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【期中讲练测】人教版八年级下册数学 专题03平行四边形全章高频考点 .zip
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考点一：一个定理——三角形的中位线定理
三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
1．（2023秋•任城区期末）如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为
A．1B．2C．1.5D．2.5
2．（2023秋•驻马店期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是
A．2B．3C．4D．5
3．（2023春•深圳期中）如图所示，在中，，，，点为线段上的一个动点，以为腰，作一个顶角为的等腰，其中为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
4．（2023春•昌平区期末）如图，，两地被建筑物遮挡，为测量，两地的距离，在地面上选一点，连接，，分别取，的中点，，若的长为，则，两地距离为 ．
5．（2024春•靖江市月考）三角形中位线定理证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，、分别是的边、中点．
求证：，．
下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法1：延长至点，使，连接；
方法2：过点作交的延长线于；
方法3：过作交于，过作交的延长线于点．
6．（2023秋•岱岳区期末）如图1，在中，，分别是边，上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ．若是的中点，，则是的中点；
Ⅱ．若，，则，分别是，的中点；
Ⅲ．若是的中点，，则是的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
7．（2023秋•沂源县期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，求的度数．
考点二：一个性质——三角形斜边上的中线性质
直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
8．（2023秋•太康县期末）如图，在中，，且，分别是，上的高，，分别是，的中点，若，则的长为
A．10B．12C．13D．14
9．（2023秋•焦作期末）如图，在中，，为中点，若，则的长是
A．6B．5C．4D．3
10．（2023秋•宿迁期末）如图，在和中，，，是的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求．
考点三：4个图形的性质与判定
性质与判定1：平行四边形的性质与判定
1.平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
2．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
3．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
11．（2024春•沙坪坝区校级月考）在平行四边形中，于点，点为上一点，连接交于点，已知，，若，则的角度用含的代数式表示为
A．B．C．D．
12．（2024•南岗区校级开学）如图，在中，是的平分线，，，则 ．
13．（2024春•哈尔滨月考）如图，在平行四边形中，点、在分别边、上，，于点，于点．
（1）求证：；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角．
14．（2023秋•钢城区期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标不可能是
A．B．C．D．
15．（2023秋•泰山区期末）在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是
A．，B．，
C．，D．，
16．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ．
17．（2023春•覃塘区期中）如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）若平分交于点，，求证：四边形是平行四边形．
18．（2024春•泰兴市月考）如图，①四边形是平行四边形，线段分别交、、于点、、，②，③．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）爱动脑筋的小明发现：在本题①、②、③三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形是平行四边形的结论依然成立，可以去掉的这个条件是 （直接写出这个条件的序号），并证明四边形是平行四边形．
19．（2023秋•锦江区校级期末）如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点、在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点，若，，求的长．
20．（2024•肇源县开学）如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交、的延长线于点、，连接．求证：四边形是平行四边形．
21．（2023秋•河口区期末）如图1，在中，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积．
性质与判定2：矩形的性质与判定
1.矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
3．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
22．（2024春•中山市月考）如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则的长为
A．B．10C．5D．
23．（2024春•新抚区月考）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为
A．3B．C．4D．
24．（2024春•郧西县月考）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，；连接、．求证：四边形是菱形．
25．（2023春•鄱阳县期中）如图，在矩形中，平分，交于点，连接，为的中点，为的中点，连接．已知，．
（1）求的长．
（2）求的长．
26．（2024春•江阴市校级月考）对角线相等且互相平分的四边形一定是
A．梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形
27．（2023春•新吴区期末）平行四边形的对角线、相交于点，要使平行四边形是矩形请添加一个条件 ．
28．（2023秋•子洲县期末）如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点．求证：四边形是矩形．
29．（2023春•霞山区校级期中）如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由．
30．（2024春•长沙期中）如图，在平行四边形中，是对角线上的中点，过点作，垂足为且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长及四边形的周长．
性质与判定3：菱形的性质与判定
1.菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
2．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
3．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
31．（2023秋•福山区期末）如图，点，分别是菱形边，的中点，交的延长线于点．若，则的度数是
A．B．C．D．
32．（2024春•渝中区校级月考）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是
A．48B．36C．24D．18
33．（2024春•泰兴市月考）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的面积是 ．
34．（2024•广州一模）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ．
35．（2023秋•禅城区期末）如图，点、分别在菱形的边、上，且．求证：．
36．（2023春•肥城市期中）如图，已知点、分别是四边形的边、的中点，、分别是对角线、的中点，要使四边形是菱形，则四边形需满足的条件是
A．B．C．D．
37．（2023春•苍溪县期末）如图，的对角线，相交于点，要使成为菱形，还需添加的一个条件是 ．
38．（2023春•萝北县期末）在平行四边形中，若添加一个条件 ，则四边形是菱形．
39．（2024春•北京月考）如图，在中，，是的中点，点，在射线上，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
40．（2023秋•昆都仑区期末）如图，在四边形中，，是的中点，，，于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
性质与判定4：正方形的性质与判定
1.正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
2．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
3．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
41．（2024•阿城区一模）如图，点、为正方形边的点，，点、分别为线段、的中点，连接，若，，则的长为 ．
42．（2024春•灵川县月考）如图，已知正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，若，则的最小值为 ．
43．（2023秋•绥棱县期末）如图，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
44．（2023秋•定边县期末）如图，正方形边长为4，点在边上（点与点、不重合），过点作，垂足为，与边相交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求的长；
（3）在（2）的条件下，取，的中点，，连接，求的长．
45．（2023秋•和平县期末）下列说法正确的是
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
46．（2023秋•临淄区期末）如图，四边形的对角线、相交于，下列判断正确的是
A．若，则四边形是菱形
B．若，则四边形是矩形
C．若，，则四边形是正方形
D．若，，则四边形是平行四边形
47．（2023春•滨州期末）如图，以的三边为边分别作等边、、，且点在内部．给出以下结论：①；②当时，四边形是矩形；③当时，四边形是菱形；④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有 ．（填上所有正确结论的序号）．
48．（2023秋•白银区期末）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．
（1）求证：是的中点；
（2）如果，试判断四边形的形状，并说明理由．
49．（2023春•郾城区期中）如图，已知四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）当点从点运动到点时，的大小是否会改变？请说明理由．
50．（2024春•海门区月考）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若恰为的中点，求正方形的面积．
考点四：4个技巧
技巧1：解与四边形有关折叠问题的技巧
51．（2023秋•青岛期末）一张矩形纸，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点，折叠出四边形．
（1）求证：；
（2）当 度时，四边形是菱形？说明理由．
52．（2024•高新区校级二模）如图（1），四边形正方形，，两点的坐标分别是，．
（1）直接写出点的坐标是 ；
（2）如图（2），点为线段的中点，点在线段上，若，求点的坐标；
（3）如图（3），动点，分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上（点不与点，重合），点落在点处，设，四边形的面积为，请求出与的关系式．
技巧2：解与四边形有关旋转问题的技巧
53．（2023秋•淄川区期末）已知矩形（如图的一边和对角线分别与矩形的对角线及边重合．连接，取的中点为，连接、．
（1）求证：；
（2）如图2，若将（1）中的矩形绕着点旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．
54．（2023秋•邻水县期末）如图1，为正方形内一点，且，求的度数．
小明同学的想法是：不妨设，，，设法把、、相对集中，于是他将绕点顺时针旋转得到（如图，然后连接，问题得以解决．请你回答图2中 度．
请你参考小明同学的方法，解答下列问题．
如图3，是等边内一点，，那么 度．请写出推理过程．
技巧3：解与四边形有关动点问题的技巧
55．（2023春•番禺区校级期中）如图，四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，则当，同时出发，设运动时间为．
（1）当为何值时，四边形为平行四边形？
（2）当为何值时，四边形为平行四边形？
56．（2023春•召陵区期中）如图，在中，，于点，且．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为，解答下列问题：
（1）线段 ；
（2）当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
57．（2023秋•莱西市期末）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点、的速度的速度都是，连接，，，设点、运动的时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．
58．（2023春•贵州期中）两个全等的三角形和重叠在一起，的面积为3，且，固定不动，将进行如下操作：
（1）如图①，沿线段向右平移（即点在线段内移动），连接、、，四边形的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积；
（2）如图②，当点向右平移到点时，试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
59．（2024•汉川市模拟）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
技巧4：解中点四边形的技巧
60．（2023春•淮滨县期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）求证：四边形的形状是平行四边形；
（2）当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形；
（3）当四边形的对角线满足 条件时，四边形是菱形．
61．（2023春•阜平县期中）如图，在菱形中，与相交于点，，，，分别是边，，，的中点，连接，，，．
（1）若，，求的长度；
（2）判断四边形的形状，并说明理由；
（3）给菱形添加一个条件： ，可得四边形是正方形．
62．（2023春•岷县期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
（1）这个中点四边形的形状一定是 ；
（2）若，证明四边形是菱形．
63．（2023春•永昌县校级期中）如图，已知，四边形中，、、、，分别是边，，，的中点．（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当 时，中点四边形是菱形．
（3）当 时，中点四边形是矩形．
64．（2023春•碑林区校级月考）如图，和分别是等腰直角三角形和等边三角形，点、、、分别是、、、边上的中点，连接、、、．
（1）填空：若，则的长度是 ．
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
65．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
（1）这个中点四边形的形状是 ；
（2）如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明．
考点五：2种思想
思想1：转化思想
66．（2022春•青秀区期末）【阅读材料】
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
【直接应用】
方程的解是， ， ．
【类比迁移】
解方程：．
【问题解决】
如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长．
思想2：数形结合思想
68．（2024春•泰兴市月考）请仅利用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
题．如图1，在矩形中，、分别是、的中点，请作出以为边的菱形，且、分别在、边上，并证明你所作的四边形是菱形．
题．如图2，在正方形中，是对角线上一点，请作出以为边的菱形，且点在上，并证明你所作的四边形是菱形．
考点一：一个定理——三角形的中位线定理
三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
1．（2023秋•任城区期末）如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为
A．1B．2C．1.5D．2.5
2．（2023秋•驻马店期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是
A．2B．3C．4D．5
3．（2023春•深圳期中）如图所示，在中，，，，点为线段上的一个动点，以为腰，作一个顶角为的等腰，其中为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
4．（2023春•昌平区期末）如图，，两地被建筑物遮挡，为测量，两地的距离，在地面上选一点，连接，，分别取，的中点，，若的长为，则，两地距离为 ．
5．（2024春•靖江市月考）三角形中位线定理证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，、分别是的边、中点．
求证：，．
下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法1：延长至点，使，连接；
方法2：过点作交的延长线于；
方法3：过作交于，过作交的延长线于点．
6．（2023秋•岱岳区期末）如图1，在中，，分别是边，上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ．若是的中点，，则是的中点；
Ⅱ．若，，则，分别是，的中点；
Ⅲ．若是的中点，，则是的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
7．（2023秋•沂源县期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，求的度数．
考点二：一个性质——三角形斜边上的中线性质
直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
8．（2023秋•太康县期末）如图，在中，，且，分别是，上的高，，分别是，的中点，若，则的长为
A．10B．12C．13D．14
9．（2023秋•焦作期末）如图，在中，，为中点，若，则的长是
A．6B．5C．4D．3
10．（2023秋•宿迁期末）如图，在和中，，，是的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求．
考点三：4个图形的性质与判定
性质与判定1：平行四边形的性质与判定
1.平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
2．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
3．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
11．（2024春•沙坪坝区校级月考）在平行四边形中，于点，点为上一点，连接交于点，已知，，若，则的角度用含的代数式表示为
A．B．C．D．
12．（2024•南岗区校级开学）如图，在中，是的平分线，，，则 ．
13．（2024春•哈尔滨月考）如图，在平行四边形中，点、在分别边、上，，于点，于点．
（1）求证：；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角．
14．（2023秋•钢城区期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标不可能是
A．B．C．D．
15．（2023秋•泰山区期末）在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是
A．，B．，
C．，D．，
16．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ．
17．（2023春•覃塘区期中）如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）若平分交于点，，求证：四边形是平行四边形．
18．（2024春•泰兴市月考）如图，①四边形是平行四边形，线段分别交、、于点、、，②，③．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）爱动脑筋的小明发现：在本题①、②、③三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形是平行四边形的结论依然成立，可以去掉的这个条件是 （直接写出这个条件的序号），并证明四边形是平行四边形．
19．（2023秋•锦江区校级期末）如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点、在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点，若，，求的长．
20．（2024•肇源县开学）如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交、的延长线于点、，连接．求证：四边形是平行四边形．
21．（2023秋•河口区期末）如图1，在中，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积．
性质与判定2：矩形的性质与判定
1.矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
3．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
22．（2024春•中山市月考）如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则的长为
A．B．10C．5D．
23．（2024春•新抚区月考）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为
A．3B．C．4D．
24．（2024春•郧西县月考）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，；连接、．求证：四边形是菱形．
25．（2023春•鄱阳县期中）如图，在矩形中，平分，交于点，连接，为的中点，为的中点，连接．已知，．
（1）求的长．
（2）求的长．
26．（2024春•江阴市校级月考）对角线相等且互相平分的四边形一定是
A．梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形
27．（2023春•新吴区期末）平行四边形的对角线、相交于点，要使平行四边形是矩形请添加一个条件 ．
28．（2023秋•子洲县期末）如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点．求证：四边形是矩形．
29．（2023春•霞山区校级期中）如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由．
30．（2024春•长沙期中）如图，在平行四边形中，是对角线上的中点，过点作，垂足为且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长及四边形的周长．
性质与判定3：菱形的性质与判定
1.菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
2．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
3．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
31．（2023秋•福山区期末）如图，点，分别是菱形边，的中点，交的延长线于点．若，则的度数是
A．B．C．D．
32．（2024春•渝中区校级月考）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是
A．48B．36C．24D．18
33．（2024春•泰兴市月考）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的面积是 ．
34．（2024•广州一模）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ．
35．（2023秋•禅城区期末）如图，点、分别在菱形的边、上，且．求证：．
36．（2023春•肥城市期中）如图，已知点、分别是四边形的边、的中点，、分别是对角线、的中点，要使四边形是菱形，则四边形需满足的条件是
A．B．C．D．
37．（2023春•苍溪县期末）如图，的对角线，相交于点，要使成为菱形，还需添加的一个条件是 ．
38．（2023春•萝北县期末）在平行四边形中，若添加一个条件 ，则四边形是菱形．
39．（2024春•北京月考）如图，在中，，是的中点，点，在射线上，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
40．（2023秋•昆都仑区期末）如图，在四边形中，，是的中点，，，于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
性质与判定4：正方形的性质与判定
1.正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
2．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
3．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
41．（2024•阿城区一模）如图，点、为正方形边的点，，点、分别为线段、的中点，连接，若，，则的长为 ．
42．（2024春•灵川县月考）如图，已知正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，若，则的最小值为 ．
43．（2023秋•绥棱县期末）如图，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
44．（2023秋•定边县期末）如图，正方形边长为4，点在边上（点与点、不重合），过点作，垂足为，与边相交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求的长；
（3）在（2）的条件下，取，的中点，，连接，求的长．
45．（2023秋•和平县期末）下列说法正确的是
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
46．（2023秋•临淄区期末）如图，四边形的对角线、相交于，下列判断正确的是
A．若，则四边形是菱形
B．若，则四边形是矩形
C．若，，则四边形是正方形
D．若，，则四边形是平行四边形
47．（2023春•滨州期末）如图，以的三边为边分别作等边、、，且点在内部．给出以下结论：①；②当时，四边形是矩形；③当时，四边形是菱形；④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有 ．（填上所有正确结论的序号）．
48．（2023秋•白银区期末）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．
（1）求证：是的中点；
（2）如果，试判断四边形的形状，并说明理由．
49．（2023春•郾城区期中）如图，已知四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）当点从点运动到点时，的大小是否会改变？请说明理由．
50．（2024春•海门区月考）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若恰为的中点，求正方形的面积．
考点四：4个技巧
技巧1：解与四边形有关折叠问题的技巧
51．（2023秋•青岛期末）一张矩形纸，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点，折叠出四边形．
（1）求证：；
（2）当 度时，四边形是菱形？说明理由．
52．（2024•高新区校级二模）如图（1），四边形正方形，，两点的坐标分别是，．
（1）直接写出点的坐标是 ；
（2）如图（2），点为线段的中点，点在线段上，若，求点的坐标；
（3）如图（3），动点，分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上（点不与点，重合），点落在点处，设，四边形的面积为，请求出与的关系式．
技巧2：解与四边形有关旋转问题的技巧
53．（2023秋•淄川区期末）已知矩形（如图的一边和对角线分别与矩形的对角线及边重合．连接，取的中点为，连接、．
（1）求证：；
（2）如图2，若将（1）中的矩形绕着点旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．
54．（2023秋•邻水县期末）如图1，为正方形内一点，且，求的度数．
小明同学的想法是：不妨设，，，设法把、、相对集中，于是他将绕点顺时针旋转得到（如图，然后连接，问题得以解决．请你回答图2中 度．
请你参考小明同学的方法，解答下列问题．
如图3，是等边内一点，，那么 度．请写出推理过程．
技巧3：解与四边形有关动点问题的技巧
55．（2023春•番禺区校级期中）如图，四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，则当，同时出发，设运动时间为．
（1）当为何值时，四边形为平行四边形？
（2）当为何值时，四边形为平行四边形？
56．（2023春•召陵区期中）如图，在中，，于点，且．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为，解答下列问题：
（1）线段 ；
（2）当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
57．（2023秋•莱西市期末）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点、的速度的速度都是，连接，，，设点、运动的时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．
58．（2023春•贵州期中）两个全等的三角形和重叠在一起，的面积为3，且，固定不动，将进行如下操作：
（1）如图①，沿线段向右平移（即点在线段内移动），连接、、，四边形的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积；
（2）如图②，当点向右平移到点时，试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
59．（2024•汉川市模拟）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
技巧4：解中点四边形的技巧
60．（2023春•淮滨县期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）求证：四边形的形状是平行四边形；
（2）当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形；
（3）当四边形的对角线满足 条件时，四边形是菱形．
61．（2023春•阜平县期中）如图，在菱形中，与相交于点，，，，分别是边，，，的中点，连接，，，．
（1）若，，求的长度；
（2）判断四边形的形状，并说明理由；
（3）给菱形添加一个条件： ，可得四边形是正方形．
62．（2023春•岷县期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
（1）这个中点四边形的形状一定是 ；
（2）若，证明四边形是菱形．
63．（2023春•永昌县校级期中）如图，已知，四边形中，、、、，分别是边，，，的中点．（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当 时，中点四边形是菱形．
（3）当 时，中点四边形是矩形．
64．（2023春•碑林区校级月考）如图，和分别是等腰直角三角形和等边三角形，点、、、分别是、、、边上的中点，连接、、、．
（1）填空：若，则的长度是 ．
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
65．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
（1）这个中点四边形的形状是 ；
（2）如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明．
考点五：2种思想
思想1：转化思想
66．（2022春•青秀区期末）【阅读材料】
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
【直接应用】
方程的解是， ， ．
【类比迁移】
解方程：．
【问题解决】
如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长．
思想2：数形结合思想
68．（2024春•泰兴市月考）请仅利用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
题．如图1，在矩形中，、分别是、的中点，请作出以为边的菱形，且、分别在、边上，并证明你所作的四边形是菱形．
题．如图2，在正方形中，是对角线上一点，请作出以为边的菱形，且点在上，并证明你所作的四边形是菱形．
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