【期中讲练测】北师大版八年级下册数学专题01 三角形的证明（考点清单）.zip

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【考点题型一】等腰三角形的判定和性质
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【例1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，先证，推出，根据等腰三角形“三线合一”可得，根据，可得，通过等量代换即可求解．
【详解】解：平分，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
故选C．
【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，，，为的中点，在边上取一点，连接，过点作交边于点，连接．下列结论正确的个数是 个．
①；②四边形的面积等于面积的一半；③；④．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识．由，，得，，则，而，即可证明，得，可判断①正确；由，可推导出，可判断②正确；因为，所以，可判断③正确；由，，可推导出，而，则，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，为的中点，
，，
，
，
，
，，
，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
，
，
，
，故③正确；
，，
，
，
，
，故④错误，
故选：B．
【变式1-2】.（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点作分别交、 于、，，，则长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】此题考查等腰三角形的判定与性质和平行线性质；由、的平分线相交于点，，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可，，然后即可求得结论．
【详解】、的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，即．
，
，
故选：C．
【变式1-3】.（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数；
(3)当为多少度时，？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）由可得，得出即可求解；
（2）由（1）中的全等得出，结合三角形外角的性质证明，从而可求解的大小；
（3）由（2）知，，从而可求出，然后利用三角形内角和即可求解
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
即，
∵，
∴，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴；
（3）由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．
【变式1-4】.（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
(1)求证：．
(2)当时，求证：平分．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．
（1）利用可证明，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）设、交于点，根据全等三角形的性质得出，，结合（1）的结论可得，，根据等边对等角及直角三角形两锐角互补可得，即可证明，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）如图，设、交于点，
∵，由（1）得，
∴，，，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
【考点题型二】等边三角形的判定和性质
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
3.等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点；连结，交交于点，与交于点．下列结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用，①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；③由得，加之，，得到，所以；故③正确；②根据，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确．
【详解】解：①∵和是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；故①正确；
③∵（已证），
∴，
∵（已证），
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
故③正确；
②∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
故②正确；
④∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故④正确；
综上所述，正确的结论有：①②③④．
故选：D．
【变式2-1】（23-24八年级上·四川攀枝花·期中）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-“手拉手”模型，熟记相关模型的构成及结论是解题关键．证即可判断①②；在上截取，证即可判断③；根据可推出平分，无法推出平分，即可判断④．
【详解】解：∵，
∴
即：
∵，，
∴
∴，故①正确；
∵，
∴
∵
∴
∴，故②正确；
在上截取，如图所示：
∵，
∴
∴是等边三角形
∴，
∵，，
∴是等边三角形
∴，
∴，
∴
∴
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴点到边的距离相等，
∴平分
若平分，则有
∴
∴
根据条件，无法推出，故④错误；
故选：C．
【变式2-2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：① ② ③为等边三角形 ④ ⑤平分，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】由，，，可证，可判断①的正误；由，可判断②的正误；证明，则，可证是等边三角形，可判断③的正误；由，可得，可判断④的正误；如图，作于，于，由，，，可得，则平分，可判断⑤的正误．
【详解】解：∵均为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，①正确，故符合要求；
∴，
∴，②正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，③正确，故符合要求；
∴，
∴，④正确，故符合要求；
如图，作于，于，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴平分，⑤正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，平行线的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，平行线的判定是解题的关键．
【变式2-3】.（23-24八年级上·北京朝阳·期中）已知是等边三角形，，，为的中点，连接，．
(1)如图1，点D在线段的延长线上，
①求证：；
②直接写出线段与之间的数量关系．
(2)如图2，点D在直线外，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定， 四边形内角和定理等等，利用倍长中线构成全等三角形是解题的关键．
（1）①由等边三角形的性质得到，则可得，即可证明；②如图所示，延长交延长线于G，先证明，得到，，再证明是等边三角形，得到，则；
（2）如图所示，延长到G，使得，连接，则，先证明，得到，再证明，进一步证明，得到，由此证明是等边三角形，得到，即可得到．
【详解】（1）解：①∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图所示，延长交延长线于G，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图所示，延长到G，使得，连接，则，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【变式2-4】.（23-24八年级上·湖北荆门·期中）在等边中，D为边的中点，点N在边的延长线上，且．

(1)如图1，点M在边上，求证：；
(2)如图2，点M在边的延长线上，试探究，与等边边长的数量关系：
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的性质：
（1）作交于，根据等边三角形的判定及性质可证得是等边三角形，再利用证得即可求证结论；
（2）作交于，由（1）同理可证，得出，进而可求得，即可求解；
根据相关知识证明是解题的关键．
【详解】（1）证明：作交于，如图：

是等边三角形，
，，
D为边的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
作交于，如图：

由（1）同理可证，
，
．
【考点题型三】直角三角形的判定和性质
1. 直角三角形全等的判定
（1）直角三角形全等一般判定定理：
直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)
（2）直角三角形全等的HL判定定理：
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）
综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.
2.直角三角形的性质
1. 定理：直角三角形的两个锐角互余；
2.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.
3. 推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；
4.推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
【例3】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】A
【分析】
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，两点之间线段最短，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值．
【详解】
解：如图，连接、，
，，，
，
，点、分别是、的中点，
，，
当、、在同一直线上时，取最小值，
的最小值为：．
故选：A．
【变式3-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，D为中点，且．若，，则的长度是（ ）
A．B．8C．D．
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，根据直角三角形斜边上的中线求出长，根据勾股定理求出即可，掌握相关图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，D为AB中点，
∴，
在中，
∵，
∴由勾股定理得：，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：．
故选：．
【变式3-2】（23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，中，，点在线段上，，，若，则（ ）
A．7B．C．6D．
【答案】C
【分析】
过作交于，延长与的延长线交于点，由得到，则为等腰直角三角形，于是，由得到平分，根据等腰三角形性质得，即，然后根据“”证明，则，所以．
【详解】解：过作交于，延长与的延长线交于点，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴，
∵，
∴，
∴平分，
而，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
故选：．
【变式3-3】.（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，分别是的边，上的高，且，．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．
（1）根据题意易得，，则，即可根据判定；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，分别是的边，上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵是的边上的高，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【变式3-4】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）、均为等腰直角三角形．
(1)连接，，如左图，若当，，求______；______．
(2)绕点C旋转到一定角度后，如右图．
①求证：；
②探究与的数量和位置关系
【答案】(1)2，
(2)①证明见解析②，
【分析】本题考查了全等三角形判定与性质及直角三角形性质，
（1）证明，得出，，再利用直角三角形性质求出长即可解决问题；
（2）①先证明，即可证出全等；②根据全等三角形性质得出与的数量和位置关系．
【详解】（1）解：、均为等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
故答案为：2，；
（2）解：①、均为等腰直角三角形，
，
，即，
；
②，，理由如下：
，
，，
，
，
．
【考点题型四】勾股定理及其应用
1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；
2.勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；
3.勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）
4.勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.
【例4】（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，于点是的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求出，再根据三角形面积相等求出，再利用勾股定理求出，再由已知条件求出，进而可求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵
∴，即，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
故选：B．
【变式4-1】.（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，则的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．结合题意，根据小三角形的面积可以得出，再根据勾股定理即可得出，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，每个小三角形的面积为，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【变式4-2】（23-24八年级上·广东揭阳·期中）在矩形中，，，点P是线段上一个动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连结、，若P、E、D三点在同一条直线上，则的长度是（ ）
A．1B．1.5C．2D．0.5
【答案】C
【分析】
本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，根据矩形的性质和折叠的性质得到，利用勾股定理算出，设，则，，在中，根据勾股定理建立方程求解，即可解题．
【详解】解：当P、E、D三点在同一条直线上，如图所示：
在矩形中，，，，
根据折叠的性质，可得，，，
，
在中，根据勾股定理，得，
设，则，，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，
故选：C．
【变式4-3】（23-24八年级上·广东揭阳·期中）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．6.4
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．连接，根据折叠的性质可知，，得到，根据勾股定理求出的长．
【详解】解：连接，

根据折叠的性质得，，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式4-4】（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，在等边中，，为中点，的平分线交于点，是上的动点，连接，，则的最小值是（ ）
A．B．2C．1D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形，轴对称——最短路线问题，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称性质，是解决问题的关键
连接交于点F，根据等边三角形的对称性推出，根据三线合一推出， 得到，最小，根据推出，即得．
【详解】连接交于点F，
∵是等边的平分线，
∴点B、C关于对称，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，最小，
∵，
∴ ，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
故选：A．
【考点题型五】线段的垂直平分线
线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
（2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【例5】（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，中，，，，边的垂直平分线交于点，则的周长是（ ）
A．8cmB．9cmC．10cmD．11cm
【答案】C
【详解】
解：的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长
，
∵，，
∴的周长，
故选：．
【变式5-1】（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
故选D．
【变式5-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，是的垂直平分线，平分交于点，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质等知识，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线的定义求出，根据等角对等边可得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据线段垂直平分线上的定义可得，然后表示出和，即可得解, 熟记各相关几何性质是解题的关键．
【详解】解：，是的垂直平分线，
，
平分，
，
，
，故①正确；
根据直角三角形斜边大于直角边，，故②错误；
在中，，，
，故③正确，
是的垂直平分线，
，
又，
，故④正确，
综上所述，正确的结论有①③④，
故选：C．
【变式5-3】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂直的定义，三角形外角的性质，线段垂直平分线的意义，根据已知，选择好方法，证明判断即可．
【详解】解：如图，延长交于H，
∵，分别为，边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①符合题意；
∵，
∴，
∴，
故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长，
故③符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
故④不符合题意；
∴正确的有①②③．
故选：A．
【变式5-4】.（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，．

(1)求证：．
(2)连接，求证垂直平分．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键．
（1）利用角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明；
（2）利用“ “证明，可得，所以点在的垂直平分线上，根据，可得点在的垂直平分线上，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：于点，
，
又平分，，
，
在和中，
，
．
（2）证明：在和中，
，
，
．
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
垂直平分；
【考点题型六】角平分线
（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
（2）角的平分线有下面的性质定理：
①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【例6】（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，是的平分线，于E，，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答．
【详解】解：过点D作于点F，
∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
【变式6-1】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图在中，平分于D，如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
此题主要考查了角平分线的性质，得出是解题关键．
直接利用角平分线的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：∵在中，平分于D，
∴，
∴．
故选：D．
【变式6-2】.（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①＋的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积；如图作于，于．只要证明，，即可一一判断．
【详解】解：如图作于，于．
，
，
，
，
，
平分，于，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴故①正确；
∴，
∴定值，故④正确，
设，
，
，
，
，
，
，故②正确，
在旋转过程中，是等腰三角形，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
【变式6-3】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，和的平分线交于点，连接，若，，的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，过作于点，作于点，由角平分线的性质得，再根据求面积公式即可，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：过作于点，作于点，
∵平分，
∴，
∵的面积为，
∴，则，
∴的面积为，
故选：．
【变式6-4】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)②
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．
（1）欲证明，只要证明；
（2）由，推出，由可得；
（3）结论：②；作于于J．利用角平分线的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：∵
∴
即
在和中，
∴
∴．
（2）证明：∵
∴
∵
又，
，
∴，
∴
（3）解：结论：②
理由：作于于J．
∵
∴
∴ •，
∴，
∵作于K，于J，
∴
不妨设①成立，则，则显然不可能，故①错误．
故答案为：②．
【考点题型七】三角形的证明
几何证明的分析思路：
1.从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件.
2.从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：
【例7】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则 （填写“＞”“＜”或“＝”），请证明你的猜想；
（2）如图2，在中，平分交于点，连接，．判断与的大小关系，并证明；
（3）如图3，在中，，的角平分线，交于点，若，则 ．
【答案】（1）>，见解析；（2），见解析；（3）
【分析】
（1）在上截取，连接，则，由，得，因为，所以，于是得到问题的答案；
（2）延长到点，使，连接，则，因为，所以，再证明，得，所以；
（3）在上截取，连接，可证明，则，，所以，由，得，则，作于点，于点，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】
解：（1），
证明：如图1，在上截取，连接，则，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
证明：如图2，延长到点，使，连接，则，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，在上截取，连接，
，的角平分线，交于点，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
作于点，于点，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【变式7-1】.（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，过C作直线，B关于直线的对称点为D，连接，，，与的交点为E，设．

(1)若，则请直接写出下列两个角的度数： _______， _______．
(2)随着α的变化，的度数是否也发生变化，请说明理由；
(3)当成为等腰三角形时，求α的值．
【答案】(1)；
(2)不变，理由见解析；
(3)或或或
【分析】
（1）根据轴对称的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，证明是等边三角形，得出，，根据等腰三角形性质求出，最后求出结果即可；
（2）根据解析（1）的思路，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求出即可证明结论；
（3）分四种情况进行讨论，根据等腰三角形的定义，进行分类，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：如图1中，

∵B，D关于对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
（2）解：如图2中，结论：的度数不变，．

理由：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：如图3中，当时，

∵，，
∴，关于对称，
∴，
∴；
如图4中，当时，是等边三角形，

∴，
∴；
如图5中，当时，

∵，，，
∴，
∴，
∴；
如图6中，当时，

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的α的值为或或或．
【变式7-2】（23-24九年级上·广东潮州·期中）已知：中，，点为上一点，连接并延长至点，连接、，使．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：____________________；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，且，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)（1）中的结论不成立；
(3)
【分析】（1）在上截取，连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，即可证明结论；
（2）在上截取，连接，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可证明结论；
（3）连接，过点A作于点M，根据解析（2）的证明得出，，，证明为等腰直角三角形，求出，，根据直角三角形的性质结合勾股定理求出，最后在中根据含角直角三角形的性质和勾股定理求出结果即可．
【详解】（1）证明：在上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
即；
（2）解：（1）中结论不成立；；
在上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：连接，过点A作于点M，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴的长为．
【变式7-3】.
（23-24八年级上·广东湛江·期中）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数．
（2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数．
【答案】（1）（2）
【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题：
（1）先根据比例设出来角度，根据线段垂直平分线的性质得到两个角度相等，再结合三角形内角和定理可得到结果；
（2）根据三等分点设出角度，根据三角形内角和定理列得二元一次方程，再根据代数式可得到结果；
准确找到角度之间的关系是解题的关键．
【详解】解：（1）设，则，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
则；
（2）设，
在中，，
在中，，
①+②得：，
∴．
【变式7-4】.（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）在中，．
(1)特例证明：如图1，点D，E分别在线段上，，求证：；
(2)探索发现：将图1中的绕点C逆时针旋转（）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，点D在内部，当时，若，，，求线段的长（直接写出答案）．
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)3
【分析】（1）根据题意利用平行线性质及等腰三角形性质即可得到，继而得到本题答案；
（2）利用旋转性质再利用全等三角形判定及性质即可得到本题答案；
（3）根据题意把线段绕点C逆时针旋转至，连接，证明，再利用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】（1）解：证明：，
∴，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：成立，理由如下：
证明：由旋转可知，，

，
，
；
（3）解：，理由如下：
把线段绕点C逆时针旋转至，连接，

则，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴
【点睛】本题考查等腰三角形性质及判定，平行线判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，旋转性质．综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．