新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题21椭圆解答题压轴题（教师版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题21椭圆解答题压轴题（教师版），共71页。试卷主要包含了已知椭圆，已知椭圆C，已知椭圆的离心率为，且过点等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知椭圆：的左､右顶点分别为，下顶点为.
(1)设点为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点.直线于轴交于点，求四边形的面积；
(2)设直线l与椭圆交于不同于右顶点的两点，且，求的最大值.
【答案】(1)四边形的面积为定值2
(2)
（1）
因为椭圆的方程为，所以.
设，则，即.
，则直线的方程为：，
令，得；
同理，直线的方程为：，
令，得.
所以
.
即四边形的面积为定值2.
（2）
由题意知，直线的斜率不为0，
则不妨设直线的方程为.
联立消去得，
，化简整理，得.
设，则.
因为，所以.
因为，所以，
得，
将代入上式，
得，
得，
解得或（舍去），.
所以直线的方程为，则直线恒过点，
所以.
设，则，
易知在上单调递增，
所以当时，取得最大值.
又，
所以.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．
(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；
(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
证明：不妨弦、过椭圆的左焦点，其中，，.
当、中有一条为长轴时，另一条为过焦点且平行于短轴的弦，
联立可得，故该过焦点且平行于短轴的弦长为，
则；
当、中没有一条为长轴时，设，，
联立直线与椭圆方程得，
，
由韦达定理可得，，
根据弦长公式有．
用替换上式中的即得．
因此．
综上，．
（2）
证明：分以下两种情况讨论：
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，
联立，则，则．
用替换上式中的即得．
因此．
当、中有一条斜率不存在时，另一条斜率为，
此时，因此.
综上所述，.
3．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P为x轴上的点，经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，且.证明；.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
(1)
设椭圆的半焦距为，
由，，
可得，，
则，，，
所以椭圆的标准方程为.
(2)
设MN的中点为H，连接PH，
由，可得，
故直线HP为线段MN的垂直平分线.
设直线：，代入到椭圆方程，
整理得：，
设，，，，
则，，
所以
，
，，
因为，
则有直线的方程：，
令，，
即，
则有，又，
所以.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
(1)
解：由题可知，，
又，故，
所以椭圆的方程为：.
(2)
证明：当直线斜率不存在时，
此时．
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由，得．
设，
则有，
，
因为，所以直线的方程为，
同理，
所以，
综上为定值．
5．（2022·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
圆O：与x轴的交点为，
即椭圆C的左顶点及右焦点分别为，
故 ，故 ，
所以椭圆C的方程为：；
(2)
当直线，中，有一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0时，
弦长分别为 ，此时；
当直线，斜率都存在时，设,
联立，可得，，
，
，
同理，
，
令 ，则 ，
，
因为，所以，
所以的取值范围为.
6．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为，求；
(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
（1）
根据题意得：，
∴抛物线方程：，椭圆方程：
联立抛物线与椭圆：，整理得：（舍）
∴
∴
（2）
设
联立与椭圆：，整理得：
所以
弦长公式：
联立与抛物线：，整理得：
所以
弦长公式：
联立与，∴
P在抛物线上：，
整理得：，即
∴
∴的最大值为，当时取到最大值．
7．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，，，若的最小值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且，当的面积S最大时，求．
【答案】(1)
(2)
(1)
设点，由题意知，，
则，
当时，取得最小值，即，
，故椭圆C的标准方程为；
(2)
设，，，则
由得
，，
则点O到直线的距离，
，
S取得最大值，当且仅当，即，①
此时，，
即，代入①式整理得，
即点M的轨迹为椭圆，
且点，为椭圆的左、右焦点，即.
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a>b> 0）的左、右焦点分别为F1（-c， 0）， F2（c，0）.已知（1， e）和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率. A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2 与BF1交于点P.
（1）求椭圆的方程∶
（2）若，求直线AF1的斜率；
（3）求证∶是定值.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【详解】解∶（1）由题设知，.由点（1， e）在椭圆上，
得，解得..于是，
又点在椭圆上，所以，即，解得.
因此，所求椭圆的方程是.
（2）由（1）知，，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为.直线BF2的方程为.设A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0， y2>0.
由，得， 解得
故 ①
同理， ②
由①②得、解得.注意到m>0，
故.所以直线AF1的斜率为
（3）因为直线AF1与BF2平行，所以，于是，
故，由B点在椭圆上知，
从而.同理
因此，
又由①②知，
所以，因此，是定值.
②椭圆的中点弦问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右顶点恰好为圆A：的圆心，且圆A上的点到直线：的距离的最大值为．
(1)求C的方程；
(2)过点（3，0）的直线与C相交于P，Q两点，点M在C上，且，弦PQ的长度不超过，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
(1)
圆化为标准方程：，圆心，半径，
椭圆的右顶点标准为，即，
圆心到直线的距离，
圆上的点到直线的距离的最大值为，
，
解得，
椭圆的方程为．
(2)
由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，，，，，
联立方程，消去得，
，
解得，
，，
，
因为
所以可解得，所以
设中点，所以，，
，，
，
直线的方程为，
，为直线与椭圆的交点，
联立方程，解得，
，或，，
，或，，
，
，
，
又，，
，或
即实数的取值范围为
2．（2022·上海·高三阶段练习）我们把椭圆和称为“相似椭圆”“相似椭圆”具有很多美妙的性质．过椭圆上任意一点P作椭圆的两条切线，切点分别为A、B，切线、与椭圆另一个交点分别为Q、R．
(1)设，证明:直线是过A的椭圆的切线；
(2)求证：点A是线段的中点；
(3)是否存在常数，使得对于椭圆上的任意一点P，线段的中点M都在椭圆上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在，
(1)
联立，消去整理得，
即，从而.
又点满足直线方程，
故直线是过A的椭圆的切线.
(2)
由（1）得直线的方程为
联立，消去整理得
即，从而，即点是是线段的中点.
(3)
假设存在常数满足题意，设，
将点分别代入
得，故直线的方程为
联立，消去整理得，
即，
同理，消去，得
由（2）得，
从而中点
代入，得
即
即
整理得，解得或（舍去）.
综上，存在常数满足题意.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．
【答案】(1)
(2)大小关系不确定；证明见解析
(1)
由内切圆的性质得，
所以曲线E是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆，且A，B，C不共线，
则，，
故E的方程为．
(2)
当T不为坐标原点时，设，则
两式相减得，即，
所以，设，
联立方程组整理得，
．
因为T是线段的中点，所以
．
联立方程组解得．
联立方程组解得，
所以，
故．
当T为坐标原点时，由对称性知，与的大小关系不确定．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过左焦点且与轴垂直的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，为椭圆上两点，为坐标原点，斜率为的直线经过点，若，关于对称，且，求的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【详解】（1）设，则，
令，则，从而，即，又，即，
∴，，故椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，当时，不符合题意．
当时，设直线，联立椭圆方程，整理得，，即①．
设，，则，，
∴，．
∴的中点在直线上，则，整理得②．
②式代入①式整理得，解得或．
又，即，整理得③．
将②式代入③得，解得，满足或，
∴，故直线的方程为或．
5．（2022·全国·高二课时练习）设点和分别是椭圆上不同的两点，线段最长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】(1)因为线段最长为4，所以，即，
所以椭圆的标准方程为．
(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，
联立，整理得，
由，可得．
设，，则，，
所以．
因为，所以，
即，故．
设直线的斜率为，
因为，两式相减得，
所以，则，
故直线的斜率的取值范围是．
6．（2022·湖南·长郡中学高二期末）已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）依题意：，因此，椭圆E的标准方程为；
（2）设、，
则的中点在线段上，且，则，
又，两式相减得：，
可得，
易知：，，，
设直线的方程为，
联立得.
所以，，可得，
由韦达定理可得，，
又，所以，
，
原点到直线的距离为，
，
，则，所以，.
③椭圆中的最值问题
1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.
(1)求的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
（1）
由题意可知直线的方程为：， 即，
令，解得，所以，
椭圆过点，
可得， 解得，
所以的方程： ；
（2）
设，
由题意得直线斜率不为零， 设， 代入到椭圆，
由得，即
所以,
由， 得， 即，
所以，
所以，
所以，
化简得，
所以或，
若，则直线过椭圆的左顶点，不适合题意，所以，
所以过定点，
因为为垂足，
所以在以为直径的圆上，，的中点为，
又，所以，
所以的最大值为，
即的最大值为.
2．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
（1）
，，
∴，
又，即，
解得：，，
椭圆的标准方程为；
（2）
当直线AB的斜率不存在时，，
不妨设，则
当直线AB的斜率存在时，设，
由，
恒成立，
故，
∴
，
综上：，
故的取值范围为．
3．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
（1）
因为点在椭圆上，所以，①
因为点在椭圆外，且，所以，即，②
由①②解得，，
故椭圆的方程为．
（2）
设点，，设直线：，
由椭圆性质以及点的横坐标大于1可知，，
将直线代入方程并化简可得，，
即，
因为直线与椭圆有且仅有一个交点，
所以，即．
直线的方程为：；直线的方程为：，
联立方程得，同理得，
所以，
所以，，
所以
，
令，则，
当且仅当，即时，不等式取等号，
故当时，取得最小值．
4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
（1）
由已知可得：，解得：，，
∴椭圆的方程为：.
（2）
∵，
设的直线方程为：，，，
联立方程：，
整理得：，
∴，，
∵，，
，
即，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
∴，
，
∴，
令，
则，
由对勾函数单调性知，，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为.
5．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设有椭圆方程，直线，下端点为，左､右焦点分别为在上.
(1)若中点在轴上，求点的坐标；
(2)直线与轴交于，直线经过右焦点，且，求；
(3)在椭圆上存在一点到距离为，使，当变化时，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
（1）
因为左焦点，所以，由题知，所以，，
又因为中点在轴上，所以点的纵坐标为1，代入中的，
所以点坐标为.
（2）
如图，设直线与轴交点为，
因为直线为，所以直线的倾斜角为，
①，
由题意知，，，，所以在中，，，
所以，整理可得，解得或，
又因为，所以，舍去，.
（3）
设直线平移后与椭圆相切的直线方程为，联立，
得，，所以，
因为椭圆上存在点到直线的距离为，，即
所以①，同时，
又因为，所以①式右侧肯定成立，左侧可以整理为，
解得，
因为，所以当取得最小值时，有最大值，最大值为.
6．（2022·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
（1）
设动圆的半径为，圆心的坐标为
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
动圆与圆内切，且与圆外切，
动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，
其中
从而轨迹的方程为：
（2）
（i）设直线的方程为，则
由可得：
直线的方程为，
令可得点的横坐标为：
为一个定点，其坐标为
（ii）根据（i）可进一步求得：
.
，
则
，
四边形面积
（法一）
等号当且仅当时取，即时，
（法二）令，
则
当，即时，
7．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
（1）
设椭圆C的焦距为，则，即，
所以，即，
又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，
所以，即，
综上解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）
易得，设，则，联立直线l与椭圆C的方程，得，
则．
又，
易知与同号，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为．
8．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.
【答案】(1)；
(2)24，或.
(1)
椭圆E：的离心率e，则，即，又，解得，
所以椭圆E的方程为.
(2)
由（1）知，，设直线l的方程为，，
由消去x并整理得：，则，，
，
线段MN的中点，则线段的中垂线方程为：，
令，得，即点，，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取得最小值24，此时直线l的方程为或.
【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点，间的距离；
直线l：x=my+t上两点，间的距离.
9．（2022·上海虹口·高二期末）已知椭圆的两个顶点，，且其离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点的直线与其相交于，两点，若（为坐标原点），求直线的方程；
(3)设为椭圆上的一个异于，的动点，直线，分别与直线相交于点，，试求的最小值
【答案】(1)
(2)
(3)
(1)
由条件，解得，．故椭圆的方程为．
(2)
易知椭圆右焦点的坐标为，设直线的方程为，
，，则由，得，
显然．于是，①
因，故，即
，
于是②
将①代入②：，解得．
故直线的方程为：．（或写成．）
(3)
解法1：设，，，则．
因，故直线的方程为，其与直线的交点的横坐标为；
又，故直线的方程为，其与直线的交点的横坐标为．
于是，即．
故．
当且仅当，即点坐标为或时，取得最小值．
解法2：设，，，则，故
．
于是由，得．
故．
当且仅当时，即点坐标为或时，取得最小值．
10．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求E的方程；
(2)设E的左、右顶点分别为A，B，点C，D为E上与A，B不重合的两点，且．
①证明：直线CD恒过定点；
②求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2).
(1)
依题意，椭圆E的离心率，即，椭圆过，
于是得，解得，
所以椭圆E的方程为.
(2)
①由（1）知，，依题意，直线CD不垂直于y轴，且不过点A，设直线CD：，，
由消去x并整理得：，
，设，
则，，而，
，
而，又，
则
，解得（舍去）或，
所以直线CD：恒过定点.
②由①知，，，，，而，则，
面积
，
令，则在上单调递减，则当，即时，，
所以面积的最大值是.
④椭圆中定点、定值、定直线问题
1．（2022·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
【答案】(1)直线l的方程为或；
(2)直线的斜率与直线的斜率的比值为2.
（1）
若直线的斜率不存在时，线段中点的横坐标为，与已知矛盾；
设，，则，
，，
所以，
记线段中点为，设的纵坐标为，由已知可得点的坐标为，
所以，，
所以，
因为直线过点，，所以，
所以，所以，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
当时，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，因为直线： 与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，
所以直线的方程为或；
（2）
设直线的方程为，
联立，化简可得，所以，方程的判别式，所以或，
设，，则，，
联立，化简可得，所以点的坐标为，
因为轴，轴，所以点的坐标为，
所以直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
又，
所以，
2．（2022·江西·高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C，的内切圆的半径为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)点M为直线上任意一点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q．求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1).
(2).
（1）
的内切圆的半径为，有等面积法得 ,解得 ，又离心率为，解得带入得.
综上所述椭圆E的标准方程为：.
（2）
设，则直线的方程为与联立解得同理可得.
则直线 的斜率为，
所以直线的方程为：
故直线PQ恒过定点，定点坐标为.
【点睛】求解定点问题常用的方法：
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明.
(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标.
(3)求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程来证明.
3．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知椭圆：，，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
由题意得，故椭圆为，
又点在上，所以，得，，
故椭圆的方程即为；
（2）
由已知直线过，设的方程为，
联立两个方程得，消去得：，
得，
设，，则，（*），
因为，故，
将（*）代入上式，可得：，
∴直线与斜率之积为定值．
4．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，坐标为
（1）
由椭圆定义可知的周长为4a，
所以由题可知，解得，所以
所以椭圆C的方程为
（2）
如图，设，，记点N关于x轴的对称点为，
易知直线l的斜率不为0，故设其方程为，代入整理可得：
，则
直线与的斜率之和为0，等价于三点共线，
等价于
即，等价于
因为
所以时，恒成立，即直线与的斜率之和为0.
所以，存在定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0，点Q坐标为
5．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为为垂直于轴的动直线.
(1)当时，设直线交椭圆于两点，直线的斜率之积为，且的周长最大值为，求椭圆方程；
(2)在第（1）问条件下，将直线移动至处，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，直线分别交椭圆于点，试探究直线是否经过定点，若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，定点
（1）
设C点坐标为，由对称轴知
又
故
点在椭圆上，故代入得
又周长
当且仅当三点共线时，可取到“=”，故
综合知
故所求椭圆方程为
（2）
由题知，直线PQ斜率不为0，设为
联立得
，且
点坐标为，故
令则
同理且
又以为直径的圆过点，即
即：
即：
即：
代入化简得：
解得：或
时，过不合题意
时，直线过满足题意
即过定点
6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点，的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②最大值为，．
（1）
由椭圆的定义知，双曲线的离心率为，
故椭圆的离心率，故，，，故椭圆的方程为．
（2）
①证明：设，则．
设直线BA的方程为，联立方程化简得，
，∴，
，
∴；
②当直线AB的斜率不存在时，可知，，，故，当直线AB的斜率存在时，由①知，，，
，
，
点C到直线AB的距离，
故.
故△ABC面积的最大值为，此时AB的方程为．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴，y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点．
(1)若直线l的方程为，求外接圆的方程；
(2)判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，直线l的方程为或.
（1）
∵直线l的方程为，
∴直线l与x轴的交点为，与y轴的交点为．
则线段CD的中点为，．
即外接圆的圆心为，半径为．
∴外接圆的方程为；
（2）
结论：存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．
理由如下：
由题意，设直线l的方程为，，
则点C的坐标为，点D的坐标为．
由方程组，得．
∴．（*）
由韦达定理，得，．
由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．
∴．
解得．
由C，D是线段MN的两个三等分点，得．
∴．
∵，代入解得，验证知（*）成立．
∴存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．
此时直线l的方程为或．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
【答案】(1)圆O的方程为，椭圆C的方程为
(2)证明见解析
（1）
由题意可得，解得，，
所以圆的方程为，椭圆的方程为．
（2）
证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
则，即，
又由，得点M的坐标为，
由，得点N的坐标为，
所以，，，
所以，
所以，即
9．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
由已知，得， ，，
∴椭圆的标准方程为．
（2）
证明：若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，∴直线的斜率存在,又因为两直线倾斜角互补，所以直线斜率不为0.
设，，
，，，．
将直线的方程代入椭圆方程联立得，，
，，
．
同理，．由得化简得，
即，，，
此时，，∴直线，
联立直线方程解得，即点在定直线上．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，证明：点在定直线上．
(3)设直线的斜率分别为，证明：为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
(1)
当时，直线：，令，得，即椭圆的上顶点为，则，
又的周长为，即，，又，解得，
所以椭圆的方程为.
(2)
由（1）知，，设，依题意，点A，B不在x轴上，
由消去并整理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程得，
由得代入上式，得
，于是得，
所以直线交点在定直线上．
(3)
由（2）知，，由得：，
所以为定值．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析；定直线
(1)
由椭圆过点，且离心率为，所以，解得
故所求的椭圆方程为．
(2)
由题意得，，
直线的方程，设，
联立，整理得，
∴，．
由求根公式可知，不妨设，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，得
代入，得，
解得，即直线与的交点在定直线上．
12．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，离心率为，过点的直线l与椭圆C顺次交于点Q，P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在定直线与直线交于点G，使，G，Q共线．
【答案】(1)
(2)存在满足条件，分析见解析.
(1)
∵，所以，故，
∵ ∴，又，所以
∴椭圆C的方程为∴
(2)
由已知可得直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为
得：，
．
设，，则
，
∴
，，
，，
令
∴，
∴
∴存在直线满足题意
13．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．
(1)求椭圆的标准方程，
(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线交椭圆于、两点，直线、相交于点，证明：点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
解：由题可知，、，则，
直线的方程为，即，所以，
解得，，又，所以椭圆的标准方程为．
(2)
解：若直线与轴重合，则、、、四点共线，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，解得或，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，
因为，所以，，
所以
，解得.
即点在定直线上．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
⑤椭圆中向量问题
1．（2022·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程恒有两个交点，且满足若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
（1）
设圆的半径的，则，
所以的轨迹是以的焦点的椭圆，
则，，所以，，，
故动圆圆心轨迹方程为.
（2）
假设存在圆心在原点的圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，
设，，当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为，
由方程，可得，
则，
所以，由，，
则，
，，则，即，
即，即，所以且，
故，解得或，
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，
则，故，所以所求圆的方程为，
此时圆的切线都满足或，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，
所以切线与椭圆，的两个交点为，，
满足.
综上所述，存在圆心在原点的圆满足条件.
2．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为，直线与的另一个交点为，连接，若的周长为，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，当为何值时，恒成立？
【答案】(1)
(2)
(1)
设，由椭圆定义可知，的周长为，故，
直线的方程为与椭圆联立可得，
所以的面积为，即，解得
或（舍去），则，所以椭圆的标准方程为.
(2)
联立，得，，
由（1）可知，，设，，
则，，，，
所以，解得
或（舍去），所以当时，恒成立.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．
(1)若的坐标为，求四边形的面积；
(2)若与椭圆相切于且，求的值；
(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；；
（1）
由题意，，故，所以
与椭圆方程联立 ，可得：，即，又由题意，故解得，代入椭圆方程可得，故且
则
（2）
由于直线PN的斜率必存在，则设
与椭圆方程联立，可得：
由相切，，则
同时有韦达定理，代入有，化简得，故
而，解得
则，所以轴，故在直角三角形中，
（3）
由于N与，与是两组关于原点的对称点，由对称性知
四边形是平行四边形，则与是平行的，
故上的任一点到的距离均为两条平行线间的距离d．
设，其中，易验证，当时，与之间的距离为，不合要求，设，则，即，
发现当时，，即，整理得
代入得：，代入整理得，即由于，所以，代入椭圆方程有，故，
则的直线方程为
4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．
(1)求抛物线的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率．
【答案】(1)；
(2)
（1）
抛物线的焦点F到其准线的距离为4
可得
抛物线的方程：
椭圆经过抛物线的焦点
椭圆的右顶点为，
所以．
（2）
①当直线斜率存在时，
设直线方程为
由得，
∵
∴，即∴
∴，
∴
又∵
∴，即∴
∴N点轨迹为直线
②当直线斜率不存在时，经检验点在直线上．
∴N点轨迹方程为
最小值即点O到直线的距离
∴，即
椭圆的离心率为．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(1)
解：由已知过点，得，①
由，②
由①、②，得，
故椭圆C的方程为，
若，
设直线的方程为，设直线的方程为，设，
由，得，解得，
故，
同理，，
，则，，
故直线的方程为；
(2)
解：设，
由，得，
故，
代入椭圆的方程得（3），
又由，得，
代入（3）式得，，
化简得，，即，
显然，故，
同理可得，
故，
所以的最小值．
6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(1)
由题意得：设，令得：，
解得：，
不妨设，则，故，
又，
解得：，所以，
，
所以椭圆的方程为；
(2)
由题意得：，
设出直线CD：，与椭圆方程联立得：，
其中恒成立，
设，
则，
则
，
由得：
，整理得：，
解得：
7．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知椭圆：（）的短轴长为，是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点（为常数，且）的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴相交于点，已知，，证明：．
【答案】(1)椭圆C的方程为.
(2)证明见解析.
(1)
因为椭圆C的短轴长为2，所以，
又是椭圆C上一点，所以，解得，
所以椭圆C的方程为.
(2)
由题可知，直线l的斜率一定存在，可设l的方程为，，则，
联立方程组，整理得，
则，
，.
因为，所以，
则
⑥椭圆综合问题
1．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
（1）
设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为，
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，
动圆P与圆内切，且与圆外切，
，则
动圆P的圆心的轨迹E是以， 为焦点的椭圆，
设其方程为：，
其中，，
，，即轨迹E的方程为：.
（2）
当直线AB的斜率不存在，或为0时，
四边形ADBG面积长轴长通径长，
当斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为，，，
由可得：，
，，
，
．
，，
同理可得：，
，
四边形ADBG面积，
则
等号当且仅当时取，
即时，.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的方程为，离心率，点P(2，3)在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程
(2)求过点P的椭圆C的切线方程
(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
（1）
由题意可得：，
解得，，
∴椭圆C的方程为：；
（2）
显然，过点P(2，3)的切线存在斜率，
设切线l的斜率为k，则：，
由得，
因为直线与椭圆相切，
，
化为：，解得．
∴求过点P的椭圆切线方程为．
（3）
证明：∵椭圆C的方程为：，
则椭圆左右焦点分别为，，
∵过点P的椭圆切线方程为，
∴过点P的椭圆法线方程为m：，
法线的方向向量，
∵，，
∴，
，
∴直线，关于直线m对称；
∴从椭圆一个焦点发出的光线照到点P，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点．
3．（2022·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知曲线的左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点.
(1)求的周长；
(2)若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；
(3)设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)周长为6
(2)
(3)存在，
（1）
根据题设条件，可得，
故，，所以，
根据椭圆定义，可知，
因为，
所以，得的周长为6，
（2）
设圆的方程为，令，得，
故，得.
由题意可得直线的斜率存在，
由与圆相切，得到直线的距离.解得，
故直线的方程为
（3）
假设在轴上存在一点，设直线的方程为，
将直线的方程和椭圆的方程联立，得，
消去并整理，得，必有
令，则
故线段的中点的坐标为，
则线段中垂线的方程为
令，得，点到直线的距离，
又因为，所以，
即
化简得，解得，
故.
4．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)．
（1）
设，，联立直线与椭圆方程得，
消去y得，又，是这个方程的两个实根，
所以 ，由弦长公式得
，
所以当时，取到最大值，即，解得．
所以椭圆C的方程为．
（2）
设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，消去y得，
所以，且，
记点，到直线的距离分别为，，又，且，
所以
，
所以，
因为，所以，整理得，所以满足条件，
综上所述直线的方程为，即为．
5．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率；上顶点为A，右顶点为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设与圆相切的直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点.求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）
由知，
原点到直线的距离为，故，
故椭圆的标准方程为.
（2）
时：，或，故；
直线斜率不存在时，，或．故；
直线斜率存在且不为0时：设直线的方程为（），
由直线与圆相切，所以，即，
联立得，
设，
由韦达定理：，，，
所以中点的坐标为，
故
，
故，
，当且仅当，时等号成立，
综上：的取值范围是.
6．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知点是椭圆的左焦点，过且垂直轴的直线交于，，且.
(1)求椭圆的方程
(2)四边形(A，D在轴上方的四个顶点都在椭圆上，对角线，恰好交于点，若直线，分别与直线交于，，且为坐标原点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
由已知得 ，
解得，，
故椭圆的方程是.
（2）
由题设直线的方程为，，，
把代入得，
所以， ，
设直线的方程为，，，
类似可得，，
因直线的方程为，
所以点的纵坐标，
同理可得点的纵坐标，
要证，只需证，
即证，
即
而式左边
，故结论成立 .
7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点， 求证：的充要条件为．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
解：设点P的坐标为，
由题设得，
故所求的点P的轨迹的方程为．
（2）
证明：设，由题设知，直线MN的斜率存在，
不妨设直线MN的方程为，且，
由消去y并整理得，
则且，
由，可得，所以，
整理得，
可得，
整理得
所以，
可得，即，
将代入，可得，则，同理．
由，可得，所以，即，
所以的充要条件为．
8．（2022·安徽·高三开学考试）已知线段的长度为3，其端点分别在轴与轴上滑动，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)当点坐标为 ，且点在第一象限时，设动直线与相交于两点，且两直线 的斜率互为相反数， 求直线的斜率.
【答案】(1)
(2).
（1）
设，则
由已知得 ， 故
代入上式整理得: .
所以动点的轨迹C 的方程为.
（2）
因为， 故点的横坐标为，又点在第一象限，故
设的方程为代入整理得
由已知， 设，
则 ①
由已知直线的斜率互为相反数，则
将代入上式整理得
②
将①代入②化简 ，
由已知不经过点， 故， 所以．.
故直线的斜率为.