【期中讲练测】苏科版八年级下册数学 专题08解分式方程与分式方程应用（考点清单）.zip

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【考点一 解分式方程】
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
【易错易混】
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
【考点题型一】分式方程的判断
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①x-13=5，②1x=4x-1，③3-xπ=x-1，④xa= 1b-1．其中，分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】
本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题．
【详解】
解：①x-13=5，③3-xπ=x-1，④xa= 1b-1是整式方程；②1x=4x-1的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程．
故分式方程有1个，
故选：A．
2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）1x=1；（2）2x+13=1+1-3x4；（3）xb+xb=1；（4）xa-3=a+4；（5）2x+3yπ+1=0，其中是分式方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
【详解】1x=1分母中含有未知数，故是分式方程；
2x+13=1+1-3x4分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程xb+xb=1分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程xa-3=a+4分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
2x+3yπ+1=0分母中π是常数，不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：是分式方程的有1个；
故选：A．
3．（21-22八年级上·山东泰安·阶段练习）判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程?
（1）x-2x=x2；
（2）yπ=x2；
（3）x3x-1=12x；
（4）2m2=1m；
（5）2y-3=y2；
（6）2x=1；
（7）1x+1y=2．
【答案】（1）（3）（4）（5）（7）是分式方程；（2）（6）是整式方程．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断．
【详解】（1）x-2x=x2是分式方程；
（2）yπ=x2是整式方程；
（3）x3x-1=12x是分式方程；
（4）2m2=1m是分式方程；
（5）2y-3=y2是分式方程；
（6）2x=1是整式方程；
（7）1x+1y=2是分式方程．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键．
【考点题型二】解分式方程
4．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程：
(1)2x-5x-2+3=3x-3x-2；
(2)xx-2-1=8x2-4.
【答案】(1)x=4
(2)无解
【分析】
本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般方法，准确计算．
（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：2x-5x-2+3=3x-3x-2，
去分母得：2x-5+3x-2=3x-3，
去括号得：2x-5+3x-6=3x-3，
移项合并同类项得：2x=8，
系数化为1得：x=4，
检验：把x=4代入x-2得：x-2=4-2=2≠0，
∴x=4是原方程的解．
（2）解：xx-2-1=8x2-4，
去分母得：xx+2-x2-4=8，
去括号得：x2+2x-x2+4=8，
移项合并同类项得：2x=4，
系数化为1得：x=2，
检验：把x=2代入x2-4得：x2-4=4-4=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴原方程无解．
5．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）（1）当x为何值时，分式 3x-2与26-x互为相反数？
（2）解方程：2xx-3-2=3x+3+6x-3．
【答案】（1）当x=14时，分式 3x-2与26-x互为相反数；（2）原方程无解
【分析】
本题主要考查了解分式方程，相反数的定义：
（1）根据相反数的定义可得方程3x-2+26-x=0，解方程即可得到答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解法，然后检验即可．
【详解】解：（1）由题意得，3x-2+26-x=0，
去分母得：36-x+2x-2=0，
去括号得：18-3x+2x-4=0，
移项得：-3x+2x=4-18，
合并同类项得：-x=-14，
系数化为1得：x=14，
检验，当x=14时，x-26-x≠0，
∴当x=14时，分式 3x-2与26-x互为相反数；
（2）2xx-3-2=3x+3+6x-3
去分母得：2xx+3-2x2-9=3x-3+6x+3，
去括号得：2x2+6x-2x2+18=3x-9+6x+18，
移项得：2x2+6x-2x2-3x-6x=-9+18-18，
合并同类项得：-3x=-9，
系数化为1得：x=3，
检验，当x=3时，x-3=0，
∴x=3是原方程的增根，
∴原方程无解．
6．（23-24八年级·全国·随堂练习）已知方程yy2-9+13-y=3y+3的解为y=k，求关于x的方程x+32=x+k3-1的解．
【答案】x=-11
【分析】
本题考查的是一元次方程的解法，分式方程的解法，方程的解的含义，先解分式方程，再把解代入一元一次方程，再解方程即可．
【详解】解：方程yy2-9+13-y=3y+3的两边都乘y2-9，得
y-y＋3=3y-3．
解这个方程，得y=2．
经检验，y=2是原分式方程的解，
∴k=2．
∴x+32=x+23-1，
去分母得：3x+3=2x+2-6，
整理得：3x+9=2x+4-6，
解得x=-11．
7．（23-24八年级·全国·随堂练习）解方程：
1x+10+1x+1x+2+1x+2x+3+⋅⋅⋅+1x+9x+10=2．
【答案】x=-12
【分析】本题考查的是分式方程的解法，先把方程化为1x+10+1x+1-1x+2+1x+2-1x-3+⋅⋅⋅+1x+9-1x+10=2可得1x+1=2，再解方程并检验即可．
【详解】解：整理方程得1x+10+1x+1-1x+2+1x+2-1x-3+⋅⋅⋅+1x+9-1x+10=2，
即1x+1=2．
方程两边乘x+1，得2x+2=1，
解得x=-12．
经检验x=-12是分式方程的解．
8．（23-24八年级·全国·随堂练习）阅读下列材料：
方程1x+1-1x=1x-2-1x-3的解为x=1，
方程1x-1x-1=1x-3-1x-4的解为x=2，
方程1x-1-1x-2=1x-4-1x-5的解为x=3，
……
(1)根据上述规律，可知解为x=5的方程为_________；
(2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的．
【答案】(1)1x-3-1x-4=1x-6-1x-7
(2)见解析
【分析】本题考查根据分式方程的特点与解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征．
（1）由具体的分式方程发现左右两边分母之差为1，再结合方程的解构建方程即可；
（2）先把方程的左右两边通分计算减法运算，再去分母解方程并检验即可．
【详解】（1）解：∵方程1x+1-1x=1x-2-1x-3的解为x=1，
方程1x-1x-1=1x-3-1x-4的解为x=2，
方程1x-1-1x-2=1x-4-1x-5的解为x=3，
∴解为x=5的方程为：1x-3-1x-4=1x-6-1x-7
（2）1x-3-1x-4=1x-6-1x-7
方程可变形为x-4-x+3x-3x-4=x-7-x+6x-6x-7，
∴-1x-3x-4=-1x-6x-7，
∴x-3x-4=x-6x-7，
∴x2-7x+12=x2-13x+42，
解得x=5．
检验：当x=5时，(x-3)(x-4)(x-6)(x-7)≠0，
∴x=5是原分式方程的解．
【考点题型三】特殊方法解分式方程-换元法
9．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程x2+1x+1+6x+1x2+1=7时，下列换元方法中最合适的换元方法是 （ ）
A．设y=x2+1B．设y=x+1C．y=x2+1x+1D．y=1x2+1
【答案】C
【分析】设y=x2+1x+1，则原方程化为y2-7y+6=0，从而可得答案.
【详解】解：x2+1x+1+6x+1x2+1=7，设y=x2+1x+1，
∴y+6y=7，
整理得：y2-7y+6=0，
故选C
【点睛】本题考查的是利用换元法解分式方程，熟练的换元是解本题的关键.
10．（2023八年级上·全国·专题练习）换元法解方程：x-1x+2-27x-1-9=0．
【答案】x=-72或x=-54
【分析】本题考查了用换元法解分式方程， 先把方程变形为x-1x+2-9x+2x-1=0，再用换元法和平方根的意义求解即可．解题的关键是正确使用换元法．
【详解】解：∵x-1x+2-27x-1-9=x-1x+2-27x-1+9=x-1x+2-9x+2x-1，
∴原方程为x-1x+2-9x+2x-1=0
设y=x-1x+2，原方程可化为y-9y=0，
方程两边同时乘以y，得y2-9=0，
解得，y=±3，
经检验，y=±3都是原方程的解，
当y=3时，有x-1x+2=3，解得：x=-72，
当y=-3时，有x-1x+2=-3，解得：x=-54，
经检验：x=-72或x=-54都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-72或x=-54．
11．（21-22八年级下·上海普陀·期中）用换元法解方程组：1x+y+2x-y=141x+y-1x-y=1．
【答案】x=-43y=83
【分析】设1x+y=a，1x-y=b，得出2x-y=2b，进而将原方程组化为关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b，可得1x+y=34，1x-y=-14，进而得出关于x，y的二元一次方程组进行求解即可．
【详解】解：设1x+y=a，1x-y=b，
则原方程组可化为：a+2b=14①a-b=1②，
①－②得：3b=-34，
解得：b=-14，
把b=-14代入②得：a=34，
∴1x+y=34，1x-y=-14，
∴x+y=43③x-y=-4④，
③＋④，得2x＝-83，
解得x＝-43，
把x＝-43代入①，得y＝83，
故原方程组的解为x=-43y=83．
【点睛】此题考查了换元法解分式方程以及解二元一次方程组，将方程进行适当的变形是解本题的关键．
12．（2020七年级上·全国·专题练习）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：x-1x-4xx-1 =0．
解：设y=x-1x，则原方程化为：y﹣4y=0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣4=0，解得：y=±2，
经检验：y=±2都是方程y﹣4y=0的解，
∴当y=2时，x-1x=2，解得：x=﹣1；当y=﹣2时，x-1x=﹣2，解得：x=13，
经检验：x=﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=﹣1或 x=13．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：（1）若在方程x-1x+1-4x+4x-1=0中，设y=x-1x+1，则原方程可化为： ；
（2）模仿上述换元法解方程：x-1x+2-3x-1-1=0．
【答案】（1）y-4y=0；（2）x=-12．
【分析】（1）根据换元法，可得答案；
（2）根据分式的加减，可得：x-1x+2-x+2x-1=0，根据换元法，可得答案．
【详解】（1）设y=x-1x+1，则原方程可化为：y-4y=0，
故答案为：y-4y=0；
（2）原方程化为：x-1x+2-x+2x-1=0，
设y=x-1x+2，则原方程化为：y-1y=0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣1=0，解得：y=±1，
经检验：y=±1都是方程y-1y=0的解．
当y=1时，x-1x+2=1，该方程无解；
当y=﹣1时，x-1x+2=﹣1，解得：x=-12．
经检验：x=-12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-12．
【点评】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．注意将所得的解代入分式方程检验分式方程是否有意义．
【考点题型四】特殊方法解分式方程-裂项法
13．（22-23八年级上·广东珠海·期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34，利用上面这个运算规律解决以下问题：
(1)求15×6+16×7+17×8的值；
(2)证明：11×2+12×3+13×4+⋯+1(n-1)n+1n(n+1)0，解不等式，求出k范围，令x-5≠0，求出增根，进而求出对应的k的值，即可求解，
本题考查了，解分式方程，解不等式，分式方程的增根，解题的关键是：熟记分式方程的增根．
【详解】
解：k-1x-5=2-x5-x
去分母，得：k-1=2(x-5)+x，
解得：x=k+93，
∵解为正数，
∴x>0，
∴k+93>0，
解得：k>-9，
∵x-5≠0，
∴x≠5，
∴k+93≠5，
∴k≠6，
∴k的取值范围是k>-9且k≠6，
故选：C．
30．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若数a使关于x的分式方程2x-1+a1-x=4的解为非负数，则a的取值正确的是 ．
【答案】a≤6且a≠2
【分析】
本题主要考查分式方程的解，注意分母不为0是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的取值范围．
【详解】解：分式方程整理得：2x-1-ax-1=4，
去分母得：2-a=4x-4，
解得x=6-a4，
由分式方程的解为非负数，得到6-a4≥0且6-a4≠1
解得a≤6且a≠2．
故答案为：a≤6且a≠2．
31．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）关于x的分式方程mx-3+43-x=1的解是非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】m≥1且m≠4
【分析】
本题考查了解分式方程以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算分式方程得出x=m-1且m≠4，结合解是非负数，列式m-1≥0，即可作答．
【详解】
解：原方程去分母得：m-4=x-3，
解得：x=m-1，
∵x-3≠0，
∴x≠3，
∴m-1≠3，
∴m≠4，
∵关于x的分式方程mx-3+43-x=1的解是非负数，
∴x≥0，即m-1≥0，
解得：m≥1，
又∵m≠4，
∴m的取值范围是m≥1且m≠4
故答案为：m≥1且m≠4
32．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知关于x的方程2mx-1x+2=1的解为负数，求m的取值范围．
【答案】m