2024年山东省庆云县中考第一次练兵考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷（选择题共48分）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数求解即可．
【详解】解：由相反数的定义可知，的相反数是，
故选：B．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
3. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
4. 某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】从正面看到的图形如图所示：
，
故选C．
5. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的加减运算法则、整式的乘除运算法则，掌握相关法则是解题的关键．根据整式运算法则逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，故本选项运算错误，不符合题意；
B. ，故本选项运算错误，不符合题意；
C. ，本选项运算正确，符合题意；
D. ，故本选项运算错误，不符合题意．
故选：C．
6. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象，由函数的性质可以解答．
【详解】解：由图可知：
A、函数值具有对称性．在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意；
C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意；
D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解函数的增减性的定义是解题的关键．
7. 如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质，得出 ，，进而得到，在中，由特殊锐角的三角函数可求即可．
【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解题的关键．
8. 已知直线与直线交于点，若点的横坐标为3，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据交点的横坐标为3，可得，得到，代入解不等式即可．
【详解】解：∵直线与直线交于点，若点的横坐标为3，
∴当时，，整理得到，
∴代入得，
解得，
故选：B．
9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（ ）

A. 2B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10. 《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人乘一车，最终剩余9人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可；
【详解】由题意可列出方程，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．
11. 如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）

A. 54B. 52C. 50D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．

故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
12. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解．
【详解】解：过点D作交的延长线于点N，
由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，
即，，，
由题意得，，解得，
在中，，则，
，
则，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，确定a、b和x之间的关系是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，请将正确答案填在相应的横线上；每小题填对得4分，错填、不填，均计0分）
13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
14. 分解因式：___．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式即可
【详解】解：．
故答案为: .
15. 将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则____________．（“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图、方差的意义等知识，理解数据波动小的方差小是解题的关键．根据折线统计图可得甲的数据波动较小，进而根据方差的意义即可求解．
【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较小，
则．
故答案为：．
16. 如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则_____度．
【答案】140
【解析】
【分析】首先根据圆内接四边形的性质得，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出的度数．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
又∵，
∴，
∴°．
故答案为：140．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的对角互补，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键．
17. 如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是_____（填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．

【答案】①
【解析】
【分析】先求的顶点为，再求时的值即可判断．
【详解】解：由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；
故答案为：①．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的应用，充分利用函数表达式是关键．
18. 如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，则______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
过点B作轴于点D，交于点E，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
令，
则，
解得：，，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为： 2．
三、解答题（本大题有7个小题，共78分；解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. （1）化简：．
（2）解一元一次不等式组．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查分式的加减乘除混合运算，解一元一次不等式组．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可；
（2）根据不等式的性质，分别解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．
详解】解：（1）
；
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
20. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试的成绩如下表：
（1）如果将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么谁将被录用？
（2）如果你是这家公司的招聘者，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的比例，说一说你这样设计比例的理由；
（3）根据你设定的比例，计算甲、乙、丙三名应聘者的得分，从而确定录用者.
【答案】（1）丙将被录用
（2）学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，这样设计的理由是应聘者的能力比学历、态度和经验更重要，学历和态度是又是应聘者必备的条件，而经验可以培养的
（3）乙将被录用
【解析】
【分析】（1）计算算术平均数即可；
（2）根据各项“重要程度”设计四项得分的比例即可；
（3）根据设定的比例，计算加权平均数即可．
【小问1详解】
甲的得分为，
乙的得分为，
丙的得分为，
∵，
∴丙将被录用．
【小问2详解】
将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，这样设计的理由是应聘者的能力比学历、态度和经验更重要，学历和态度是又是应聘者必备的条件，而经验可以培养的（答案不唯一，理由合理即可）．
【小问3详解】
将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例计算每人的最终得分为，
甲的得分为，
乙的得分为，
丙的得分为，
∵，
∴乙将被录用．
【点睛】本题主要考查了算术平均数和加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义．
21. 在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

【答案】铜像的高度是；
【解析】
【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴铜像的高度是；
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出．
22. （1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．

从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）（2）
【解析】
【分析】（1）一：已知条件为②，结论为①与相切；连接，先证出，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①与相切，结论为②；连接，先证出，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的性质即可得证；
（2）连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定与性质可得的长，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：（1）一：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下：
如图，连接，

，
，
弦平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
与相切；
二：已知条件①与相切，结论为②，证明如下：
如图，连接，

，
，
弦平分，
，
，
，
与相切，
，
；
（2）如图，连接，

，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
由圆周角定理得：，
则阴影部分的面积为
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
23. 红灯笼，象征着阖家家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
①填空：与之间的函数关系式是___________；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元?
【答案】（1）甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；
（2）①；②乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
【解析】
【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
【小问1详解】
解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，由题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；
【小问2详解】
解：①，
答：y与x之间的函数解析式为：；
②∵，
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴，
∴，
∵时，y随x的增大而增大，
∴当时，．
．
答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
【点睛】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
24. 【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】
（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据证明即可；
（2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出；
（3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出．
【详解】（1）证明：在正方形中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图1，作于点N，如图所示：

∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵， ，
∴，
∴．
∵，
∴，
如图2，作于点N，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1）若点的坐标为，
①求此时二次函数的解析式；
②当时，函数值的取值范围是，求的值；
（2）将该二次函数图象在轴上方部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值随的增大而增大，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）①；②；
（2）的取值范围是或．
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题的关键．
（1）①先根据二次函数为，得到对称轴为直线，把代入解析式求得或，根据题意点在对称轴右侧，即，则，即可求得抛物线的解析式；②根据开口方向和对称轴顶点，当时，函数取得最大值3，当时，函数取得最小值，在范围内，解得；
（2）令，得，解得，与，根据题意得到①，②且，即可求得的取值范围是或．
【小问1详解】
解：①二次函数为 对称轴为直线，
令，有，解得或
为该二次函数图象与轴靠右侧的交点，
点在对称轴右侧．
，故．
二次函数解析式为
②由于二次函数开口向下，且对称轴为直线，
时，函数值随的增大而减小；
当时，函数取得最大值3；
当时，函数取得最小值
在范围内，解得；
【小问2详解】
解：令，得，解得
将函数图象在轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小；
当时，随增大而增大；
当时，随的增大而减小．
因此，若当时，随的增大而增大，结合图象有：
①，即时符合题意；
②且，即时符合题意．
综上，的取值范围是或．项目
应聘者
甲
乙
丙
学历
9
8
8
经验
8
6
9
能力
7
8
8
态度
5
7
5