mn＝（2m+n）2﹣2mn，
因此，少2块B型地砖，
故答案为：2．
六．完全平方公式（共9小题）
11．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（ ）
A．0B．1C．5D．12
【答案】C
【解答】解：∵x＝3y+5，
∴x﹣3y＝5，
两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，
又∵x2﹣7xy+9y2＝24，
两式相减，可得xy＝1，
∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，
故选：C．
12．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（ ）
A．89B．﹣89C．67D．﹣67
【答案】C
【解答】解：把a+b＝10两边平方得：
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，
把ab＝11代入得：
a2+b2＝78，
∴原式＝78﹣11＝67，
故选：C．
13．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（ ）
A．128B．256C．512D．1024
【答案】C
【解答】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，
当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，
当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，
•••
当n＝9时，展开式的项系数和为＝29＝512，
故选：C．
14．已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是（ ）
A．16B．20C．25D．30
【答案】C
【解答】解：∵a＝5+4b，
∴a﹣4b＝5，
∴a2﹣8ab+16b2＝（a﹣4b）2＝52＝25．
故选：C．
15．已知a+＝5，则a2+的值是 23 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：a2+＝．
故答案为：23．
16．若x﹣y＝3，xy＝2，则x2+y2＝ 13 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x﹣y＝3，
∴（x﹣y）2＝9，
∴x2+y2﹣2xy＝9，
∵xy＝2，
∴x2+y2﹣2×2＝9，
∴x2+y2＝13，
故答案为：13．
17．已知a+b＝5，ab＝﹣14，求：
（1）a2+b2；
（2）a4﹣b4．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25+2×14＝53．
（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25+56＝81，
∴a﹣b＝±9，
∴a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b），
∴当a﹣b＝9时，a4﹣b4＝53×5×9＝2385，
当a﹣b＝﹣9时，a4﹣b4＝53×5×（﹣9）＝﹣2385．
18．“杨辉三角”揭示了（a+b）n（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：
根据上述规律，完成下列各题：
（1）将（a+b）5展开后，各项的系数和为 32 ．
（2）将（a+b）n展开后，各项的系数和为 2n ．
（3）（a+b）6＝ a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 ．
下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
（4）若（m，n）表示第m行，从左到右数第n个数，如（4，2）表示第四行第二个数是，则（6，2）表示的数是 ，（8，3）表示的数是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
1+5+10+10+5+1＝32，
故答案为：32；
（2）第二行：（a+b）1＝a+b，1+1＝2，各项系数和为2＝21，
第三行：（a+b）2＝a2+2ab+b2，各项系数和为4＝22，
…
第n+1行：（a+b）n展开后各项系数和为2n；
故答案为：2n；
（3）由（2）得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是，
∴（6，2）表示第六行第二个数，是﹣＝，
按规律计算：第六行：，，，，，，
第七行：，，，，，，，
第八行：，，…
∴（8，3）表示第八行第三个数，是﹣＝；
故答案为：，．
19．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（x﹣2004）2+（x﹣2007）2＝31，求（x﹣2004）（x﹣2007）的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
【答案】（1）（x﹣2004）（x﹣2007）＝11；
（2）阴影部分的面积是28．
【解答】解：（1）设x﹣2004＝a，x﹣2007＝b，
∴a2+b2＝31，a﹣b＝3，
∴﹣2（x﹣2004）（x﹣2007）＝﹣2ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）＝9﹣31＝﹣22，
∴（x﹣2004）（x﹣2007）＝11；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，
∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∴（x﹣1）•（x﹣3）＝48，
∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
七．完全平方公式的几何背景（共4小题）
20．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】C
【解答】解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故选：C．
21．如图，一块直径为（a+b）的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a、b的两个圆，则剩下的卡纸的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：由题意得：剩下的卡纸的面积为：
（）2π﹣（）2π﹣（）2π＝（a2+2ab+b2﹣a2﹣b2）＝，
故选：C．
22．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ 30 ．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝ 156 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝102﹣2（ab+ac+bc），
＝100﹣2×35，
＝30．
故答案为：30；
（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
∵（5a+7b）（9a+4b），
＝45a2+20ab+63ab+28b2，
＝45a2+28b2+83ab，
∴x＝45，y＝28，z＝83．
∴x+y+z＝45+28+83＝156．
故答案为：156．
23．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1： a2+b2 ；
方法2： （a+b）2﹣2ab ．
（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．
【答案】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①mn＝，（m﹣n）2＝15；②16．
【解答】解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝，
∴m+n＝5，m2+n2＝20时，
mn＝
＝
＝，
（m﹣n）2
＝m2﹣2mn+n2；
＝20﹣2×
＝20﹣5
＝15；
②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，
可得a+b＝2（x﹣2022），
∴x﹣2022＝，
（x﹣2022）2＝（）2＝，
又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4，
且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30，
∴（x﹣2022）2＝（）2＝＝＝＝16．
八．完全平方式（共2小题）
24．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3B．±3C．6D．±6
【答案】B
【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，
∴2m＝±6，
∴m＝±3，
故选：B．
25．小方将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则a、b满足（ ）
A．a＝3bB．2a＝5bC．a＝2bD．2a＝3b
【答案】C
【解答】解：设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，
由题意，得S1＝b（a+b）×2+ab×2+（a﹣b）2＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，
S＝（a+b）2，
∵S＝3S2，
∴（a+b）2＝3（2ab﹣b2），
整理，得（a﹣2b）2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
故选：C．
九．平方差公式（共2小题）
26．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（﹣b﹣c）（﹣b+c）B．﹣（x+y）（﹣x﹣y）
C．（x+y）（x﹣y）D．（x+y）（2x﹣2y）
【答案】B
【解答】解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、（x+y）（2x﹣2y）＝2（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．
故选：B．
27．计算2019×2017﹣20182＝ ﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：2019×2017﹣20182
＝（2018+1）×（2018﹣1）﹣20182
＝20182﹣1﹣20182
＝﹣1．
故答案为：﹣1
十．平方差公式的几何背景（共2小题）
28．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【答案】B
【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；
剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
29．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．
（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，
∴S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）依据阴影部分的面积相等，可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝（216﹣1）+1
＝216．
十一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）
30．先化简，再求值：（﹣3xy）2（x2+xy﹣y2）﹣3x2y2（3x2+3xy+y2），其中x＝﹣，y＝﹣．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝9x2y2（x2+xy﹣y2）﹣3x2y2（3x2+3xy+y2）＝9x4y2+9x3y3﹣9x2y4﹣9x4y2﹣9x3y3﹣3x2y4＝﹣12x2y4，
当x＝﹣，y＝﹣时，原式＝﹣12××＝﹣108．
31．先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
【答案】4﹣6a，原式＝6．
【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）
＝4+2
＝6．
32．先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x，y满足|x﹣2|+（y+1）2＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣（4x2﹣4xy+y2），
＝5x2﹣4xy﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2，
＝x2﹣2y2，
∵|x﹣2|+（y+1）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣1，
当x＝2，y＝﹣1时，
原式＝22﹣2×（﹣1）2＝4﹣2＝2．
33．先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x），其中x＝2，y＝1．
【答案】﹣4x+2y，﹣6．
【解答】解：原式＝（x2+4xy+4y2﹣9x2+y2﹣5y2）÷（2x）
＝（﹣8x2+4xy）÷（2x）
＝﹣4x+2y，
当x＝2，y＝1时，原式＝﹣4×2+2×1＝﹣8+2＝﹣6．