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2024年河南省漯河市李集镇九年级中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年河南省漯河市李集镇九年级中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版），文件包含2024年河南省漯河市李集镇九年级中考一模数学模拟试题原卷版docx、2024年河南省漯河市李集镇九年级中考一模数学模拟试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 如图，数轴上，表示的数关于原点对称．若点表示的数为，则点表示的数为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴上，表示的数关于原点对称，可得，据此可得答案．
【详解】解：∵点表示的数为，
∴，
∵数轴上，表示的数关于原点对称，
∴，
∴点表示的数为，
故选：B．
2. 汉字是非常美丽的文字，在如图所示的4个汉字中，可以近似看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
3. 人力资源社会保障部新闻发言人、政策研究司副司长陈峰介绍，前三季度，就业形势保持总体稳定．至月延续实施阶段性降低失业和工伤保险费率、稳岗返还、一次性扩岗补助等政策，支出就业补助资金亿元．将数据“亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，先把亿转化为，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
详解】解：亿，
故选：．
4. 如图，是等腰三角形，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，先根据三角形内角和定理和等边对等角求出，再由两直线平行，同位角相等即可得到．
【详解】解： ∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，丗底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，完全平方公式，根据相关运算法则计算出各选项后再判断即可
【详解】解：A. ，故该选项计算错误，不符合题意；
B. 与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意；
故选：D
6. 如图，若是等边三角形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，由等边三角形可得，由圆周角定理可得，即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
故选：．
7. 某校体育课成绩考核采取综合评分法，由体育与健康行为、体能、知识与技能三个部分组成，已知某位同学的体育与健康行为得92分、体能得90分、知识与技能得86分，按照如图所示的成绩考核权重，这位同学的最终成绩为（ ）
A. 88分B. 89分C. 90分D. 91分
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查加权平均数，读懂题意，熟记加权平均数求解公式是解决问题的关键．根据加权平均数的公式求解即可得到答案．
【详解】解：依题意，这位同学的最终成绩为（分）
故选：C．
8. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质及根的判别式，先由抛物线的对称轴为直线得，然后根据根的判别式即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解得：，
∴，整理得：，
∴，
∴有两个不相等的实数根，
故选：．
9. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴负半轴交于点，连接．将向左上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，先求出、两点的坐标和对称轴，先确定三角形向左平移了个单位长度，求得的坐标，再确定三角形向上平移个单位，求得点的坐标，用待定系数法即可求解．
【详解】解：当时，，解得，，
当时，，
，，
对称轴为直线，
经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，
三角形向左平移个单位，即的横坐标为，
当时，，
，三角形向上平移个单位，
此时，
，
设直线的表达式为，
代入，，
可得
解得：，
故直线的表达式为，
故选：B．
10. 如图1，在中，，，点从的顶点出发，沿的路线运动，连接．设点运动的路程为，，关于的函数图象如图2所示．已知点的纵坐标是5，点的横坐标是7，则函数图象与轴交点的横坐标分别是（ ）
A. 4和B. 3和9C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据点D的纵坐标和点F的横坐标得到，，设，则，利用勾股定理建立方程求出；当第一次时，此时点P在线段上，且，则，解得；当第二次时，此时点P为线段的中点，则，据此可得答案．
【详解】解：∵点的纵坐标是5，
∴当时，，
∴当点P在点A处时，，
∴，
∵点的横坐标是7，且此时y的值最小，
∴当时，点P运动到了点C处，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
当第一次时，此时点P在线段上，且，
∵，
∴，
解得；
当第二次时，此时点P为线段的中点，则；
综上所述，函数图象与轴交点的横坐标分别是和，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____．
【答案】x＞3
【解析】
【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
12. 若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值，根据方程组的解代入方程，可得关于，的方程组，然后解方程组求出、后代入即可得答案，理解二元一次方程组的解，正确求出、是解题的关键．
【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
13. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个黄球，另一个装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，则摸出的两个球颜色相同的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图的知识，列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有2种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为，
故答案为．
14. 如图，直线与相切于点，过圆上一点作的垂线，垂足为，垂线段交于另一点．已知的半径为，，则线段的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，作于，连接，，则，有，，可证明四边形是矩形，然后根据勾股定理和矩形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】作于，连接，，
∴，
∵切圆于，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理和解直角三角形，过作，由四边形矩形，得，，根据三角函数得，则，再由角所对直角边是斜边的一半可得，即有，当三点共线时，取得最小值，最后由三角函数即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：过作，
∵四边形矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴，
在中，，
即最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （）计算：；
（）计算：．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂分别运算，再合并即可求解；
（）利用分式的性质和运算法则进行计算即可求解；
本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式
，
；
（）原式
，
，
，
．
17. 某中学为了解该校教师对中国共产党党史知识的学习情况，在七年级和八年级教师中举行有关党史知识的测试活动．现从七、八两个年级中各随机抽取名教师的测试成绩（满分分，分及分以上为合格；分及分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
．七年级名教师的测试成绩为：；
．八年级名教师测试成绩的频数分布直方图如图所示：
．两个年级抽取的教师的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：
请你根据上面提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，上表中________，________，________；
（2）已知该校七、八年级共名教师参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩优秀的教师人数；
（3）根据样本统计数据，你认为该校七、八年级中哪个年级教师掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）补图见解析，，，；
（2）名；
（3）八年级教师掌握党史知识较好，理由见解析．
【解析】
【分析】（）求出八年级的学生即可补全频数分布直方图，根据平均数、众数、优秀率的定义即可求出；
（）用乘以七、八年教师测试成绩为优秀的占比即可求解；
（）根据平均数、中位数、优秀率即可解答；
本题考查了频数分布直方图，平均数、众数、优秀率，样本估计总体，掌握统计有关知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：由频数分布直方图可得，分分的学生数为名，
∴补全频数分布直方图如下:
由七年级教师的测试成绩可得，
平均数，
众数，
优秀率，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：七、八年教师测试成绩为优秀的人数为名，
∴，
答：估计参加此次测试活动成绩优秀的教师人数为名；
【小问3详解】
解：八年级教师掌握党史知识较好，理由：八年级教师测试成绩的平均数、中位数、优秀率都高于七年级教师的，所以八年级教师掌握党史知识较好．
18. “鸭翼”是指设计在飞机前部的水平翼，又称为前翼，因早期鸭式飞机的前翼很像鸭子的蹼而得名，除了增加升力，它还有利于保持飞机的飞行稳定性和可控性．小慧在学习过锐角三角函数的相关知识后，想利用所学知识制作出一个简易飞机模型．该模型的鸭翼部分如图所示，已知，，且，，请帮助小慧计算出的长度．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，得出四边形是矩形，进而解得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
依题意，则四边形是矩形，
∵，
∴
∵，
∴,
在中，，，
∴
∴
即的长约为
19. 冬季来临，天气越来越冷，某商场进货员采购一批保暖衣以应对市场需求．已知进货员用元购进这批保暖衣，面市后供不应求；该进货员又用元购进了第二批同款保暖衣，所购数量是第一批的倍，但每件的进价贵了元．
（1）该商场购进第一批、第二批保暖衣每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批保暖衣按相同的标价销售，最后缺码的件按五折优惠售出，要使两批保暖衣全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件保暖衣的标价至少是多少元？
【答案】（1）该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元；
（2）每件保暖衣的标价至少是元．
【解析】
【分析】（）设该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元，由所购数量是第一批的倍列出分式方程即可；
（）设每件保暖衣的标价是元，根据两批保暖衣全部售完后利润率不低于列出不等式即可求解；
本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．
【小问1详解】
解：设该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元，
由题意得：，解得，
经检验是分式方程的解，
则第二批保暖衣每件的进价是元，
答：该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元；
【小问2详解】
（件），
设每件保暖衣的标价是元，
由题意得：，
解得：，
答：每件保暖衣的标价至少是元．
20. 如图，中，．
（1）请利用尺规作边的垂直平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，试猜想，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角和三角形外角的性质等等：
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，则由等边对等角和三角形外角的性质得到，进而求出，可得，即．
【小问1详解】
【小问2详解】
解：，证明如下：
由线段垂直平分线的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻（）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量（）变化的关系图象如图2所示，（）为定值电阻，电源电压恒定不变．
（1）请根据图2，判断气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成________函数，它的函数解析式为________；
（2）已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准；
（3）该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？
【答案】（1）反比例；
（2）该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准
（3）此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）观察函数图象可知是反比例函数，然后利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时，，即可得到结论；
（3）求出当时，，即可得到结论．
【小问1详解】
解：由函数图象可知，气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成反比例函数，
设，
把代入中得，
∴，
故答案为：反比例；；
【小问2详解】
解：在中，当时，，解得，
∵，
∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准；
【小问3详解】
解：在中，当时，，
∴，
∴此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高．
22. 某医院在偏远山区组织了一次免费体检活动，包含血常规检查，当天早上居民陆续到抽血点排队，设置了个采样速度相同的抽血窗口，并在上午点半开始抽血，点整之后不再有新增的排队居民．医护志愿者小聪就排队采样的时间和排队人数进行了统计，列表如下：
小聪把表格中的数据在平面直角坐标系中描点连线，得到如图所示的函数图象．在分钟，是的二次函数（点是其图象的顶点），在分钟，是的一次函数．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）若排队人数不少于人，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续了多少分钟？
【答案】（1）；
（2）满负荷状态的时间为分．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法求出二次函数解析式和一次函数解析式即可；
（）将分别代入两个函数求出，相减即可得出答案；
本题考查了二次函数图象与性质，一次函数图象与性质的实际应用，解题的关键是正确提取图象信息，正确求解解析式．
【小问1详解】
设二次函数解析式为：，
将代入得，
∴曲线部分的函数解析式为：，
设一次函数解析式为：，将，代入，
，
解得：，，
∴一次函数解析式为：，
∴与之间的函数关系式；
【小问2详解】
当时，中，
解得：或 (舍去)，
当时，，
解得： ，
∴，
∴满负荷状态的时间为分．
23. 定义：若一个三角形的面积是另一个三角形面积的倍，就说这个三角形是另一个三角形的“倍三角形”，另一个三角形是这个三角形的“分之一三角形”．如图1，的中线把三角形分成面积相等的两部分，即和的面积都是面积的一半，所以是或的“2倍三角形”，和都是的“2分之一三角形”．
（1）①如图2，是的“2倍三角形”，那么是的“________分之一三角形”；
②若点是的重心，连接，，则是的“________倍三角形”；
（2）在中，，分别延长边，到点，，连接．已知，是的“16倍三角形”．求证：与是相似三角形；
（3）如图3，在矩形中，，连接，过点作于点，点，分别是线段，上的动点，连接，．已知是的“4倍三角形”，求的最小值．
【答案】（1）①3；②3
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）①首先根据题意得到的面积是面积的3倍，然后根据“分之一三角形”的概念求解即可；
②根据题意画出图形，设，求出，然后根据三角形重心的性质和中线的性质表示出，进而根据“倍三角形”的概念求解即可；
（2）根据题意画出图形，连接，根据三角形中线的性质和“倍三角形”的性质得到，进而求出，然后得到，，进而得到，结合即可证明出；
（3）作点C关于的对称点，点Q关于的对称点，连接，，，根据题意得到的面积是面积的4倍，的面积是面积的3倍，然后证明出，得到，求出，然后得到，，然后证明出当点E，P，三点共线时，有最小值，即的长度，当时，最小，然后求出，，然后利用特殊角的三角函数值求解即可．
【小问1详解】
①∵是的“2倍三角形”，
∴的面积是面积的2倍，
∴的面积是面积的3倍，
∴是的“3分之一三角形”；
②如图所示，点D是的中点，点O是是的重心
∵点D是的中点
∴设
∴
∵点O是的重心
∴
∴
∴
∴
∴是的3倍
∴是的“3倍三角形”；
【小问2详解】
如图所示，连接，
∵
∴
∴
∵是的“16倍三角形”
∴
∴
∴
∴
∴，即
∵，
∴
∴，
∴
又∵
∴；
【小问3详解】
如图所示，作点C关于的对称点，点Q关于的对称点，连接，，
∵是的“4倍三角形”，
∴的面积是面积的4倍
∴的面积是面积的4倍
∴的面积是面积的3倍
∵
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵的面积是面积的3倍
∴
∴
∵点C关于的对称点
∴
∵点C关于的对称点，点Q关于的对称点
∴
∴
∴当点E，P，三点共线时，有最小值，即的长度，
∴当时，最小
∵，，
∴
∴
由对称性质可得，
∴
∴．
∴的最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，轴对称性质，三角形重心的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解．白
白
红
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
黄
（白，黄）
（白，黄）
（红，黄）
年级
平均数
众数
中位数
优秀率
七
八
时间／分钟
排队人数／人
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 如图，数轴上，表示的数关于原点对称．若点表示的数为，则点表示的数为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴上，表示的数关于原点对称，可得，据此可得答案．
【详解】解：∵点表示的数为，
∴，
∵数轴上，表示的数关于原点对称，
∴，
∴点表示的数为，
故选：B．
2. 汉字是非常美丽的文字，在如图所示的4个汉字中，可以近似看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
3. 人力资源社会保障部新闻发言人、政策研究司副司长陈峰介绍，前三季度，就业形势保持总体稳定．至月延续实施阶段性降低失业和工伤保险费率、稳岗返还、一次性扩岗补助等政策，支出就业补助资金亿元．将数据“亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，先把亿转化为，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
详解】解：亿，
故选：．
4. 如图，是等腰三角形，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，先根据三角形内角和定理和等边对等角求出，再由两直线平行，同位角相等即可得到．
【详解】解： ∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，丗底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，完全平方公式，根据相关运算法则计算出各选项后再判断即可
【详解】解：A. ，故该选项计算错误，不符合题意；
B. 与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意；
故选：D
6. 如图，若是等边三角形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，由等边三角形可得，由圆周角定理可得，即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
故选：．
7. 某校体育课成绩考核采取综合评分法，由体育与健康行为、体能、知识与技能三个部分组成，已知某位同学的体育与健康行为得92分、体能得90分、知识与技能得86分，按照如图所示的成绩考核权重，这位同学的最终成绩为（ ）
A. 88分B. 89分C. 90分D. 91分
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查加权平均数，读懂题意，熟记加权平均数求解公式是解决问题的关键．根据加权平均数的公式求解即可得到答案．
【详解】解：依题意，这位同学的最终成绩为（分）
故选：C．
8. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质及根的判别式，先由抛物线的对称轴为直线得，然后根据根的判别式即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解得：，
∴，整理得：，
∴，
∴有两个不相等的实数根，
故选：．
9. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴负半轴交于点，连接．将向左上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，先求出、两点的坐标和对称轴，先确定三角形向左平移了个单位长度，求得的坐标，再确定三角形向上平移个单位，求得点的坐标，用待定系数法即可求解．
【详解】解：当时，，解得，，
当时，，
，，
对称轴为直线，
经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，
三角形向左平移个单位，即的横坐标为，
当时，，
，三角形向上平移个单位，
此时，
，
设直线的表达式为，
代入，，
可得
解得：，
故直线的表达式为，
故选：B．
10. 如图1，在中，，，点从的顶点出发，沿的路线运动，连接．设点运动的路程为，，关于的函数图象如图2所示．已知点的纵坐标是5，点的横坐标是7，则函数图象与轴交点的横坐标分别是（ ）
A. 4和B. 3和9C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据点D的纵坐标和点F的横坐标得到，，设，则，利用勾股定理建立方程求出；当第一次时，此时点P在线段上，且，则，解得；当第二次时，此时点P为线段的中点，则，据此可得答案．
【详解】解：∵点的纵坐标是5，
∴当时，，
∴当点P在点A处时，，
∴，
∵点的横坐标是7，且此时y的值最小，
∴当时，点P运动到了点C处，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
当第一次时，此时点P在线段上，且，
∵，
∴，
解得；
当第二次时，此时点P为线段的中点，则；
综上所述，函数图象与轴交点的横坐标分别是和，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____．
【答案】x＞3
【解析】
【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
12. 若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值，根据方程组的解代入方程，可得关于，的方程组，然后解方程组求出、后代入即可得答案，理解二元一次方程组的解，正确求出、是解题的关键．
【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
13. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个黄球，另一个装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，则摸出的两个球颜色相同的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图的知识，列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有2种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为，
故答案为．
14. 如图，直线与相切于点，过圆上一点作的垂线，垂足为，垂线段交于另一点．已知的半径为，，则线段的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，作于，连接，，则，有，，可证明四边形是矩形，然后根据勾股定理和矩形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】作于，连接，，
∴，
∵切圆于，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理和解直角三角形，过作，由四边形矩形，得，，根据三角函数得，则，再由角所对直角边是斜边的一半可得，即有，当三点共线时，取得最小值，最后由三角函数即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：过作，
∵四边形矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴，
在中，，
即最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （）计算：；
（）计算：．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂分别运算，再合并即可求解；
（）利用分式的性质和运算法则进行计算即可求解；
本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式
，
；
（）原式
，
，
，
．
17. 某中学为了解该校教师对中国共产党党史知识的学习情况，在七年级和八年级教师中举行有关党史知识的测试活动．现从七、八两个年级中各随机抽取名教师的测试成绩（满分分，分及分以上为合格；分及分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
．七年级名教师的测试成绩为：；
．八年级名教师测试成绩的频数分布直方图如图所示：
．两个年级抽取的教师的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：
请你根据上面提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，上表中________，________，________；
（2）已知该校七、八年级共名教师参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩优秀的教师人数；
（3）根据样本统计数据，你认为该校七、八年级中哪个年级教师掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）补图见解析，，，；
（2）名；
（3）八年级教师掌握党史知识较好，理由见解析．
【解析】
【分析】（）求出八年级的学生即可补全频数分布直方图，根据平均数、众数、优秀率的定义即可求出；
（）用乘以七、八年教师测试成绩为优秀的占比即可求解；
（）根据平均数、中位数、优秀率即可解答；
本题考查了频数分布直方图，平均数、众数、优秀率，样本估计总体，掌握统计有关知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：由频数分布直方图可得，分分的学生数为名，
∴补全频数分布直方图如下:
由七年级教师的测试成绩可得，
平均数，
众数，
优秀率，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：七、八年教师测试成绩为优秀的人数为名，
∴，
答：估计参加此次测试活动成绩优秀的教师人数为名；
【小问3详解】
解：八年级教师掌握党史知识较好，理由：八年级教师测试成绩的平均数、中位数、优秀率都高于七年级教师的，所以八年级教师掌握党史知识较好．
18. “鸭翼”是指设计在飞机前部的水平翼，又称为前翼，因早期鸭式飞机的前翼很像鸭子的蹼而得名，除了增加升力，它还有利于保持飞机的飞行稳定性和可控性．小慧在学习过锐角三角函数的相关知识后，想利用所学知识制作出一个简易飞机模型．该模型的鸭翼部分如图所示，已知，，且，，请帮助小慧计算出的长度．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，得出四边形是矩形，进而解得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
依题意，则四边形是矩形，
∵，
∴
∵，
∴,
在中，，，
∴
∴
即的长约为
19. 冬季来临，天气越来越冷，某商场进货员采购一批保暖衣以应对市场需求．已知进货员用元购进这批保暖衣，面市后供不应求；该进货员又用元购进了第二批同款保暖衣，所购数量是第一批的倍，但每件的进价贵了元．
（1）该商场购进第一批、第二批保暖衣每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批保暖衣按相同的标价销售，最后缺码的件按五折优惠售出，要使两批保暖衣全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件保暖衣的标价至少是多少元？
【答案】（1）该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元；
（2）每件保暖衣的标价至少是元．
【解析】
【分析】（）设该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元，由所购数量是第一批的倍列出分式方程即可；
（）设每件保暖衣的标价是元，根据两批保暖衣全部售完后利润率不低于列出不等式即可求解；
本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．
【小问1详解】
解：设该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元，
由题意得：，解得，
经检验是分式方程的解，
则第二批保暖衣每件的进价是元，
答：该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元；
【小问2详解】
（件），
设每件保暖衣的标价是元，
由题意得：，
解得：，
答：每件保暖衣的标价至少是元．
20. 如图，中，．
（1）请利用尺规作边的垂直平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，试猜想，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角和三角形外角的性质等等：
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，则由等边对等角和三角形外角的性质得到，进而求出，可得，即．
【小问1详解】
【小问2详解】
解：，证明如下：
由线段垂直平分线的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻（）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量（）变化的关系图象如图2所示，（）为定值电阻，电源电压恒定不变．
（1）请根据图2，判断气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成________函数，它的函数解析式为________；
（2）已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准；
（3）该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？
【答案】（1）反比例；
（2）该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准
（3）此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）观察函数图象可知是反比例函数，然后利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时，，即可得到结论；
（3）求出当时，，即可得到结论．
【小问1详解】
解：由函数图象可知，气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成反比例函数，
设，
把代入中得，
∴，
故答案为：反比例；；
【小问2详解】
解：在中，当时，，解得，
∵，
∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准；
【小问3详解】
解：在中，当时，，
∴，
∴此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高．
22. 某医院在偏远山区组织了一次免费体检活动，包含血常规检查，当天早上居民陆续到抽血点排队，设置了个采样速度相同的抽血窗口，并在上午点半开始抽血，点整之后不再有新增的排队居民．医护志愿者小聪就排队采样的时间和排队人数进行了统计，列表如下：
小聪把表格中的数据在平面直角坐标系中描点连线，得到如图所示的函数图象．在分钟，是的二次函数（点是其图象的顶点），在分钟，是的一次函数．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）若排队人数不少于人，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续了多少分钟？
【答案】（1）；
（2）满负荷状态的时间为分．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法求出二次函数解析式和一次函数解析式即可；
（）将分别代入两个函数求出，相减即可得出答案；
本题考查了二次函数图象与性质，一次函数图象与性质的实际应用，解题的关键是正确提取图象信息，正确求解解析式．
【小问1详解】
设二次函数解析式为：，
将代入得，
∴曲线部分的函数解析式为：，
设一次函数解析式为：，将，代入，
，
解得：，，
∴一次函数解析式为：，
∴与之间的函数关系式；
【小问2详解】
当时，中，
解得：或 (舍去)，
当时，，
解得： ，
∴，
∴满负荷状态的时间为分．
23. 定义：若一个三角形的面积是另一个三角形面积的倍，就说这个三角形是另一个三角形的“倍三角形”，另一个三角形是这个三角形的“分之一三角形”．如图1，的中线把三角形分成面积相等的两部分，即和的面积都是面积的一半，所以是或的“2倍三角形”，和都是的“2分之一三角形”．
（1）①如图2，是的“2倍三角形”，那么是的“________分之一三角形”；
②若点是的重心，连接，，则是的“________倍三角形”；
（2）在中，，分别延长边，到点，，连接．已知，是的“16倍三角形”．求证：与是相似三角形；
（3）如图3，在矩形中，，连接，过点作于点，点，分别是线段，上的动点，连接，．已知是的“4倍三角形”，求的最小值．
【答案】（1）①3；②3
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）①首先根据题意得到的面积是面积的3倍，然后根据“分之一三角形”的概念求解即可；
②根据题意画出图形，设，求出，然后根据三角形重心的性质和中线的性质表示出，进而根据“倍三角形”的概念求解即可；
（2）根据题意画出图形，连接，根据三角形中线的性质和“倍三角形”的性质得到，进而求出，然后得到，，进而得到，结合即可证明出；
（3）作点C关于的对称点，点Q关于的对称点，连接，，，根据题意得到的面积是面积的4倍，的面积是面积的3倍，然后证明出，得到，求出，然后得到，，然后证明出当点E，P，三点共线时，有最小值，即的长度，当时，最小，然后求出，，然后利用特殊角的三角函数值求解即可．
【小问1详解】
①∵是的“2倍三角形”，
∴的面积是面积的2倍，
∴的面积是面积的3倍，
∴是的“3分之一三角形”；
②如图所示，点D是的中点，点O是是的重心
∵点D是的中点
∴设
∴
∵点O是的重心
∴
∴
∴
∴
∴是的3倍
∴是的“3倍三角形”；
【小问2详解】
如图所示，连接，
∵
∴
∴
∵是的“16倍三角形”
∴
∴
∴
∴
∴，即
∵，
∴
∴，
∴
又∵
∴；
【小问3详解】
如图所示，作点C关于的对称点，点Q关于的对称点，连接，，
∵是的“4倍三角形”，
∴的面积是面积的4倍
∴的面积是面积的4倍
∴的面积是面积的3倍
∵
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵的面积是面积的3倍
∴
∴
∵点C关于的对称点
∴
∵点C关于的对称点，点Q关于的对称点
∴
∴
∴当点E，P，三点共线时，有最小值，即的长度，
∴当时，最小
∵，，
∴
∴
由对称性质可得，
∴
∴．
∴的最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，轴对称性质，三角形重心的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解．白
白
红
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
黄
（白，黄）
（白，黄）
（红，黄）
年级
平均数
众数
中位数
优秀率
七
八
时间／分钟
排队人数／人
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