新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题17数列解答题压轴题（学生版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题17数列解答题压轴题（学生版），共20页。试卷主要包含了已知数列满足，设数列满足，已知正项数列的前项和满足，已知数列的前项和为，.等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高二开学考试）数列对任意且，均存在正整数，满足，，．
(1)求可能值；
(2)若，成立，求数列的通项公式．
2．（2022·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知无穷数列满足，其中，对于数列中的一项，若包含的连续项满足或者，则称为包含的长度为的“单调片段”.
(1)若，写出所有包含的长度为3的“单调片段”；
(2)若对任意正整数，包含的“单调片段”长度的最大值都等于2，并且，求的通项公式；
(3)若对任意大于1的正整数，都存在包含的长度为的“单调片段”，求证：存在正整数，使得时，都有.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，
(1)求a2，a3；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
(3)求数列前20项中所有奇数项的和．
4．（2022·北京四中高三开学考试）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”（不必说明理由）；
(2)若等差数列是15阶“期待数列”，求的通项公式；
(3)记阶“期待数列”的前项和为，证明：
（i）；（ii）.
5．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足：对任意正整数n，有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，当时，.
(1)计算：，；
(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的通项公式.
9．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设求数列的前项和.
10．（2022·上海·华师大二附中高一期末）记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对于任意正整数，．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，若数列的前项和，证明：．
12．（2022·天津·耀华中学二模）已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，，，求；
(3)设，其中.求的前2n项和.
②数列中的恒成立（能成立）问题
1．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习）已知数列{an}是正项等差数列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+bn＝1．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)如果cn＝anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列各项都是正数，，对任意n∈N*都有．数列满足，（n∈N*）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足cn＝，数列的前n项和为，若不等式对一切n∈N*恒成立，求的取值范围．
3．（2022·上海市松江二中高一期末）已知数列的前项和为，数列是首项为3，公比为3的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)若，是否存在正整数，使得依次成等差数列？若存在，求出所有的有序数组；若不存在，说明理由.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和；
(3)若存在，使得成立，求实数的最小值．
5．（2022·四川·树德中学高一竞赛）已知数列中，，．正项等比数列的公比，且满足，．
(1)证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
(2)如果，求的前n项和为；
(3)若存在，使成立，求实数 的取值范围．
6．（2022·湖北·武汉市第一中学高二期中）设为等差数列的前n项和，其中，且．
(1)求常数的值，并写出的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数的最小值．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，为的前n项和.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和满足对一切正奇数n恒成立，求实数m的取值范围.
8．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立,求的取值范围.
9．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值；
(3)当时，求证：.
10．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知实数列满足：，点（在曲线上．
(1)当且时，求实数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，若表示不超过实数t的最大整数，令，是数列的前n项和，求的值；
(3)当，时，若存在，且对恒成立，求证：．
11．（2022·全国·高三专题练习（理））已知单调递增的等比数列，满足，且是，的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，对任意正整数，总有成立，试求实数的取值范围．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，，且；等比数列满足：，，，且．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
13．（2022·湖北武汉·高二阶段练习）设数列满足，数列的前项和为，且
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，若对任意正整数，当时，恒成立，求实数的取值范围.
③数列与函数
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)证明：；
(2)若存在直线，其与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右的四个交点的横坐标分别为，，，，证明：．
2．（2022·上海·华师大二附中高二开学考试）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．
(1)求函数与的解析式；
(2)是否存在，使得、、按照某种顺序成等差数列？若存在，请求出该数列公差绝对值的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)求实数与正整数，使得在内恰有个零点．
3．（2022·江苏·泰州中学高三开学考试）已知函数和有相同的最大值.
(1)求a；
(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
4．（2022·福建泉州·高二期末）已知函数和．
(1)求在处的切线方程；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．
5．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（理））已知函数，.
(1)若，求函数在的值域；
(2)若， 求的值；
(3)令，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.
6．（2022·全国·模拟预测）设函数，．
(1)若对任意，都有，求a的取值范围；
(2)设，．当时，判断，，是否能构成等差数列，并说明理由．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
8．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)若关于x的方程有实数根，求实数k的取值范围；
(3)证明：．
9．（2022·辽宁实验中学高二期中）已知数列的前n项和满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明不等式：，其中．
10．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（理））已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若数列的前项和为，证明：.
11．（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）
12．（2022·全国·高二单元测试）已知二次函数同时满足：
①不等式的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在，使得不等式成立．
设数列的前项和．
(1)求的表达式．
(2)求数列的通项公式．
(3)设，，的前项和为，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
④数列与概率
1．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
2．（2022·湖北武汉·高二期末）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为，现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验次.记为试验结束时所进行的试验次数．
(1)写出的分布列；
(2)证明：．
3．（2022·福建福建·高二期末）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
4．（2022·辽宁实验中学高二期中）近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，），试探求：
（Ⅰ）的通项公式；
（Ⅱ）的通项公式．
5．（2022·全国·高二期末）2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为，且每次回答问题是相互独立的，记小明得分的概率为，.
(1)求，的值；
(2)求.
6．（2022·全国·高三专题练习）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 ，求的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到阶的概率为，求.
7．（2022·山东·青岛大学附属中学高二期中）某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.
(1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的分布列和数学期望；
(2)若累计得分为的概率为，初始分数为0分，记
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.
8．（2022·江苏徐州·高二期中）为了方便出行，缓解交通压力，保护环境，推进生态文明建设，市政府大力推行共享交通工具出行．某企业根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品，市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受市民欢迎．一般使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为，该企业为了促进市民消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分，每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．
(1)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)记某一市民已使用该企业共享交通工具的累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，），试探求与之间的关系，并求数列的通项公式．
9．（2022·全国·高三专题练习）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、）．
(1)求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示；
(2)求证：为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．
10．（2022·山东潍坊·模拟预测）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．
(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为．
①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；
②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值．
(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200