新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题19立体几何与空间向量解答题压轴题（学生版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题19立体几何与空间向量解答题压轴题（学生版），共24页。
1．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
2．（2022·江苏苏州·高一期末）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且.
(1)若二面角为，求的长；
(2)当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围.
3．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.
(1)为上一点，且，当平面时，求实数的值；
(2)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.
4．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）如图，直四棱柱的底面是边长为的菱形，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值.
5．（2022·福建省永泰县第一中学高二开学考试）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.
(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
6．（2022·山东烟台·高一期末）如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形．
(1)设M为AD中点，点N在线段PC上且，求证：平面BDN；
(2)若二面角的大小为，，且，求直线BD和平面QCB所成角的正弦值的取值范围．
7．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点在线段上，且．
(1)探究在线段上是否存在点，使得平面，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由．
(2)设二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值．
8．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）在三棱台中， ， ， 侧面 平面
(1)求证： 平面；
(2)求证： 是直角三角形；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
9．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）如图，已知四棱锥，底面是矩形，，点是棱上一劫点（不含端点）.
(1)求证：平面平面；
(2)当且时，若直线与平面所成的线面角，求点的运动轨迹的长度.
10．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，几何体中，均为正三角形，四边形为正方形，平面，，M，N分别为线段与线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
11．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点.
(1)求证：直线平面SAC；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由.
12．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，E为的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)记的中点为N，若M在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
②二面角问题
1．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且.
(1)若点为棱的中点，证明：平面；
(2)已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.
2．（2022·山西大附中高三阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
3．（2022·安徽·高三开学考试）如图，在三棱柱中，平面 .
(1)求证:;
(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.
4．（2022·广东湛江·高二期末）如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，.
(1)证明：；
(2)若到直线的距离为，求平面与平面夹角的余弦值.
5．（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面PBC，，．
(1)求证：；
(2)若PD与平面PBC所成的角为，求二面角的余弦值．
6．（2022·广东广州·高二期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点．
(1)若的中点是M，求证：平面；
(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
7．（2022·贵州·遵义航天高级中学高二阶段练习（理））如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD．
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若，二面角的余弦值为，求m．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
9．（2022·河南·信阳高中高二阶段练习（理））如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．
(1)求证：；
(2)若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值．
10．（2022·广东·执信中学高二期中）已知△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，沿MN将△AMN折起到的位置，使．
(1)求证：平面MBCN；
(2)在线段BC上是否存在点D，使平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，设，求的值；若不存在，说明理由．
11．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱锥D—ABC中，G是△ABC的重心，E，F分别在BC，CD上，且，．
(1)证明：平面平面ABD；
(2)若平面ABC，，，，P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，求二面角的余弦值．
12．（2022·江苏泰州·高三期末）如图，在三棱锥中，.
(1)平面平面；
(2)点是棱上一点，，且二面角与二面角的大小相等，求实数的值.
13．（2022·四川·石室中学三模（理））在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答
如图，在五面体中，已知___________，，，且，.
(1)求证：平面与平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
③体积（距离）问题
1．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点.
(1)若是直线与平面的交点，试确定的值；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积.
2．（2022·青海·模拟预测（理））如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．
(1)证明：平面ABC
(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
4．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二开学考试）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点.
(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：AD∥平面B1PQ;
(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为，求点P到平面BQB1的距离.
5．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，且底面，点分别在棱、上·
(1)若P是的中点，证明：；
(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．
6．（2022·湖南·雅礼中学一模）如图，在四边形中，，，，.沿将翻折到的位置，使得.
（1）作出平面与平面的交线，并证明平面；
（2）点是棱于异于，的一点，连接，当二面角的余弦值为，求此时三棱锥的体积.
7．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，在多面体中，平面⊥平面，，，DEAC，AD=BD=1.
(Ⅰ)求AB的长；
(Ⅱ)已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.
8．（2022·湖北·随州市曾都区第一中学高二开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，点在上，且.
(1)已知点在上，且，求证：平面平面.
(2)求点到平面的距离.
9．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面，，，，为棱上一点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离.
10．（2022·福建·福州四中高一期末）如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，.E､F､G､H分别是线段､､､上的动点，且四边形为平行四边形.
(1)求证：平面；
(2)设二面角的平面角为，求在区间变化的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
(3)设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？
④折叠问题
1．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
3．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．
(1)在三棱柱中，求证：平面；
(2)试判断直线是否与平面平行，并说明理由．
4．（2022·山西大附中高二开学考试）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．
(1)证明：平面平面；
(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．
5．（2022·福建泉州·高一期末）在矩形ABCD中，．点E，F分别在AB，CD上，且，沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE．
(1)若平面⊥平面BCFE，求三棱锥的体积；
(2)在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求tan的最大值．
6．（2022·广西玉林·高一期末）如图①，在梯形中，，，，，分别是，上的点，，.沿将梯形翻折，使平面平面（如图②）.
(1)判断平面与平面的位置关系，并说明理由；
(2)作出二面角的平面角，说明理由并求出它的余弦值.
7．（2022·上海市青浦高级中学高一期末）在矩形ABCD中，，.点E，F分别在AB，CD上，且，.沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE.
(1)求证：平面；
(2)求证：与BC是异面直线；
(3)在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求的最大值.
8．（2022·湖北十堰·高一期末）如图1，有一个边长为4的正六边形，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，，形成的多面体如图2所示．
(1)证明：．
(2)若二面角的大小为，是线段上的一个动点（与，不重合），试问四棱锥与四棱锥的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
9．（2022·全国·高三专题练习）如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，
(1)证明：平面ABD；
(2)若，求二面角的余弦值．
10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图（1），在正方形中，、、分别为、、的中点，点在对角线上，且，将、、分别沿、、折起，使、、三点重合（记为），得四面体（如图（2）），在图（2）中.
(1)求证：平面；
(2)在上，求一点，使二面角的大小为.
11．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）如图1，已知等边的边长为，点分别是边上的点，且满足，如图2，将沿折起到的位置．
(1)求证：平面平面；
(2)给出三个条件：①；②平面平面；③四棱锥的体积为，从中任选一个，求平面和平面的夹角的余弦值．
12．（2022·全国·高三专题练习）如图甲，等腰梯形ABCD中，，于点E，且，将梯形沿着DE翻折，如图乙，使得A到Р点，且.
(1)求直线PD与平面EBCD所成角的正弦值；
(2)若，求三棱锥的表面积.