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【期中讲练测】北师大版七年级下册数学 期中综合.zip
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这是一份【期中讲练测】北师大版七年级下册数学 期中综合.zip，文件包含期中讲练测北师大版七年级下册数学期中必刷综合原卷版docx、期中讲练测北师大版七年级下册数学期中必刷综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。
一．选择题（共7小题）
1．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（ ）
A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°
【答案】B
【解答】解：∵∠DEB＝m°，
∴∠AEC＝∠DEB＝m°，
∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，
∴30°+m°＝45°+∠AOC，
∴∠AOC＝（m﹣15）°，
故选：B．
2．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝n°，则下列结论：①∠COE＝90°﹣n°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABO＝n°，
∴∠ABO＝∠BOD＝n°，
∵OE平分∠BOC，∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠COE＝（180﹣n）°，故①正确；
∵OF⊥OE，OP⊥CD，OE平分∠BOC，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，∠EOC+∠EOP＝90°，∠EOC＝∠EOB，∠EOC+∠DOF＝90°，
∴∠POE＝∠BOF，∠BOF＝∠DOF，故③正确；
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠BOD，
∴∠ABO＝2∠DOF，
而题目中不能得到∠ABO＝∠POB，故④错误．
故选：A．
3．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF、CE，且∠FBD＝35°，∠BDF＝75°，下列说法：①△BDF≌CDE；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④∠DEC＝70°，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积，
在△BDF和△CDE中，，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故①②正确
∴∠F＝∠CED，∠DEC＝∠F，
∴BF∥CE，故③正确，
∵∠FBD＝35°，∠BDF＝75°，
∴∠F＝180°﹣35°﹣75°＝70°，
∴∠DEC＝70°，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④4个．
故选：D．
4．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用图2所得到的数学等式是（ ）
A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2
B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
C．（a+b+c）2＝a2+b2+b2+ab+ac+bc
D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c
【答案】B
【解答】解：∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故选：B．
5．如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于E、F两点，作∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K；作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1；依此类推，作∠BEK1、∠DFK2的平分线相交于点K2，…，作∠BEKn﹣1、∠DFKn﹣1的平分线相交于点Kn，则∠Kn的与∠K的关系为（ ）
A．∠Kn＝∠KB．∠Kn＝∠K
C．∠Kn＝∠KD．∠Kn＝∠K
【答案】A
【解答】解：如图，过K作KG∥AB，可得KG∥CD，
∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，
∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，
∵AB∥CD，
∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠DFK）＝180°，
∴∠BEK+∠DFK＝90°，
则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；
∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，
∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，
∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠KEK1+∠KFK1＝45°，
∴∠K1＝180°﹣（∠KEF+∠EFK）﹣（∠KEK1+∠KFK1）＝×90°＝45°，
归纳总结得：∠Kn＝×90°＝∠EKF．
故选：A．
6．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224B．180C．112D．48
【答案】C
【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
故选：C．
7．如图，△ABC中，∠A＝α°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠A1＝α，
∴∠A1＝α°，
同理可得∠A1＝2∠A2，
即∠A＝22∠A2＝α°，
∴∠A2＝α°，
∴∠A＝2n∠An，
∴∠An＝α°•（）n＝（）°．
故选：C．
二．填空题（共17小题）
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠ACB＝84°，且BD＝DA，则∠E＝ 26 °．（补充知识：等腰三角形两底角相等．）
【答案】26．
【解答】解：∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠B，
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ACB＝84°，
∴∠B+2∠B+84°＝180°，
解得∠B＝32°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∴∠ADC＝64°，
∵PE⊥AD交BC的延长线于点E．
∴∠E+∠ADC＝90°，
解得∠E＝26°．
故答案为26．
9．如图1，点P从△ABC的顶点出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AC边上的高长为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：由图1看到，点P从B运动到A的过程中，y＝BP先从0开始增大，到达点C时达到最大，对应图2可得此时y＝5，即BC＝5；
点P从C运动到A的过程中，y＝BP先减小，到达BP⊥AC时达到最小，对应图2可得此时BP＝4；
而后BP又开始增大，到达点A时达到最大y＝5，即BA＝5，所以△ABC为等腰三角形．
由图形和图象可得BC＝BA＝5，BP⊥AC时，BP＝4，
过点B作BD⊥AC于D，则BD＝4．
故AC边上的高长为4．
故答案为：4．
10．如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 72 °．
【答案】72．
【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°．
故答案为：72．
11．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）；
请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 ﹣4034 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x﹣）2017展开式中含x2015项的系数，
由（x﹣）2017＝x2017﹣2017•x2016•（）+…
可知，展开式中第二项为﹣2017•x2016•（）＝﹣4034x2015，
∴（x﹣）2017展开式中含x2015项的系数是﹣4034，
故答案为：﹣4034．
12．如图①是长方形纸带，∠CFE＝55°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是 15° ．
【答案】15°．
【解答】解：∵AD∥BC，∠CFE＝55°，
∴∠AEF＝∠CFE＝55°，∠DEF＝125°，
∴图②中的∠GEF＝55°，∠DEG＝180°﹣2×55°＝70°，
∴图③中∠GEF＝55°，∠DEF＝70°﹣55°＝15°．
故答案为：15°
13．图①是一个长为a，宽为b的长方形，以此小长方形按图②拼成的一个大正方形和一小正方形，设小正方形ABCD的面积为S1，大正方形EFGH的面积为S2，小长方形的面积为S3．若S1＝S3，且S1+S2＝22，则S1＝ 3 ．
【答案】3．
【解答】解：由图可得：大正方形EFGH的面积＝小正方形ABCD的面积+4×小长方形的面积，即S2＝S1+4S3，
∵S1＝S3，
∴S3＝S1，
∵S1+S2＝22，
∴S2＝22﹣S1，
∴22﹣S1＝S1+4×S1，
解得S1＝3．
故答案为：3．
14．如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝PA，过点P作PE⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵PF∥BQ，
∴∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
∵在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
∴DE＝AC，
∵AC＝10，
∴DE＝AC＝5．
故答案为：5．
15．如图，将△ABC沿直线AC翻折得到△ADC，连接BD交AC于点E，AF为△ACD的中线，若BE＝2，AE＝3，△AFC的面积为2，则CE ＝1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵AF为△ACD的中线，△AFC的面积为2，
∴S△ACD＝2S△AFC＝4，
∵△ABC沿直线AC翻折得到△ADC，
∴S△ABC＝S△ADC，BD⊥AC，BE＝ED，
∴S四边形ABCD＝8，
∴，
∵BE＝2，AE＝3，
∴BD＝4，
∴AC＝4，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣3＝1．
故答案为1．
16．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P是△OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S△ABP＝S△DCP；⑤PM＝CD．其中正确的是 ①③④⑤ ．（填序号）
【答案】①③④⑤．
【解答】解：∵AC⊥BD，点P是△OCD角平分线的交点，
∴∠DOC＝90°，∠CDP＝∠CDO，∠DCP＝∠DCO，
∴∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠CDP+∠DCP＝×90°＝45°，
∴∠CPD＝180°﹣（∠CDP+∠DCP）＝135°，
故①正确；
∵点P是△OCD角平分线的交点，
∴∠DCP＝∠ACP，∠CDP＝∠BDP，
在△ACP和△DCP中，
，
∴△ACP≌△DCP（SAS），
∴AP＝DP，∠CAP＝∠CDP＝∠BDP，∠APC＝∠DPC＝135°，
∴∠DPA＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴△APD是等腰直角三角形，
在△PAC和△PDB中，
，
∴△PAC≌△PDB（SAS），
故③正确；
∵△PAC≌△PDB，
∴∠DPB＝∠APC＝135°，PB＝PC，
∴∠BPC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴△BPC是等腰直角三角形，找不到BA＝BP的证据，故②错误；
过点A作AN∥BP交PM的延长线于点N，
∴∠N＝∠BPM，∠PAN+APB＝180°，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM，
在△AMN和△BMP中，
，
∴△AMN≌△BMP（AAS），
∴MN＝MP＝PN，AN＝PB＝PC，S△AMN＝S△BMP，
∵∠DPA＝∠BPC＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠PAN+APB＝180°，
∴∠PAN＝∠DPC，
又∵AP＝DP，AN＝PC，
∴△APN≌△PDC（SAS），
∴PN＝CD＝2PM，
即PM＝CD，
故⑤正确；
∵△AMN≌△BMP，△APN≌△PDC，
S△APN＝S△PDC，S△AMN＝S△BMP，
∴S△ABP＝S△APM+S△BPM＝S△APM+S△AMN＝S△APN，
∴S△ABP＝S△DCP，
故④正确；
故答案为：①③④⑤．
17．已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与时间t（秒）之间的关系如图乙中的图象所示．其中AB＝6cm．当t＝ 2.5或14.5 时，△ABP的面积是15cm2．
【答案】2.5或14.5．
【解答】解：动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：BC＝2cm/秒×4秒＝8（cm）；
动点P在CD上运动时，对应的时间为4到6秒，易得：CD＝2cm/秒×（6﹣4）秒＝4（cm）；
动点P在DF上运动时，对应的时间为6到9秒，易得：DE＝2cm/秒×（9﹣6）秒＝6（cm），
故图甲中的BC长是8cm，DE＝6cm，EF＝6﹣4＝2（cm）
∴AF＝BC+DE＝8+6＝14（cm），
∴b＝9+（EF+AF）÷2＝17，
∴或，
解得t＝2.5或14.5．
故答案为：2.5或14.5．
18．甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地，甲、乙两人行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则在返回途中二人相遇时离A地的距离是 5 千米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：乙上坡的速度是：6÷＝10千米/小时，下坡的速度是：10÷（﹣）＝20千米/小时．
甲的速度是：16÷＝12千米/小时，
上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设x小时乙追上甲．
则有：12x＝10+20（x﹣1），
x＝，
此时离A地距离＝12×﹣10＝5（千米）．
故答案为5．
19．如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：
①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正确的结论有 ①③④ （将所有正确答案的序号填写在横线上）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝ACD，
∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，
∴∠EBC+∠BEC＝（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC+BAC，
∴∠BEC＝∠BAC，故①正确；
∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．
③BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE＝∠GEB，
∴∠ABE＝∠GEB，
∴BG＝GE，
同理CH＝HE，
∴BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH，
故③正确．
④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝ED，
∵CE平分∠ACD，
∴EN＝ED，
∴EN＝EM，
∴AE平分∠CAM，
设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，
则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，
∴x+z＝y+90°，
∵z＝y+∠AEB，
∴x+y+∠AEB＝y+90°，
∴x+∠AEB＝90°，
即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；
故答案为：①③④．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点B运动；点Q从点B出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒．当t＝ 1或者3.5或12 秒时，△PEC与△QFC全等．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：由于PE⊥l，QF⊥l，∠ACB＝90°，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，∠CPE＝∠QCF，
t秒时，CQ＝16﹣6t，PC＝12﹣2t，当CQ＝PC时，即16﹣6t＝12﹣2t，解得，t＝1．运动时间为1秒时，△PEC与△QFC满足“AAS”全等．
（2）如图所示，t秒时，CQ＝6t﹣16，PC＝12﹣2t，当CQ＝PC时，即6t﹣16＝12﹣2t，解得，t＝3.5．运动时间为3.5秒时，△PEC与△QFC重合，两个三角形全等．
（3）当Q到达终点A，CP＝AC时，也满足条件，即2t＝24，t＝12
故答案为：1或者3.5或12．
21．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 ①②④ ．（填序号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴①正确．
②∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴②正确．
③∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD．
∴③错误．
④由②得AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④正确．
故答案为：①②④．
22．如图，对面积为s的△ABC逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；
第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；
…；
按此规律继续下去，可得到△AnBn∁n，则其面积Sn＝ 19n•S ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接A1C；
S△AA1C＝3S△ABC＝3S，
S△AA1C1＝2S△AA1C＝6S，
所以S△A1B1C1＝6S×3+1S＝19S；
同理得S△A2B2C2＝19S×19＝361S；
S△A3B3C3＝361S×19＝6859S，
S△A4B4C4＝6859S×19＝130321S，
S△A5B5C5＝130321S×19＝2476099S，
从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到△AnBn∁n，
则其面积Sn＝19n•S．
23．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b＝10，ab＝12，图中阴影部分的面积为 32 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，
将ab＝12代入得：a2+b2+24＝100，即a2+b2＝76，
则两个正方形面积之和为76；
如图，S阴影＝S两正方形﹣S△ABD﹣S△BFG＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝×（76﹣12）＝32．
故答案为：32．
24．若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015＝1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2＝1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为 510 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2＝1510，
∵m1，m2，…，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，
∴m1，m2，…，m2015中为1的个数是2015﹣1510＝505，
∵m1+m2+…+m2015＝1525，
∴2的个数为（1525﹣505）÷2＝510个．
故答案为：510．
三．解答题（共26小题）
25．新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护，如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）之间关系的图象．
（1）图中点A表示的实际意义是什么？
（2）当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量多少？
（3）求行驶多少千米时，剩余电量降至15千瓦时．
【答案】（1）A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；（2）千瓦时；（3）190．
【解答】解：（1）由图象可知，A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；
（2）（35﹣10）÷（200﹣150）＝0.5当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是＝千瓦时；
（3）（千米），150+40＝190（千米）．
答：当汽车已行驶190千米时，蓄电池的剩余电量为15千瓦时．
26．（1）如图，CD，CE分别是△ABC的高和中线，AC＝5cm，BC＝12cm，AB＝13cm，∠ACB＝90°．求：
①CD的长；
②△BCE与△ACE的周长差；
（2）阅读理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
又∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．
方法应用：
①a2+4a+b2＝﹣4，则a＝ ﹣2 ，b＝ 0 ；
②已知x+y＝10，xy﹣m2﹣6m＝34，求（x﹣y）m的值．
【答案】（1）①CD＝；②△BCE与△ACE的周长差为7；
（2）①﹣2，0；②．
【解答】解：（1）①由题可知：AC＝5、BC＝12、AB＝13，
∴根据等面积法可得，CD＝；
②△BCE的周长＝BC+CE+EB，△ACE的周长＝AC+CE+AE，且AE为中线，
∴△BCE与△ACE的周长差＝BC+CE+EB﹣（AC+CE+AE）＝BC+CE+EB﹣AC﹣CE﹣AE＝BC﹣AC＝12﹣5＝7；
（2）①将原式进行移项和配方可得：（a+2）2+（b+0）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝0；
故答案为：﹣2，0．
②由题可得：x+y＝10，
∴x＝10﹣y，
∴（10﹣y）y﹣m2﹣6m﹣34＝0，
配方可得：（m+3）2+（y﹣5）2＝0，
∴m＝﹣3，y＝5，x＝5；
∴＝＝＝．
27．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数
【答案】（1）90°；（2）96°；（3）50°．
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝32°，
∴∠MGK＝∠BMG＝32°，
∵MG平分∠BMP，
∴∠GMP＝∠BMG＝32°，
∴∠BMP＝64°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝2∠BMG＝64°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥GK，
∴∠QPN＝∠DNP＝∠KGN＝α，
∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝32°+α，∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝64°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝32°+α+64°﹣α＝96°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠AME＝2x，
∵CD∥AB，AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB，AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠MGN＝105°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
28．已知直线PQ∥MN．
（1）如图1，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，求∠ACB的度数；
（2）在（1）的条件下，G为直线MN上一动点（不与点A重合），BD平分∠GBA，交MN于点D，试探究∠CBD与∠BGA的数量关系并证明；
（3）如图2，当点C位于PQ上，∠BCA＝90°且AB⊥PQ于点K，∠CEM＝60°，在△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，设旋转时间为t，当BK与△ACK的一边平行时，直接写出此时t的值．
【答案】（1）∠ACB＝90°；
（2）∠CBD与∠BGA的数量关系为：∠BGA＝2∠CBD或∠BGA＝180°﹣2∠CBD；
（3）当旋转时间为3s或9s或18s或21s或27s时，BK与△ACK的一边平行．
【解答】解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠PBA+∠MAB＝180°，
∵BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，
∴∠CBA+∠CAB＝（∠PBA+∠MAB）＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝90°；
（2）由题意可分三种情况讨论：
①如图，BG在∠CBA左侧，则：
∠CBD＝∠GBD﹣∠GBC
＝∠GBD﹣（∠PBA﹣∠BGD）
＝∠GBD﹣∠PBA+∠BGD，
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB﹣∠PBA+∠BGD
＝90°+∠BGD﹣（∠GAB+∠PBA）
＝∠BGD，
∴∠BGA＝2∠CBD；
②如图，BG在∠CBA内部，则：
∠CBD＝∠GBD+∠GBC
＝∠GBD+（∠BGD﹣∠PBA）
＝∠GBD+∠BGD﹣∠PBA，
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB﹣∠PBA+∠BGD
＝90°+∠BGD﹣（∠GAB+∠PBA）
＝∠BGD，
∴∠BGA＝2∠CBD；
③如图，BG在∠CBA右侧，则：
∠CBD＝180°﹣（∠GBD+∠GBQ+∠PBA）
＝180°﹣（∠GBD+∠BGD+∠PBA）
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝180°﹣（90°﹣∠BGD﹣∠GAB+∠BGD+∠PBA）
＝180°﹣（90°+∠BGD+∠PBA﹣∠GAB）
＝180°﹣（90°+90°﹣∠ABG﹣∠GAB）
＝（∠ABG+∠GAB）
＝（180°﹣∠BGA），
∴∠BGA＝180°﹣2∠CBD；
综上，∠CBD与∠BGA的数量关系为：∠BGA＝2∠CBD或∠BGA＝180°﹣2∠CBD．
（3）如图，可以画出△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，BK与△ACK的一边平行的所有情况，
①△BCK旋转到△DCL处，DL∥CA，此时旋转角＝∠BCK＝30°，t＝30÷10＝3s，
②△BCK旋转到△FCO处，FO∥CK，此时旋转角＝∠OCK＝90°，t＝90÷10＝9s，
③△BCK旋转到△GCW处，WG∥KA，此时旋转角＝∠WCK＝180°，t＝180÷10＝18s，
④△BCK旋转到△HCR处，HR∥CA，此时旋转角＝∠GCW+∠WCK＝180°+30°＝210°，t＝210÷10＝21s，
⑤△BCK旋转到△TCS处，ST∥CK，此时旋转角＝∠SCW+∠WCK＝180°+90°＝270°，t＝270÷10＝27s，
⑥△BCK再旋转90°，此时BK回到原处，与AK在同一直线，不算平行，
综上所述，当旋转时间为3s或9s或18s或21s或27s时，BK与△ACK的一边平行．
29．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．
（1）如图1，当AB＝AD时
①请直接写出BF与DF的数量关系：BF ＝ DF（填“＞”、“＜”、“＝”）
②求证：CE＝2AF
（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）①＝；
②证明见解答过程；
（2）成立，证明见解答过程．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD，
∴AC＝AE，
∵AH⊥CE，
∴∠CAH＝∠EAH，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAF，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，
故答案为：＝；
②∵AC＝AE，AH⊥CE，
∴CH＝EH＝CE，
∴CE＝2CH，
∵∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，
∴∠BAF＝∠ACH，
∵△BAF≌△DAF，
∴∠AFB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFB＝∠CHA，
在△AFB和△CHA中，
，
∴△AFB≌△CHA（AAS），
∴AF＝CH，
∴CE＝2AF；
（2）成立，证明如下：
作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N，
∴∠BMA＝∠N＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°，
∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH，
∵AH⊥CE，
∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°，
在△AMB和△CHA中，
，
∴△AMB≌△CHA（AAS），
∴MB＝AH，
同理可证△AND≌△EHA（AAS），
∴DN＝AH，
∴BM＝DN，
在△BMF和△DNF中，
，
∴△BMF≌△DNF（AAS），
∴BF＝DF，MF＝NF，
∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF，
∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF，
∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，
∴AM＝CH，AN＝EH，
∴CH+EH＝AM+AN＝2AF，
∵CE＝CH+EH，
∴CE＝2AF，
即BF＝DF，CE＝2AF．
30．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．
（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥MN．
∵MN∥GH．
∴PE∥MN∥GH．
∵PB平分∠DBA．
∴∠DBP＝∠MBA＝40°．
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝∠DBP＝40°（两直线平行，内错角相等）．
同理可证．．
∴∠BPC＝40°+25°＝65°．
（2）如图2，过点P作PE∥MN．
∵∠MBA＝80°．
∴∠DBA＝180°﹣80°＝100°．
∵BP平分∠DBA．
∴．
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝180°﹣∠DBP＝130°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵PC平分∠DCA．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BPC＝130°+25°＝155°．
（3）如图3，过点P作PE∥MN．
∵BP平分∠DBA．
∴∠DBP＝40°＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）．
∴CP平分∠DCA．∠DCA＝180°﹣∠DCG＝130°．
∴．
∴∠CPE＝180°﹣∠PCA＝115°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠BPC＝40°+115°＝155°；
如图4，同理得：∠ACF＝∠GCP＝65°，∠PEC＝∠DBP＝40°，
∴∠BPC＝∠GCP﹣∠PEC＝65°﹣40°＝25°；
如图5，∠AOC＝∠HAO﹣∠HCO＝80°﹣65°＝15°＝∠BOP，
∴∠BPC＝∠EBP﹣∠BOP＝40°﹣15°＝25°；
综上，∠BPC的度数为25°或155°．
31．阅读理解并完成下面问题：
我们知道，任意一个正整数c都可以进行这样的因式分解：c＝p×q（p，q是正整数），在c的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是c的最佳分解．并规定：F（c）＝（其中p≤q）．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为|1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数，若m是一个完全平方数，求F（m）的值；
（2）如果一个两位正整数t，交换其个位数字与十位数字得到的新两位数减去原数所得的差为18，那么我们称这个两位正整数t为“吉祥数”，求符合条件的所有“吉祥数”；
（3）在（2）中的所有“吉祥数”中，求F（t）的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵m是完全平方数
∴m＝p×q且p＝q
∴F（m）＝＝1；
（2）设正整数为：10x+y，则t′＝10y+x，
∵10y+x﹣（10x+y）＝18，
则9y﹣9x＝18，
故（y﹣x）＝2．
∴t可取13，24，35，46，57，68，79；
（3）由（2）得．
∴，，，，，，．
∵．
∴F（t）的最小值为．
32．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ．
（2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；
（3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC＝8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
（2）29．
（3）6．
【解答】（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即a2+b2，
也可表示为边长是a+b的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab．
∴等量关系为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
（2）∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29．
（3）设AC＝x，BC＝y，
∵AC+BC＝8，S1+S2＝40，
∴，
∴xy＝＝（82﹣40）＝12．
∴阴影部分的面积为xy＝6．
33．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝ ∠EAB ，∠C＝ ∠DAC ．
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
深化拓展：（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，DE平分∠ADC，点B是直线AB上的一个动点（不与点A重合），AB＜CD，BE平分∠ABC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．若∠ABC＝n°，请你直接写出∠BED的度数．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）∠EAB，∠DAC；
（2）360°；
（3）30°+n°或210°﹣n°．
【解答】解：（1）∵ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
故答案为：∠EAB，∠DAC；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+n°；
如图4，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+30°＝210°﹣n°．
34．珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．
（1）填空：∠BAN＝ 60 °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若两灯发出的射线AC与BC交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）60；（2）当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）见解析．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，
∴∠BAN＝180°×＝60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）结论：∠BAC＝2∠BCD．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
35．某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果校长买全票一张，则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”．若全票价为240元．
（1）设学生数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式．
（2）哪家旅行社收费更优惠？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y甲＝240+120x；y乙＝240×60%（x+1）；
（2）分三种情况讨论：即两家都一样；甲更优惠；乙更优惠
240+120x＝240×60%（x+1）
解得x＝4，
当x＞4时，y乙＞y甲，
当x＜4时，y乙＜y甲
所以当有4名学生时，两家都可以；
当大于4名时，甲比较划算；
当小于4名时，乙比较划算．
36．已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
（2）若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为 2m° ．
（3）由（1）和（2），我们发现∠MOC和∠BON之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝62°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°，
（2）如图1，∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣m°＝（90﹣m）°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝（90﹣m）°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣（90﹣m）°×2＝2m°，
故答案为：2m°；
（3）由（1）和（2）可得：∠BON＝2∠MOC；
（4）∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化，
如图2，∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，
即：∴∠BON＝2∠MOC．
37．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是 1＜AD＜7 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由见解析过程；
（3）EF＝2AD，理由见解析过程．
【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
38．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝25°，∠EDG＝45°，则∠AED＝ 70° ．
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，当点E在FG延长线上时，DP平分∠EDC，且∠EAP：∠BAP＝1：2，∠AED＝32°，∠P＝30°，求∠EKD的度数．
【答案】（1）70°．
（2）见解析；
（3）122°．
【解答】解：（1）过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠EAF＝∠AEH＝25°，∠EAG＝∠DEH＝45°，
∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝70°，
故答案为：70°；
（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．
理由如下：
过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠EAF+∠MEH＝180°，∠EDG+∠AED+MEH＝180°，
∴∠EAF＝180°﹣∠MEH，∠EDG+∠AED＝180°﹣MEH，
∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）∵∠EAP：∠BAP＝1：2，
设∠EAP＝x，则∠BAE＝3x，
∵∠AED﹣∠P＝32°﹣30°＝2°，∠DKE＝∠AKP，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAP+∠KPA+∠AKP＝180°，
∴∠EDK＝∠EAP﹣2°＝x﹣2°，
∵DP平分∠EDC，
∴∠CDE＝2∠EDK＝2x﹣4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，
即3x＝32°+2x﹣4°，解得x＝28°，
∴∠EDK＝28°﹣2°＝26°，
∴∠EKD＝180°﹣26°﹣32°＝122°．
39．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH＝AC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM＝EM；
（3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC＝5CM，请求出的值．
【答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程；（3）的值为或．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AE，EH⊥AC，
∴∠AHE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，
∴∠EAH＝∠ADC，
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠AHE＝90°，
∴△AHE≌△DCA（AAS），
∴EH＝AC；
（2）证明：如图2，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，
∵AD⊥AE，EN⊥AM，
∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAN＝90°，
∴∠EAN＝∠ADC，
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠ANE＝90°，
∴△ANE≌△DCA（AAS），
∴EN＝AC，
∵BC＝AC，
∴BC＝NE，
又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°，
∴△BCM≌△ENM（AAS），
∴BM＝EM；
（3）解：①当点D在线段BC上时，如图，
∵2AC＝5CM，
∴设CM＝2a，AC＝5a，
由（1）得：△AHE≌△DCA，
∴AH＝DC，EH＝AC＝5a，
∵AC＝BC＝5a，
∴BC＝EH＝5a，
又∵∠BMC＝∠EMH，∠BCM＝∠EHM＝90°，
∴△BCM≌△EHM（AAS），
∴HM＝CM＝2a，
∴AH＝AC﹣CM﹣HM＝a，
∴AM＝AH+HM＝3a，BD＝BC﹣CD＝4a，
∴＝；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，
由图可得：AC＜CM，2AC＝5CM不可能，
∴此情况不存在；
③当点D在CB延长线上时，如图，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，
∵2AC＝5CM，
∴设CM＝2a，AC＝5a，
∵AD⊥AE，EN⊥AM，
∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAN＝90°，
∴∠EAN＝∠ADC，
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠ANE＝90°，
∴△ANE≌△DCA（AAS），
∴EN＝AC，
∵BC＝AC，
∴BC＝NE，
又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°，
∴△BCM≌△ENM（AAS），
∴CM＝MN＝2a，BC＝NE＝AC＝5a，
∴AN＝AC+CM+MN＝9a，AM＝AC+CM＝7a，
∵△ANE≌△DCA，
∴AN＝CD＝9a，
∴BD＝4a，
∴＝．
综上，的值为或．
40．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；
①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．
（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明．
【答案】（1）见解答；
（2）①32°；
②∠C+∠A＝2∠P；
（3）∠A+3∠C+4∠P＝180°．
【解答】解：（1）设AD与BC的交点为点O，
则∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）①由（1）得：∠P+∠PBC＝∠CDP+∠C，∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，
两式相加得：2∠P+∠PBC+∠ADP＝∠A+∠C+∠CDP+∠ABP，
∵BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠PBC＝∠ABP，∠ADP＝∠CDP，
∴∠C+∠A＝2∠P，
∴∠P＝（∠A+∠C）＝32°；
②由①可得：∠C+∠A＝2∠P；
（3）由（1）得：∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，
∴∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，
∴+∠CBQ＝∠C+45°﹣∠EDP，
设AD与PQ的交点为点O，则∠CBQ+∠BOD＝∠C+∠ADC，
两式相减可得：∠BOD﹣∠A＝∠C+∠ADC+∠EDP﹣45°，
∴∠BOD﹣∠A＝∠C+180°﹣∠ADP﹣45°，
∴45°﹣∠A＝∠C+180°﹣∠ADP﹣∠BOD，
∵∠P＝180°﹣∠BOD﹣∠ADP，
∴45°﹣∠A＝∠C+∠P，
即∠A+3∠C+4∠P＝180°．
41．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
42．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点
A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
（1）求证：△ADC≌△BEC．
（2）求∠AEB的度数．
（3）试探究线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）解：∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝135°，
∵△ADC≌△BEC，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°；
（3）解：AE＝2CM+BE，
理由如下：∵△ADC≌△BEC，
∴BE＝AD，
∵△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
43．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝2，CF＝6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）21；
（2）﹣5；
（3）阴影部分的面积为112．
【解答】解：（1）设7﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝7﹣x+x﹣2＝5，
∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝21；
（2）设n﹣2021＝a，n﹣2022＝b，
则（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝a2+b2＝11，a﹣b＝（n﹣2021）﹣（n﹣2022）＝1，
（n﹣2021）（2022﹣n）＝﹣（n﹣2021）（n﹣2022）
＝﹣ab
＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）]
＝
＝﹣5；
（3）根据题意可得，
MF＝x﹣2，FD＝x﹣6，（x﹣2）（x﹣6）＝192，
设x﹣2＝a，x﹣6＝b，
则（x﹣2）（x﹣6）＝ab＝192，
a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4，
S阴＝（x﹣2）2﹣（x﹣6）2
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝（a﹣b）
＝×4
＝28×4
＝112．
阴影部分的面积为112．
44．如图1，在△ABC中，AB＝AC，E为BC上的一点，在AE的右侧作△AEF，使得AE＝AF，∠EAF＝∠BAC，连接FC并延长交AB的延长线于点D，∠D＝45°．
（1）求∠ABC的度数．
（2）如图2，若点E在BC的延长线上，当AC＝CE时，求证：FC平分∠AFE．
（3）如图3，△ABC的形状和大小保持不变，若点E在直线BC上（不与点C重合），射线AC与直线EF相交于点M，则当△AFM是等腰三角形时，求∠AEC的度数．
【答案】（1）75°；
（2）证明见解析部分；
（3）30°或52.5°或37.5°．
【解答】（1）解：如图1中，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ACF，
∵∠BAC+2∠ABC＝180°，∠BCD+2∠ACB＝180°，
∴∠BCD＝∠BAC，
设∠BCD＝∠BAC＝x，则∠ABC＝∠ACB＝∠D+∠BCD＝45°+x，
∴x+2（45°+x）＝180°，
∴x＝30°，
∴∠ABC＝75°；
（2）证明：如图2中，
同法可证△BAE≌△CAF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∵∠ACB＝∠CAE+∠CEA＝75°，
∴∠CEA＝∠AFC＝37.5°，
∵∠AFE＝75°，
∴∠CFE＝37.5°，
∴∠AFC＝∠CFE＝37.5°，
∴CF平分∠AFE；
（3）解：如图3﹣1中，当AM＝MF时，
∴∠MAF＝∠MFA＝75°，
∵∠ACB＝75°，
∴∠ACB＝∠MAF，
∴AF⊥BE，
∴∠AEC＝∠EAF＝30°；
如图3﹣2中，当FA＝FM时，
∴∠FAM＝∠M＝52.5°，
∴∠EAC＝52.5°﹣30°＝22.5°，
∴∠AEC＝∠ACB﹣∠CAE＝52.5°．
如图3﹣3中，当FA＝FM时，∠FAM＝∠M＝37.5°，
∴∠EAC＝30°+37.5°＝67.5°，
∴∠AEC＝180°﹣67.5°﹣75°＝37.5°．
综上所述，满足条件的∠AEC的度数为30°或52.5°或37.5°．
45．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
（1）如图，当点D在边BC上时，求证：①△ABD≌△ACE，②AC＝CE+CD；
（2）当点D不在边BC上时，其他条件不变，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．
【答案】（1）①②证明见解答过程；
（2）点D在边BC的延长线上，AC＝CE﹣CD；点D在边CB的延长线上，AC＝CD﹣CE．
【解答】（1）证明：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵BC＝BD+CD，AC＝BC，
∴AC＝CE+CD；
（2）解：如图2，当点D在边BC的延长线上时，AC＝CE﹣CD，
理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC＝AC，
∴AC＝CE﹣CD；
如图3，当点D在边CB的延长线上时，AC＝CD﹣CE，
理由如下：同（2）的方法可证，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
∵BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE，
∴AC＝CD﹣CE，
综上所述，点D在边BC的延长线上，AC＝CE﹣CD；点D在边CB的延长线上，AC＝CD﹣CE．
46．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，MN⊥PQ，若∠BAO＝30°，∠BAO与∠ABO的角平分线相交于点E，∠AEB的度数为 135° ，
（2）如图2，MN⊥PQ，∠BAP与∠ABM的角平分线相交于点E，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（3）如图3，若∠MOQ＜90°，∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于点E，延长BA至点G，∠OAG的角平分线与射线EO相交于点F，点A、B在运动的过程中，试探索∠F与∠ABO之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）135°；（2）不会发生变化，∠AEB＝45°；（3）∠ABO+∠F＝90°．
【解答】解：（1）∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
故答案为：135°．
（2）不会发生变化．
∵∠BAP与∠ABM的角平分线相交于点E，
∴∠EAB＝∠PAB，∠EBA＝∠MBA，
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠PAB＝∠ABO+∠AOB＝90°+∠ABO，∠MBA＝∠BAO+∠AOB＝90°+∠BAO，
∴∠EAB+∠EBA＝（90°+∠ABO+90°+∠BAO）＝90°+（∠ABO+∠BAO），
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°+45°＝135°，
∴∠AEB＝180°﹣135°＝45°．
（3）∠ABO+∠F＝90°．如图：
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于点E，
∴∠1＝∠BAO，∠2＝∠BOQ，
由外角的性质可得：∠ABO＝∠BOQ﹣∠BAO，∠E＝∠2﹣∠1，
∴∠E＝∠ABO．
∵AE平分∠BAO，AF平分∠GAO，
∴∠EAF＝90°，
∴∠E+∠F＝90°，即∠ABO+∠F＝90°．
47．已知：AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①若∠4＝36°，求∠2的度数；
②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试探究∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4＝36°；
②位置关系是：EM∥FN．理由：
由①知，∠1＝∠3＝∠2＝∠4，
∴∠MEF＝∠EFN＝180°﹣2∠1，
∴∠MEF＝∠EFN
∴EM∥FN（内错角相等，两直线平行）
（2）关系是：∠EFD＝2∠GEH．理由：
∵EG平分∠MEF，
∴∠MEG＝∠GEH+∠HEF①
∵EH平分∠AEM，
∴∠MEG+∠GEH＝∠AEF+∠HEF②
由①②可得：
∴∠AEF＝2∠GEH，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GEH．
48．如图，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．
（1）写出∠EDC的度数 40° ；
（2）试求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；
（3）将线段BC向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请画出图形并直接写出∠BED的度数（用含n的代数式表示）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝80°，
∴∠EDC＝∠ADC＝×80°＝40°；
故答案为：40°；
（2）如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝40°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝n°+40°；
（3）过点E作EF∥AB，
如图，点A在点B的左边时，
若点E在直线l1和l2之间，则
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝40°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEF＝40°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+40°＝220°﹣n°．
综上所述，∠BED的度数变化，度数为220°﹣n°．
49．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CEA中，，
∴△ABD≌△CEA（AAS），
∴S△ABD＝S△CEA，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，
∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ACF＝CF•h，
∵BC＝2CF，
∴S△ACF＝6，
∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6，
∴△ABD与△CEF的面积之和为6．
50．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ 4 ；
（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2
故答案为：4；
（2）M＝+2a+1
＝（a2+8a+16）﹣3
＝（a+4）2﹣3
∴M的最小值为﹣3
（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0
∴a＝b＝1，，
∴．
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一．选择题（共7小题）
1．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（ ）
A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°
【答案】B
【解答】解：∵∠DEB＝m°，
∴∠AEC＝∠DEB＝m°，
∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，
∴30°+m°＝45°+∠AOC，
∴∠AOC＝（m﹣15）°，
故选：B．
2．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝n°，则下列结论：①∠COE＝90°﹣n°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABO＝n°，
∴∠ABO＝∠BOD＝n°，
∵OE平分∠BOC，∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠COE＝（180﹣n）°，故①正确；
∵OF⊥OE，OP⊥CD，OE平分∠BOC，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，∠EOC+∠EOP＝90°，∠EOC＝∠EOB，∠EOC+∠DOF＝90°，
∴∠POE＝∠BOF，∠BOF＝∠DOF，故③正确；
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠BOD，
∴∠ABO＝2∠DOF，
而题目中不能得到∠ABO＝∠POB，故④错误．
故选：A．
3．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF、CE，且∠FBD＝35°，∠BDF＝75°，下列说法：①△BDF≌CDE；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④∠DEC＝70°，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积，
在△BDF和△CDE中，，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故①②正确
∴∠F＝∠CED，∠DEC＝∠F，
∴BF∥CE，故③正确，
∵∠FBD＝35°，∠BDF＝75°，
∴∠F＝180°﹣35°﹣75°＝70°，
∴∠DEC＝70°，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④4个．
故选：D．
4．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用图2所得到的数学等式是（ ）
A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2
B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
C．（a+b+c）2＝a2+b2+b2+ab+ac+bc
D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c
【答案】B
【解答】解：∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故选：B．
5．如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于E、F两点，作∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K；作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1；依此类推，作∠BEK1、∠DFK2的平分线相交于点K2，…，作∠BEKn﹣1、∠DFKn﹣1的平分线相交于点Kn，则∠Kn的与∠K的关系为（ ）
A．∠Kn＝∠KB．∠Kn＝∠K
C．∠Kn＝∠KD．∠Kn＝∠K
【答案】A
【解答】解：如图，过K作KG∥AB，可得KG∥CD，
∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，
∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，
∵AB∥CD，
∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠DFK）＝180°，
∴∠BEK+∠DFK＝90°，
则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；
∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，
∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，
∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠KEK1+∠KFK1＝45°，
∴∠K1＝180°﹣（∠KEF+∠EFK）﹣（∠KEK1+∠KFK1）＝×90°＝45°，
归纳总结得：∠Kn＝×90°＝∠EKF．
故选：A．
6．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224B．180C．112D．48
【答案】C
【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
故选：C．
7．如图，△ABC中，∠A＝α°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠A1＝α，
∴∠A1＝α°，
同理可得∠A1＝2∠A2，
即∠A＝22∠A2＝α°，
∴∠A2＝α°，
∴∠A＝2n∠An，
∴∠An＝α°•（）n＝（）°．
故选：C．
二．填空题（共17小题）
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠ACB＝84°，且BD＝DA，则∠E＝ 26 °．（补充知识：等腰三角形两底角相等．）
【答案】26．
【解答】解：∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠B，
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ACB＝84°，
∴∠B+2∠B+84°＝180°，
解得∠B＝32°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∴∠ADC＝64°，
∵PE⊥AD交BC的延长线于点E．
∴∠E+∠ADC＝90°，
解得∠E＝26°．
故答案为26．
9．如图1，点P从△ABC的顶点出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AC边上的高长为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：由图1看到，点P从B运动到A的过程中，y＝BP先从0开始增大，到达点C时达到最大，对应图2可得此时y＝5，即BC＝5；
点P从C运动到A的过程中，y＝BP先减小，到达BP⊥AC时达到最小，对应图2可得此时BP＝4；
而后BP又开始增大，到达点A时达到最大y＝5，即BA＝5，所以△ABC为等腰三角形．
由图形和图象可得BC＝BA＝5，BP⊥AC时，BP＝4，
过点B作BD⊥AC于D，则BD＝4．
故AC边上的高长为4．
故答案为：4．
10．如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 72 °．
【答案】72．
【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°．
故答案为：72．
11．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）；
请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 ﹣4034 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x﹣）2017展开式中含x2015项的系数，
由（x﹣）2017＝x2017﹣2017•x2016•（）+…
可知，展开式中第二项为﹣2017•x2016•（）＝﹣4034x2015，
∴（x﹣）2017展开式中含x2015项的系数是﹣4034，
故答案为：﹣4034．
12．如图①是长方形纸带，∠CFE＝55°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是 15° ．
【答案】15°．
【解答】解：∵AD∥BC，∠CFE＝55°，
∴∠AEF＝∠CFE＝55°，∠DEF＝125°，
∴图②中的∠GEF＝55°，∠DEG＝180°﹣2×55°＝70°，
∴图③中∠GEF＝55°，∠DEF＝70°﹣55°＝15°．
故答案为：15°
13．图①是一个长为a，宽为b的长方形，以此小长方形按图②拼成的一个大正方形和一小正方形，设小正方形ABCD的面积为S1，大正方形EFGH的面积为S2，小长方形的面积为S3．若S1＝S3，且S1+S2＝22，则S1＝ 3 ．
【答案】3．
【解答】解：由图可得：大正方形EFGH的面积＝小正方形ABCD的面积+4×小长方形的面积，即S2＝S1+4S3，
∵S1＝S3，
∴S3＝S1，
∵S1+S2＝22，
∴S2＝22﹣S1，
∴22﹣S1＝S1+4×S1，
解得S1＝3．
故答案为：3．
14．如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝PA，过点P作PE⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵PF∥BQ，
∴∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
∵在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
∴DE＝AC，
∵AC＝10，
∴DE＝AC＝5．
故答案为：5．
15．如图，将△ABC沿直线AC翻折得到△ADC，连接BD交AC于点E，AF为△ACD的中线，若BE＝2，AE＝3，△AFC的面积为2，则CE ＝1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵AF为△ACD的中线，△AFC的面积为2，
∴S△ACD＝2S△AFC＝4，
∵△ABC沿直线AC翻折得到△ADC，
∴S△ABC＝S△ADC，BD⊥AC，BE＝ED，
∴S四边形ABCD＝8，
∴，
∵BE＝2，AE＝3，
∴BD＝4，
∴AC＝4，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣3＝1．
故答案为1．
16．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P是△OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S△ABP＝S△DCP；⑤PM＝CD．其中正确的是 ①③④⑤ ．（填序号）
【答案】①③④⑤．
【解答】解：∵AC⊥BD，点P是△OCD角平分线的交点，
∴∠DOC＝90°，∠CDP＝∠CDO，∠DCP＝∠DCO，
∴∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠CDP+∠DCP＝×90°＝45°，
∴∠CPD＝180°﹣（∠CDP+∠DCP）＝135°，
故①正确；
∵点P是△OCD角平分线的交点，
∴∠DCP＝∠ACP，∠CDP＝∠BDP，
在△ACP和△DCP中，
，
∴△ACP≌△DCP（SAS），
∴AP＝DP，∠CAP＝∠CDP＝∠BDP，∠APC＝∠DPC＝135°，
∴∠DPA＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴△APD是等腰直角三角形，
在△PAC和△PDB中，
，
∴△PAC≌△PDB（SAS），
故③正确；
∵△PAC≌△PDB，
∴∠DPB＝∠APC＝135°，PB＝PC，
∴∠BPC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴△BPC是等腰直角三角形，找不到BA＝BP的证据，故②错误；
过点A作AN∥BP交PM的延长线于点N，
∴∠N＝∠BPM，∠PAN+APB＝180°，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM，
在△AMN和△BMP中，
，
∴△AMN≌△BMP（AAS），
∴MN＝MP＝PN，AN＝PB＝PC，S△AMN＝S△BMP，
∵∠DPA＝∠BPC＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠PAN+APB＝180°，
∴∠PAN＝∠DPC，
又∵AP＝DP，AN＝PC，
∴△APN≌△PDC（SAS），
∴PN＝CD＝2PM，
即PM＝CD，
故⑤正确；
∵△AMN≌△BMP，△APN≌△PDC，
S△APN＝S△PDC，S△AMN＝S△BMP，
∴S△ABP＝S△APM+S△BPM＝S△APM+S△AMN＝S△APN，
∴S△ABP＝S△DCP，
故④正确；
故答案为：①③④⑤．
17．已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与时间t（秒）之间的关系如图乙中的图象所示．其中AB＝6cm．当t＝ 2.5或14.5 时，△ABP的面积是15cm2．
【答案】2.5或14.5．
【解答】解：动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：BC＝2cm/秒×4秒＝8（cm）；
动点P在CD上运动时，对应的时间为4到6秒，易得：CD＝2cm/秒×（6﹣4）秒＝4（cm）；
动点P在DF上运动时，对应的时间为6到9秒，易得：DE＝2cm/秒×（9﹣6）秒＝6（cm），
故图甲中的BC长是8cm，DE＝6cm，EF＝6﹣4＝2（cm）
∴AF＝BC+DE＝8+6＝14（cm），
∴b＝9+（EF+AF）÷2＝17，
∴或，
解得t＝2.5或14.5．
故答案为：2.5或14.5．
18．甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地，甲、乙两人行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则在返回途中二人相遇时离A地的距离是 5 千米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：乙上坡的速度是：6÷＝10千米/小时，下坡的速度是：10÷（﹣）＝20千米/小时．
甲的速度是：16÷＝12千米/小时，
上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设x小时乙追上甲．
则有：12x＝10+20（x﹣1），
x＝，
此时离A地距离＝12×﹣10＝5（千米）．
故答案为5．
19．如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：
①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正确的结论有 ①③④ （将所有正确答案的序号填写在横线上）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝ACD，
∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，
∴∠EBC+∠BEC＝（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC+BAC，
∴∠BEC＝∠BAC，故①正确；
∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．
③BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE＝∠GEB，
∴∠ABE＝∠GEB，
∴BG＝GE，
同理CH＝HE，
∴BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH，
故③正确．
④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝ED，
∵CE平分∠ACD，
∴EN＝ED，
∴EN＝EM，
∴AE平分∠CAM，
设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，
则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，
∴x+z＝y+90°，
∵z＝y+∠AEB，
∴x+y+∠AEB＝y+90°，
∴x+∠AEB＝90°，
即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；
故答案为：①③④．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点B运动；点Q从点B出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒．当t＝ 1或者3.5或12 秒时，△PEC与△QFC全等．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：由于PE⊥l，QF⊥l，∠ACB＝90°，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，∠CPE＝∠QCF，
t秒时，CQ＝16﹣6t，PC＝12﹣2t，当CQ＝PC时，即16﹣6t＝12﹣2t，解得，t＝1．运动时间为1秒时，△PEC与△QFC满足“AAS”全等．
（2）如图所示，t秒时，CQ＝6t﹣16，PC＝12﹣2t，当CQ＝PC时，即6t﹣16＝12﹣2t，解得，t＝3.5．运动时间为3.5秒时，△PEC与△QFC重合，两个三角形全等．
（3）当Q到达终点A，CP＝AC时，也满足条件，即2t＝24，t＝12
故答案为：1或者3.5或12．
21．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 ①②④ ．（填序号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴①正确．
②∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴②正确．
③∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD．
∴③错误．
④由②得AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④正确．
故答案为：①②④．
22．如图，对面积为s的△ABC逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；
第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；
…；
按此规律继续下去，可得到△AnBn∁n，则其面积Sn＝ 19n•S ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接A1C；
S△AA1C＝3S△ABC＝3S，
S△AA1C1＝2S△AA1C＝6S，
所以S△A1B1C1＝6S×3+1S＝19S；
同理得S△A2B2C2＝19S×19＝361S；
S△A3B3C3＝361S×19＝6859S，
S△A4B4C4＝6859S×19＝130321S，
S△A5B5C5＝130321S×19＝2476099S，
从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到△AnBn∁n，
则其面积Sn＝19n•S．
23．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b＝10，ab＝12，图中阴影部分的面积为 32 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，
将ab＝12代入得：a2+b2+24＝100，即a2+b2＝76，
则两个正方形面积之和为76；
如图，S阴影＝S两正方形﹣S△ABD﹣S△BFG＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝×（76﹣12）＝32．
故答案为：32．
24．若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015＝1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2＝1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为 510 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2＝1510，
∵m1，m2，…，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，
∴m1，m2，…，m2015中为1的个数是2015﹣1510＝505，
∵m1+m2+…+m2015＝1525，
∴2的个数为（1525﹣505）÷2＝510个．
故答案为：510．
三．解答题（共26小题）
25．新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护，如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）之间关系的图象．
（1）图中点A表示的实际意义是什么？
（2）当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量多少？
（3）求行驶多少千米时，剩余电量降至15千瓦时．
【答案】（1）A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；（2）千瓦时；（3）190．
【解答】解：（1）由图象可知，A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；
（2）（35﹣10）÷（200﹣150）＝0.5当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是＝千瓦时；
（3）（千米），150+40＝190（千米）．
答：当汽车已行驶190千米时，蓄电池的剩余电量为15千瓦时．
26．（1）如图，CD，CE分别是△ABC的高和中线，AC＝5cm，BC＝12cm，AB＝13cm，∠ACB＝90°．求：
①CD的长；
②△BCE与△ACE的周长差；
（2）阅读理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
又∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．
方法应用：
①a2+4a+b2＝﹣4，则a＝ ﹣2 ，b＝ 0 ；
②已知x+y＝10，xy﹣m2﹣6m＝34，求（x﹣y）m的值．
【答案】（1）①CD＝；②△BCE与△ACE的周长差为7；
（2）①﹣2，0；②．
【解答】解：（1）①由题可知：AC＝5、BC＝12、AB＝13，
∴根据等面积法可得，CD＝；
②△BCE的周长＝BC+CE+EB，△ACE的周长＝AC+CE+AE，且AE为中线，
∴△BCE与△ACE的周长差＝BC+CE+EB﹣（AC+CE+AE）＝BC+CE+EB﹣AC﹣CE﹣AE＝BC﹣AC＝12﹣5＝7；
（2）①将原式进行移项和配方可得：（a+2）2+（b+0）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝0；
故答案为：﹣2，0．
②由题可得：x+y＝10，
∴x＝10﹣y，
∴（10﹣y）y﹣m2﹣6m﹣34＝0，
配方可得：（m+3）2+（y﹣5）2＝0，
∴m＝﹣3，y＝5，x＝5；
∴＝＝＝．
27．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数
【答案】（1）90°；（2）96°；（3）50°．
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝32°，
∴∠MGK＝∠BMG＝32°，
∵MG平分∠BMP，
∴∠GMP＝∠BMG＝32°，
∴∠BMP＝64°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝2∠BMG＝64°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥GK，
∴∠QPN＝∠DNP＝∠KGN＝α，
∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝32°+α，∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝64°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝32°+α+64°﹣α＝96°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠AME＝2x，
∵CD∥AB，AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB，AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠MGN＝105°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
28．已知直线PQ∥MN．
（1）如图1，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，求∠ACB的度数；
（2）在（1）的条件下，G为直线MN上一动点（不与点A重合），BD平分∠GBA，交MN于点D，试探究∠CBD与∠BGA的数量关系并证明；
（3）如图2，当点C位于PQ上，∠BCA＝90°且AB⊥PQ于点K，∠CEM＝60°，在△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，设旋转时间为t，当BK与△ACK的一边平行时，直接写出此时t的值．
【答案】（1）∠ACB＝90°；
（2）∠CBD与∠BGA的数量关系为：∠BGA＝2∠CBD或∠BGA＝180°﹣2∠CBD；
（3）当旋转时间为3s或9s或18s或21s或27s时，BK与△ACK的一边平行．
【解答】解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠PBA+∠MAB＝180°，
∵BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，
∴∠CBA+∠CAB＝（∠PBA+∠MAB）＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝90°；
（2）由题意可分三种情况讨论：
①如图，BG在∠CBA左侧，则：
∠CBD＝∠GBD﹣∠GBC
＝∠GBD﹣（∠PBA﹣∠BGD）
＝∠GBD﹣∠PBA+∠BGD，
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB﹣∠PBA+∠BGD
＝90°+∠BGD﹣（∠GAB+∠PBA）
＝∠BGD，
∴∠BGA＝2∠CBD；
②如图，BG在∠CBA内部，则：
∠CBD＝∠GBD+∠GBC
＝∠GBD+（∠BGD﹣∠PBA）
＝∠GBD+∠BGD﹣∠PBA，
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB﹣∠PBA+∠BGD
＝90°+∠BGD﹣（∠GAB+∠PBA）
＝∠BGD，
∴∠BGA＝2∠CBD；
③如图，BG在∠CBA右侧，则：
∠CBD＝180°﹣（∠GBD+∠GBQ+∠PBA）
＝180°﹣（∠GBD+∠BGD+∠PBA）
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝180°﹣（90°﹣∠BGD﹣∠GAB+∠BGD+∠PBA）
＝180°﹣（90°+∠BGD+∠PBA﹣∠GAB）
＝180°﹣（90°+90°﹣∠ABG﹣∠GAB）
＝（∠ABG+∠GAB）
＝（180°﹣∠BGA），
∴∠BGA＝180°﹣2∠CBD；
综上，∠CBD与∠BGA的数量关系为：∠BGA＝2∠CBD或∠BGA＝180°﹣2∠CBD．
（3）如图，可以画出△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，BK与△ACK的一边平行的所有情况，
①△BCK旋转到△DCL处，DL∥CA，此时旋转角＝∠BCK＝30°，t＝30÷10＝3s，
②△BCK旋转到△FCO处，FO∥CK，此时旋转角＝∠OCK＝90°，t＝90÷10＝9s，
③△BCK旋转到△GCW处，WG∥KA，此时旋转角＝∠WCK＝180°，t＝180÷10＝18s，
④△BCK旋转到△HCR处，HR∥CA，此时旋转角＝∠GCW+∠WCK＝180°+30°＝210°，t＝210÷10＝21s，
⑤△BCK旋转到△TCS处，ST∥CK，此时旋转角＝∠SCW+∠WCK＝180°+90°＝270°，t＝270÷10＝27s，
⑥△BCK再旋转90°，此时BK回到原处，与AK在同一直线，不算平行，
综上所述，当旋转时间为3s或9s或18s或21s或27s时，BK与△ACK的一边平行．
29．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．
（1）如图1，当AB＝AD时
①请直接写出BF与DF的数量关系：BF ＝ DF（填“＞”、“＜”、“＝”）
②求证：CE＝2AF
（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）①＝；
②证明见解答过程；
（2）成立，证明见解答过程．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD，
∴AC＝AE，
∵AH⊥CE，
∴∠CAH＝∠EAH，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAF，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，
故答案为：＝；
②∵AC＝AE，AH⊥CE，
∴CH＝EH＝CE，
∴CE＝2CH，
∵∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，
∴∠BAF＝∠ACH，
∵△BAF≌△DAF，
∴∠AFB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFB＝∠CHA，
在△AFB和△CHA中，
，
∴△AFB≌△CHA（AAS），
∴AF＝CH，
∴CE＝2AF；
（2）成立，证明如下：
作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N，
∴∠BMA＝∠N＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°，
∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH，
∵AH⊥CE，
∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°，
在△AMB和△CHA中，
，
∴△AMB≌△CHA（AAS），
∴MB＝AH，
同理可证△AND≌△EHA（AAS），
∴DN＝AH，
∴BM＝DN，
在△BMF和△DNF中，
，
∴△BMF≌△DNF（AAS），
∴BF＝DF，MF＝NF，
∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF，
∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF，
∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，
∴AM＝CH，AN＝EH，
∴CH+EH＝AM+AN＝2AF，
∵CE＝CH+EH，
∴CE＝2AF，
即BF＝DF，CE＝2AF．
30．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．
（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥MN．
∵MN∥GH．
∴PE∥MN∥GH．
∵PB平分∠DBA．
∴∠DBP＝∠MBA＝40°．
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝∠DBP＝40°（两直线平行，内错角相等）．
同理可证．．
∴∠BPC＝40°+25°＝65°．
（2）如图2，过点P作PE∥MN．
∵∠MBA＝80°．
∴∠DBA＝180°﹣80°＝100°．
∵BP平分∠DBA．
∴．
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝180°﹣∠DBP＝130°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵PC平分∠DCA．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BPC＝130°+25°＝155°．
（3）如图3，过点P作PE∥MN．
∵BP平分∠DBA．
∴∠DBP＝40°＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）．
∴CP平分∠DCA．∠DCA＝180°﹣∠DCG＝130°．
∴．
∴∠CPE＝180°﹣∠PCA＝115°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠BPC＝40°+115°＝155°；
如图4，同理得：∠ACF＝∠GCP＝65°，∠PEC＝∠DBP＝40°，
∴∠BPC＝∠GCP﹣∠PEC＝65°﹣40°＝25°；
如图5，∠AOC＝∠HAO﹣∠HCO＝80°﹣65°＝15°＝∠BOP，
∴∠BPC＝∠EBP﹣∠BOP＝40°﹣15°＝25°；
综上，∠BPC的度数为25°或155°．
31．阅读理解并完成下面问题：
我们知道，任意一个正整数c都可以进行这样的因式分解：c＝p×q（p，q是正整数），在c的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是c的最佳分解．并规定：F（c）＝（其中p≤q）．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为|1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数，若m是一个完全平方数，求F（m）的值；
（2）如果一个两位正整数t，交换其个位数字与十位数字得到的新两位数减去原数所得的差为18，那么我们称这个两位正整数t为“吉祥数”，求符合条件的所有“吉祥数”；
（3）在（2）中的所有“吉祥数”中，求F（t）的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵m是完全平方数
∴m＝p×q且p＝q
∴F（m）＝＝1；
（2）设正整数为：10x+y，则t′＝10y+x，
∵10y+x﹣（10x+y）＝18，
则9y﹣9x＝18，
故（y﹣x）＝2．
∴t可取13，24，35，46，57，68，79；
（3）由（2）得．
∴，，，，，，．
∵．
∴F（t）的最小值为．
32．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ．
（2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；
（3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC＝8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
（2）29．
（3）6．
【解答】（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即a2+b2，
也可表示为边长是a+b的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab．
∴等量关系为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
（2）∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29．
（3）设AC＝x，BC＝y，
∵AC+BC＝8，S1+S2＝40，
∴，
∴xy＝＝（82﹣40）＝12．
∴阴影部分的面积为xy＝6．
33．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝ ∠EAB ，∠C＝ ∠DAC ．
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
深化拓展：（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，DE平分∠ADC，点B是直线AB上的一个动点（不与点A重合），AB＜CD，BE平分∠ABC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．若∠ABC＝n°，请你直接写出∠BED的度数．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）∠EAB，∠DAC；
（2）360°；
（3）30°+n°或210°﹣n°．
【解答】解：（1）∵ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
故答案为：∠EAB，∠DAC；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+n°；
如图4，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+30°＝210°﹣n°．
34．珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．
（1）填空：∠BAN＝ 60 °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若两灯发出的射线AC与BC交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）60；（2）当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）见解析．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，
∴∠BAN＝180°×＝60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）结论：∠BAC＝2∠BCD．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
35．某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果校长买全票一张，则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”．若全票价为240元．
（1）设学生数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式．
（2）哪家旅行社收费更优惠？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y甲＝240+120x；y乙＝240×60%（x+1）；
（2）分三种情况讨论：即两家都一样；甲更优惠；乙更优惠
240+120x＝240×60%（x+1）
解得x＝4，
当x＞4时，y乙＞y甲，
当x＜4时，y乙＜y甲
所以当有4名学生时，两家都可以；
当大于4名时，甲比较划算；
当小于4名时，乙比较划算．
36．已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
（2）若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为 2m° ．
（3）由（1）和（2），我们发现∠MOC和∠BON之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝62°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°，
（2）如图1，∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣m°＝（90﹣m）°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝（90﹣m）°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣（90﹣m）°×2＝2m°，
故答案为：2m°；
（3）由（1）和（2）可得：∠BON＝2∠MOC；
（4）∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化，
如图2，∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，
即：∴∠BON＝2∠MOC．
37．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是 1＜AD＜7 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由见解析过程；
（3）EF＝2AD，理由见解析过程．
【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
38．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝25°，∠EDG＝45°，则∠AED＝ 70° ．
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，当点E在FG延长线上时，DP平分∠EDC，且∠EAP：∠BAP＝1：2，∠AED＝32°，∠P＝30°，求∠EKD的度数．
【答案】（1）70°．
（2）见解析；
（3）122°．
【解答】解：（1）过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠EAF＝∠AEH＝25°，∠EAG＝∠DEH＝45°，
∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝70°，
故答案为：70°；
（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．
理由如下：
过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠EAF+∠MEH＝180°，∠EDG+∠AED+MEH＝180°，
∴∠EAF＝180°﹣∠MEH，∠EDG+∠AED＝180°﹣MEH，
∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）∵∠EAP：∠BAP＝1：2，
设∠EAP＝x，则∠BAE＝3x，
∵∠AED﹣∠P＝32°﹣30°＝2°，∠DKE＝∠AKP，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAP+∠KPA+∠AKP＝180°，
∴∠EDK＝∠EAP﹣2°＝x﹣2°，
∵DP平分∠EDC，
∴∠CDE＝2∠EDK＝2x﹣4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，
即3x＝32°+2x﹣4°，解得x＝28°，
∴∠EDK＝28°﹣2°＝26°，
∴∠EKD＝180°﹣26°﹣32°＝122°．
39．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH＝AC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM＝EM；
（3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC＝5CM，请求出的值．
【答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程；（3）的值为或．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AE，EH⊥AC，
∴∠AHE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，
∴∠EAH＝∠ADC，
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠AHE＝90°，
∴△AHE≌△DCA（AAS），
∴EH＝AC；
（2）证明：如图2，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，
∵AD⊥AE，EN⊥AM，
∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAN＝90°，
∴∠EAN＝∠ADC，
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠ANE＝90°，
∴△ANE≌△DCA（AAS），
∴EN＝AC，
∵BC＝AC，
∴BC＝NE，
又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°，
∴△BCM≌△ENM（AAS），
∴BM＝EM；
（3）解：①当点D在线段BC上时，如图，
∵2AC＝5CM，
∴设CM＝2a，AC＝5a，
由（1）得：△AHE≌△DCA，
∴AH＝DC，EH＝AC＝5a，
∵AC＝BC＝5a，
∴BC＝EH＝5a，
又∵∠BMC＝∠EMH，∠BCM＝∠EHM＝90°，
∴△BCM≌△EHM（AAS），
∴HM＝CM＝2a，
∴AH＝AC﹣CM﹣HM＝a，
∴AM＝AH+HM＝3a，BD＝BC﹣CD＝4a，
∴＝；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，
由图可得：AC＜CM，2AC＝5CM不可能，
∴此情况不存在；
③当点D在CB延长线上时，如图，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，
∵2AC＝5CM，
∴设CM＝2a，AC＝5a，
∵AD⊥AE，EN⊥AM，
∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAN＝90°，
∴∠EAN＝∠ADC，
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠ANE＝90°，
∴△ANE≌△DCA（AAS），
∴EN＝AC，
∵BC＝AC，
∴BC＝NE，
又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°，
∴△BCM≌△ENM（AAS），
∴CM＝MN＝2a，BC＝NE＝AC＝5a，
∴AN＝AC+CM+MN＝9a，AM＝AC+CM＝7a，
∵△ANE≌△DCA，
∴AN＝CD＝9a，
∴BD＝4a，
∴＝．
综上，的值为或．
40．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；
①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．
（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明．
【答案】（1）见解答；
（2）①32°；
②∠C+∠A＝2∠P；
（3）∠A+3∠C+4∠P＝180°．
【解答】解：（1）设AD与BC的交点为点O，
则∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）①由（1）得：∠P+∠PBC＝∠CDP+∠C，∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，
两式相加得：2∠P+∠PBC+∠ADP＝∠A+∠C+∠CDP+∠ABP，
∵BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠PBC＝∠ABP，∠ADP＝∠CDP，
∴∠C+∠A＝2∠P，
∴∠P＝（∠A+∠C）＝32°；
②由①可得：∠C+∠A＝2∠P；
（3）由（1）得：∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，
∴∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，
∴+∠CBQ＝∠C+45°﹣∠EDP，
设AD与PQ的交点为点O，则∠CBQ+∠BOD＝∠C+∠ADC，
两式相减可得：∠BOD﹣∠A＝∠C+∠ADC+∠EDP﹣45°，
∴∠BOD﹣∠A＝∠C+180°﹣∠ADP﹣45°，
∴45°﹣∠A＝∠C+180°﹣∠ADP﹣∠BOD，
∵∠P＝180°﹣∠BOD﹣∠ADP，
∴45°﹣∠A＝∠C+∠P，
即∠A+3∠C+4∠P＝180°．
41．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
42．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点
A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
（1）求证：△ADC≌△BEC．
（2）求∠AEB的度数．
（3）试探究线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）解：∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝135°，
∵△ADC≌△BEC，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°；
（3）解：AE＝2CM+BE，
理由如下：∵△ADC≌△BEC，
∴BE＝AD，
∵△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
43．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝2，CF＝6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）21；
（2）﹣5；
（3）阴影部分的面积为112．
【解答】解：（1）设7﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝7﹣x+x﹣2＝5，
∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝21；
（2）设n﹣2021＝a，n﹣2022＝b，
则（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝a2+b2＝11，a﹣b＝（n﹣2021）﹣（n﹣2022）＝1，
（n﹣2021）（2022﹣n）＝﹣（n﹣2021）（n﹣2022）
＝﹣ab
＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）]
＝
＝﹣5；
（3）根据题意可得，
MF＝x﹣2，FD＝x﹣6，（x﹣2）（x﹣6）＝192，
设x﹣2＝a，x﹣6＝b，
则（x﹣2）（x﹣6）＝ab＝192，
a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4，
S阴＝（x﹣2）2﹣（x﹣6）2
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝（a﹣b）
＝×4
＝28×4
＝112．
阴影部分的面积为112．
44．如图1，在△ABC中，AB＝AC，E为BC上的一点，在AE的右侧作△AEF，使得AE＝AF，∠EAF＝∠BAC，连接FC并延长交AB的延长线于点D，∠D＝45°．
（1）求∠ABC的度数．
（2）如图2，若点E在BC的延长线上，当AC＝CE时，求证：FC平分∠AFE．
（3）如图3，△ABC的形状和大小保持不变，若点E在直线BC上（不与点C重合），射线AC与直线EF相交于点M，则当△AFM是等腰三角形时，求∠AEC的度数．
【答案】（1）75°；
（2）证明见解析部分；
（3）30°或52.5°或37.5°．
【解答】（1）解：如图1中，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ACF，
∵∠BAC+2∠ABC＝180°，∠BCD+2∠ACB＝180°，
∴∠BCD＝∠BAC，
设∠BCD＝∠BAC＝x，则∠ABC＝∠ACB＝∠D+∠BCD＝45°+x，
∴x+2（45°+x）＝180°，
∴x＝30°，
∴∠ABC＝75°；
（2）证明：如图2中，
同法可证△BAE≌△CAF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∵∠ACB＝∠CAE+∠CEA＝75°，
∴∠CEA＝∠AFC＝37.5°，
∵∠AFE＝75°，
∴∠CFE＝37.5°，
∴∠AFC＝∠CFE＝37.5°，
∴CF平分∠AFE；
（3）解：如图3﹣1中，当AM＝MF时，
∴∠MAF＝∠MFA＝75°，
∵∠ACB＝75°，
∴∠ACB＝∠MAF，
∴AF⊥BE，
∴∠AEC＝∠EAF＝30°；
如图3﹣2中，当FA＝FM时，
∴∠FAM＝∠M＝52.5°，
∴∠EAC＝52.5°﹣30°＝22.5°，
∴∠AEC＝∠ACB﹣∠CAE＝52.5°．
如图3﹣3中，当FA＝FM时，∠FAM＝∠M＝37.5°，
∴∠EAC＝30°+37.5°＝67.5°，
∴∠AEC＝180°﹣67.5°﹣75°＝37.5°．
综上所述，满足条件的∠AEC的度数为30°或52.5°或37.5°．
45．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
（1）如图，当点D在边BC上时，求证：①△ABD≌△ACE，②AC＝CE+CD；
（2）当点D不在边BC上时，其他条件不变，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．
【答案】（1）①②证明见解答过程；
（2）点D在边BC的延长线上，AC＝CE﹣CD；点D在边CB的延长线上，AC＝CD﹣CE．
【解答】（1）证明：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵BC＝BD+CD，AC＝BC，
∴AC＝CE+CD；
（2）解：如图2，当点D在边BC的延长线上时，AC＝CE﹣CD，
理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC＝AC，
∴AC＝CE﹣CD；
如图3，当点D在边CB的延长线上时，AC＝CD﹣CE，
理由如下：同（2）的方法可证，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
∵BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE，
∴AC＝CD﹣CE，
综上所述，点D在边BC的延长线上，AC＝CE﹣CD；点D在边CB的延长线上，AC＝CD﹣CE．
46．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，MN⊥PQ，若∠BAO＝30°，∠BAO与∠ABO的角平分线相交于点E，∠AEB的度数为 135° ，
（2）如图2，MN⊥PQ，∠BAP与∠ABM的角平分线相交于点E，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（3）如图3，若∠MOQ＜90°，∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于点E，延长BA至点G，∠OAG的角平分线与射线EO相交于点F，点A、B在运动的过程中，试探索∠F与∠ABO之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）135°；（2）不会发生变化，∠AEB＝45°；（3）∠ABO+∠F＝90°．
【解答】解：（1）∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
故答案为：135°．
（2）不会发生变化．
∵∠BAP与∠ABM的角平分线相交于点E，
∴∠EAB＝∠PAB，∠EBA＝∠MBA，
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠PAB＝∠ABO+∠AOB＝90°+∠ABO，∠MBA＝∠BAO+∠AOB＝90°+∠BAO，
∴∠EAB+∠EBA＝（90°+∠ABO+90°+∠BAO）＝90°+（∠ABO+∠BAO），
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°+45°＝135°，
∴∠AEB＝180°﹣135°＝45°．
（3）∠ABO+∠F＝90°．如图：
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于点E，
∴∠1＝∠BAO，∠2＝∠BOQ，
由外角的性质可得：∠ABO＝∠BOQ﹣∠BAO，∠E＝∠2﹣∠1，
∴∠E＝∠ABO．
∵AE平分∠BAO，AF平分∠GAO，
∴∠EAF＝90°，
∴∠E+∠F＝90°，即∠ABO+∠F＝90°．
47．已知：AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①若∠4＝36°，求∠2的度数；
②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试探究∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4＝36°；
②位置关系是：EM∥FN．理由：
由①知，∠1＝∠3＝∠2＝∠4，
∴∠MEF＝∠EFN＝180°﹣2∠1，
∴∠MEF＝∠EFN
∴EM∥FN（内错角相等，两直线平行）
（2）关系是：∠EFD＝2∠GEH．理由：
∵EG平分∠MEF，
∴∠MEG＝∠GEH+∠HEF①
∵EH平分∠AEM，
∴∠MEG+∠GEH＝∠AEF+∠HEF②
由①②可得：
∴∠AEF＝2∠GEH，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GEH．
48．如图，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．
（1）写出∠EDC的度数 40° ；
（2）试求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；
（3）将线段BC向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请画出图形并直接写出∠BED的度数（用含n的代数式表示）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝80°，
∴∠EDC＝∠ADC＝×80°＝40°；
故答案为：40°；
（2）如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝40°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝n°+40°；
（3）过点E作EF∥AB，
如图，点A在点B的左边时，
若点E在直线l1和l2之间，则
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝40°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEF＝40°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+40°＝220°﹣n°．
综上所述，∠BED的度数变化，度数为220°﹣n°．
49．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CEA中，，
∴△ABD≌△CEA（AAS），
∴S△ABD＝S△CEA，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，
∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ACF＝CF•h，
∵BC＝2CF，
∴S△ACF＝6，
∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6，
∴△ABD与△CEF的面积之和为6．
50．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ 4 ；
（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2
故答案为：4；
（2）M＝+2a+1
＝（a2+8a+16）﹣3
＝（a+4）2﹣3
∴M的最小值为﹣3
（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0
∴a＝b＝1，，
∴．
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