福建省福州外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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命题人：高一数学集备组 审题人：高一数学集备组
（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）
班级__________座号__________姓名__________
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名．
考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答．请不要错位、越界答题！在试题卷上作答的答案无效．
3．考试结束，考生必须将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 向量，若，则的值是
A. 4B. -4C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】
运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出的值.
【详解】，故选B.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示，考查了运算能力.
2. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
3. 已知△ABC内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若bcsC+ccsB＝b，则△ABC一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果.
【详解】解：△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，
由bcsC+ccsB＝b，
根据正弦定理：sinBcsC+sinCcsB＝sinB，
整理得sin（B+C）＝sinA＝sinB，
故a＝b，
则△ABC一定是等腰三角形.
故选：A.
【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
4. 在中，，且为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知结合向量加法的三角形法则及向量基本定理即可求解．
【详解】解：
，
故选：．
【点睛】本题考查了平面向量加法的三角形法则和平面向量基本定理的简单应用，属于基础题．
5. 设非零向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，对等式两边同时平方，根据平面数量积的运算律计算可得，结合投影向量的求法计算即可.
【详解】由，得，
得，
所以在方向上的投影向量为.
故选：B
6. 在中，角所对的边分别为，，，则外接圆的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.
【详解】因为，所以，
由余弦定理得，，
所以，
设外接圆的半径为，由正统定理得，，
所以，
所以外接圆的面积是.
故选：B.
7. 已知向量，的数量积（又称向量的点积或内积），其中表示向量，的夹角，定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）；，其中表示向量，的夹角，已知点，，O为坐标原点，则（ ）
A. 0.5B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积公式求出夹角的大小，再用向量积公式即可求解.
【详解】因为点，，所以，，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以．
故选：D.
8. 已知的内角分别为，，且的内切圆面积为，则的最小值为（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角恒等变换可得，由题设有内切圆半径，进而可得，由三角形面积公式、向量数量积的定义，可得，再由余弦定理及基本不等式求的范围，进而可得的最小值.
【详解】由题设，，又
∴，又，故，则，
又的内切圆面积为，若内切圆半径为，对应边分别为，
∴，则，易知：，
∵，
∴，又，即，
∵，当且仅当时等号成立，
∴，即，可得，
∴，在时等号成立.
∴的最小值为6.
故选：A
【点睛】关键点点睛：由三角恒等变换、内切圆面积求角A及内切圆半径r，根据三角形面积公式得，圆切线的性质有，最后由余弦定理求的范围，结合向量数量积的定义求的范围.
二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．
9. 下列命题中错误的有（ ）
A. 的充要条件是且B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D.
【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误；
对于B：当时，则不一定平行，故B错误；
对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误；
对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确.
故选：ABC.
10. 在正六边形中，（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可求解AB，根据数量积的定义求解C，根据垂直关系，即可由投影向量的定义求解D.
【详解】,故A错误，
连接相交于，相交于，则，为，的中点,
由于,
所以,故B错误，
,故C正确，
由于故故，
所以在上的投影向量为，D正确，
故选：CD

11. 如图，的内角，所对的边分别为．若，且，是外一点，，则下列说法．正确的是（ ）

A. 是等边三角形
B. 若，则四点共圆
C. 四边形面积最小值为
D. 四边形面积最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简条件式可判定A，由余弦定理可判定B，设，由正弦定理结合三角函数的性质可判定C、D
【详解】由正弦定理，
得，
，
是等腰的底角，，
是等边三角形，A正确；
对于B，若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，
但由于时，，∴B正确.
对于C、D，设，则
，，
所以四边形ABCD的面积，
，
，
，四边形ABCD的面积，
∴C不正确，D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分．
12. 已知，，且，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题得，得到，即得解.
【详解】因为，
所以.
所以，
所以.
故答案为：
13. 已知中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足，，，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意和余弦定理化简整理可得，进而可得，求出A，结合正弦定理求出，即可得出结果.
【详解】由余弦定理，得，
整理，得，
又，所以，
由，得，
由正弦定理，得，
所以，
又，得，，所以.
故答案为：.
14. 在锐角中，角的对边分别为，若 且. 则（i）_________ ；（ii）_________.
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【详解】分析：由结合余弦定理可算出的值，然后将，将切化弦即可解决问题
详解：∵
由余弦定理可得
∴，即

点晴：本题主要考查利用余弦定理解决问题，找出边的关系，在高中阶段，遇到切的问题需要利用同角三角函数基本关系式转化为弦的问题
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量与，，．
（1）设与的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相平行，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的数乘与加法的坐标公式计算可得，根据向量的夹角的坐标公式即可求解；
（2）根据向量的平行的坐标表示列方程求的值．
【小问1详解】
因为，，
所以，
所以，
则，，
．
【小问2详解】
，
，
由向量与互相平行可得，，
整理可得，，解得，．
16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案；
（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为，则，
所以，即，
因为，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，，
所以，即，
因为，所以，
所以，解得.
所以.
17. 如图，是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时.
（1）求两点间的距离；
（2）该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01）
【答案】（1）30海里
（2）南偏东；小时
【解析】
分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案；
（2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行.
【小问1详解】
依题意得，，
所以，
在中，由正弦定理得,
,
故（海里），
所以求两点间的距离为30海里.
【小问2详解】
依题意得，
在中，由余弦定理得，
所以（海里），
所以救搜船到达C处需要的时间为小时，
在中，由余弦定理得 ,
因为，
所以，
所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒
18. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角B的值；
（2）若，求面积的最大值．
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换化简计算即可求解；
（2）由（1），根据余弦定理计算可得，利用基本不等式计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解；
（3）由正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算可得，结合和正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
，由正弦定理，
得，
，又，
所以，又，
所以，即，又，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，由余弦定理，
得，即，
得，即，解得，
当且仅当时等号成立.
所以，
即的面积的最大值为.
【小问3详解】
由正弦定理得，则，
所以
，
由，，得，即，
所以，所以，得，
即，即的取值范围为.
19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．设，，，定义加法和数乘：，．对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；②，，；③，，，．
（2）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：
①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则．
【答案】（1）①线性相关，②线性相关，③线性相关
（2）向量，，线性无关，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义逐一判断即可；
（2）设，则，然后由条件得到即可；
（3）①如果某个，，然后证明都等于0即可；
②由可得，然后代入证明即可
【小问1详解】
对于①，设，则可得，所以线性相关；
对于②，设，则可得，所以，
所以线性相关；
对于③，设，则可得，
可取符合该方程，所以线性相关；
【小问2详解】
设，则
因为向量，，线性无关，所以，解得
所以向量，，线性无关
小问3详解】
证明：①，如果某个，
则
因为任意个都线性无关，所以都等于0
所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零
②因为，所以全不为零
所以由可得
代入可得
所以
所以，，
所以