新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题13解三角形选填压轴题（教师版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题13解三角形选填压轴题（教师版），共46页。

A．4B．6C．8D．9
【答案】C
【详解】如图所示，
因为，所以，
在Rt△ABD中，，即，
因为，
由正弦定理可得：，即，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，，
，．由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，，又锐角，且，，，解得，，，
，，，，，，
的取值范围为．
故选：A．
3．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（文））已知中，，，，D是边BC上一点，.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设中，角的对边为，
∵，即，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴，即，
∴，
故，
∴，，，
又，，
∴，.
故选：B.
4．（2022·江苏扬州·高一期中）已知锐角中，角对应的边分别为，，若， 则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵，
∴
∴，
∴，因为，
∴，即，又，
∴，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∵ 为锐角三角形，
∴ ，
∴ ，当且仅当时取等号，
∴ 的最小值是，
故选：D.
5．（2022·重庆市万州第二高级中学高二开学考试）在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，由正弦定理得,
即有，而，则，
又，
由正弦定理､余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
是锐角三角形且，有，，
解得，
因此
，
由得：，，
所以.
故选：D
6．（2022·全国·高一期末）在平面四边形ABCD中，，AD=3，BD=则CD的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，则，
又，且，
在△中，且，
所以，当时，最小值.
故选：D
7．（2022·河北保定·高一期中）△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由余弦定理，又，故，
由正弦定理知：，则，
所以，而，
则且，
又，当时的最大值为.
故选：A
8．（2022·全国·高一课时练习）在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：，
即有，而，则，又，
由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
是锐角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以．
故选：D
9．（2022·陕西省安康中学高一阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知，
即
由正弦定理化简得
即
故选：.
10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：△ABC中，，
由，得，∴；
即，∵，∴，
∴，∴ ，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，
∴，
∴,
∴，
故选：D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【答案】D
【详解】因为，
由正弦定理可得，
则有，
由的内角为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有
故选：D.
12．（2022·全国·高一期末）在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，，
，．
由正弦定理知，，
由余弦定理知，，
，
，化简整理得，，
，，
由正弦定理，有，，，
锐角，且，，，解得，，
，
，，，，，，
的取值范围为，．
故选：．
13．（2022·福建省福州格致中学高一期末）在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围___________.
【答案】
【详解】因为，且，
所以，即，
由余弦定理得：，
所以，又，
所以，
解得：或，
因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
因为，
所以，
由正弦定理得：
，
因为为锐角三角形，
所以，即,
所以，
所以，
所以，
所以，，
故.
故答案为：.
14．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）在中，角，，所对的边为，，，若，且的面积，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：由，，
又，所以，
，，，
，．
，，
由正弦定理得，
所以
，
因为，所以，所以，
，
．
故答案为：．
15．（2022·福建厦门·高一期末）记锐角的内角，，的对边分别为，，，且，若，是的两条高，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】由，得，
再由正弦定理得，故，
所以，
故，
又为锐角三角形，
故，即，
，
故，
故答案为：.
16．（2022·宁夏·银川一中三模（理））锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有，且，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】因为，
所以.
因为,所以，所以.
所以.
因为为锐角三角形，所以，所以,所以.
所以，即.
因为为锐角三角形，所以，解得：
由正弦定理得：，.
所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以，所以.
即
在中，由两边之和大于第三边，所以.
综上所述：.
故答案为：
17．（2022·广西·南宁三中高一期末）在锐角△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】由题设，，而，
所以，又，
所以，且△为锐角三角形，则，可得，
而.
故答案为：
18．（2022·河北·石家庄市第四十四中学高一阶段练习）在△中，角所对的边分别是，若，，则的最小值为________．
【答案】12
【详解】∵在△中，角所对的边分别是，，
∴，
∴，
∴，即，，
∴，
因为，
∴，即，
又，
∴，即，当且仅当时取等号，
∴的最小值为为12.
故答案为：12.
②三角形周长问题
1．（2022·四川·成都七中高一期末）在中，若，，则的周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由可得，
两边同乘得，
两边同加得，
即，又，
则，设角对应的边分别为，
由正弦定理得其中，
不妨设，易得当时，取得最大值，此时周长最大值为.
故选：A.
2．（2022·四川·遂宁中学高一阶段练习）在锐角△ABC中，，，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵，
∴，
∴，即，为锐角，
∴，又，
由正弦定理可得，
所以
，其中，，
因为为锐角三角形，
所以，
所以，又，
∴，
故的周长的取值范围是．
故选：C.
3．（2022·全国·高一期末）设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵为锐角三角形，且，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
由，
即，
∴，
令，则，
又∵函数在上单调递增，
∴函数值域为，
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】C
【详解】解法一：因为，所以由正弦定理得，
得，由余弦定理知，因为，所以，
由，得，
由得，则，
所以，
因为，所以，则，当且仅当时等号成立，
的周长为，
易知是关于的增函数，
所以当时，的周长最小，为；
解法二：因为，所以由正弦定理得，
得，由余弦定理知，因为，所以，
建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以可设，则，即，所以的周长为，当且仅当时等号成立，所以的周长的最小值为6．
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角的内角所对的边分别为，且，的面积为2，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由已知可得，由正弦定理可得.；．
∵角为锐角，．
的面积为2，，．
由余弦定理可得，
即．
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵，，
可得：，
，解得，
∵，
∴由余弦定理可得
∵由， ，得，
∴，即．
∴周长 ．
故选A．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________．
【答案】 3
【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示
由题意得，F为BC中点，
所以，
又G为重心，所以，
所以，即，
因为D、G、E三点共线，
所以，即.
设的边长为1，设与周长之比，
则，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
所以，
由（1）可得，即代入上式，可得
由题意得，
所以，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，
令，则，
令，则，
所以在上为增函数，
所以，
所以与周长之比的取值范围为
8．（2022·辽宁·昌图县第一高级中学高一期末）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在中，，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，若的面积为，则的周长的取值范围为______．
【答案】，
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，，
所以以、为边作等边三角形，其中一边在、的延长线上；
由，，，；
所以，，；
同理，，；
；
所以等边△的面积为，
解得，所以；
在中，由，
所以，
所以的周长为，
又，且，
所以，解得，当且仅当时取“”；
又，，所以，
，，
即的周长最小值为，．
故答案为：，．
9．（2022·全国·高三专题练习（理））在中，角，，所对的边分别为，，，是的中点，若，且，则当取最大值时的周长为_________．
【答案】
【详解】如图，设，则．
在和中，分别由余弦定理可得
，，
又
所以，
所以，①
由及正弦定理得
，
整理得，②
由余弦定理的推论可得，所以．
把①代入②整理得，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，即时等号成立．
此时，即，
所以当取最大值时的周长为．
故答案为：
③三角形面积问题
1．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高二开学考试）已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不确定的．现有一平面凸四边形ABCD，，，，，则其面积最大值为（ ）
A．B．C．21D．19
【答案】B
【详解】设，连接，作图如下：
在△中，由余弦定理可得：，
在△中，由余弦定理可得：，
故可得，即，
又四边形的面积，
令，则，
由，则，
上述两式相加可得：，即，
当且仅当时，取得最大值40，此时的最大值为，
由，其最大值为.
故选：.
2．（2022·四川·石室中学模拟预测（理））在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，因为为锐角三角形，故，
，当BC⊥AB时，，当CB⊥AC时，，故，所以.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题设，，而且，
∴，，则，
∴，由题设△内切圆半径，又，
∴，而，即，
∴，可得，当且仅当时等号成立.
∴.
故选：D
4．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
如图，过作,交的延长线于，因为，则,，，
所以
又因为
所以，即，解得：或（舍）
所以.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，
∴，又，
∴，即，又，
∴，又，
∴.
，
由，有，则，
，即面积的最大值是.
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
如图，设设，，则由正弦定理可得①，②，又，所以，①②式联立可得，则，则，
对，由余弦定理可得，
则
，
当时，有最大值，，所以，
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）在中，，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为分别是边，的中点，所以，所以，
又，设，则，
又因为，所以，设，
所以在中，，
所以，
所以，当时，面积取得最大值，
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且面积为，则面积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，
，，，，
又，由余弦定理可得：，
，
当且仅当时取等号，
．
面积的最大值为．
故选：．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为a2+b2+2c2＝8，
所以，
由余弦定理得，
即①
由正弦定理得，
即②
由①，②平方相加得，
所以，
即，所以，
当且仅当且即时，取等号.
故选：B
10．（2022·全国·高一单元测试）在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图所示，
∵，所以O为的重心，
连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，
则四边形ABFC为平行四边形，
，，
，
即，又因为，所以，
∴，，
设，则，
在中由余弦定理得，
即，解得，即.
又，
∴.
故选：D.
11．（2022·全国·高三专题练习）若，，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意，设，则，又，
由余弦定理得：，
即，，
，．
，
，
当，即时，，．故选．
12．（2022·吉林·长春市第五中学高一期末）在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，
可得，即.又，所以．
因为，所以点为的重心，
所以，所以，
两边平方得．
因为，所以，
于是，所以，
的面积为.
因为的面积是面积的倍.故的面积为．
④三角形与向量、数列等综合问题
1．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图所示：
由正弦定理可得：，所以，
在中，由余弦定理可得,
又因为,所以.
又因为，
所以，
即有：，即，
所以，
设，可得，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，
设，则有，
所以==，
所以
故选：A.
2．（2022·浙江·绍兴市教育教学研究院高二期末）已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可设，则
由于对任意实数，有，故恒成立，
即对任意实数恒成立，故，
即 ，
所以向量对应的点位于如图所示的直线 外部的阴影区域内
（含边界直线），设 ，，则,
故，
不妨假设向量对应的点在上部分区域内，
则由图可以看到当对应的点位于B处，即在直线上，
且当时，最大，此时，
所以 ，即最小值为，
由图可以看到，当B点沿直线向外运动或在阴影部分中向远处运动时，
可以无限趋近于0，故，
因此的范围是，
当B点位于直线上或下方的区域内时，同理可求得的范围是，
故选：D
3．（2022·浙江·绍兴市教育教学研究院高一期末）在三角形ABC中，已知，，D是BC的中点，三角形ABC的面积为6，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，设的内角的对边分别为，
因为，所以，
即，所以,
所以，即，
因为，所以，所以
因为，所以，
因为，
所以
,
因为，
所以,
因为三角形ABC的面积为6，
所以，得，
因为，所以，
因为D是BC的中点，所以,
在中，由余弦定理得
，
因为，
所以，
故选：A
4．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））在中，，，O是的外心，若的最大值是m，数列中，，，则的通项公式为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，，
在中，由及，，得，
∵，则，
∴．
因为O是的外心，
所以O在线段AC，CB上的射影为相应线段的中点，
由向量数量积的几何意义，得，而，
所以的最大值为3．即．
由，得．
所以数列是首项，公比为3的等比数列．
所以，即．
故选：A
5．（2022·湖北·襄阳四中高二阶段练习）在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，根据题意可得
，解得，
所以，
所以，
因为三点共线，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：C
6．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知，，．若，则的最小值为（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】D
【详解】令，依题意，，而，则，
因，则有点C在半径为1，所含圆心角为的扇形的弧上，如图，
因，则表示直线上的点Q与直线上的点P间距离，、分别是点C到点Q，P的距离，
因此，表示三点Q，P，C两两距离的和，
作点C关于直线OA对称点N，关于直线OB对称点M，连MN交OA，OB分别于点F，E，连FC，EC，ON，OM，
则有，令，则，，
于是得，而，
由余弦定理得，
因此，，
对于直线上任意点Q、直线上任意点P，连接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，
则，，当且仅当点Q与F重合且点P与点E重合时取“=”，
从而得，
所以的最小值为.
故选：D
7．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）中，若，，点E满足，直线与直线相交于点D，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在△ABC中，由余弦定理得：
设，，因为，
所以，即，
因为A、B、D三点共线，
所以，
解得：，
所以，
即
因为AB=5，
所以AD=3，BD=2
在三角形ACD中，由余弦定理得：
，
因为，所以
所以
故选：A
8．（2022·浙江宁波·高一期中）已知，为平面内两个不共线的向量，满足，，，则与的夹角的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
如图设，，并设，；
，；
由题意：，
由余弦定理：，
，
∴
即，
两边同时平方，整理得：，
再一次两边平方得：，
由于，；
由于，所以；
∴，，
故与的夹角的最小值是.
故选：C．
9．（2022·广西·宾阳中学高一阶段练习）已知向量满足，，，，，则动点P的运动路径的总长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
因为,
所以,
因为 ,
所以 ,
所以 .
如上图所示,
当时,点运动路径为线段,
以此类推，当时,点运动路径为如图的平行四边形的四边:
由余弦定理，得,
由余弦定理，得,
动点的运动路径的总长度为
故选：C.
10．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．
故选：B．
11．（2022·河北·泊头市第一中学高一阶段练习）已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
的分向与的平分线一致，
，
所以点在的平分线上，即为的角平分线，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，其中
分析可知当时，取得最小值，即
故选：C
12．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【详解】如图所示：
设，，，，
由
得，
化简得，
由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，，
代入上式得，∴.
根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，，
代入得，
∴，当且仅当“”时，等号成立.
故选：D.
13．（2022·江苏·高二专题练习）已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题可知，
即，
在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得
即，整理得
易得面积
又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，
所以
由已知，得，则，即
在中，利用正弦定理知
即，又，整理得
两边同除以，则，解得或（舍去）
故选：C.
14．（2022·上海·高三专题练习）已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：方法一：
如图1，设椭圆方程为，双曲线方程为，
由题知：，，
不妨设点在第一象限，设，
所以在椭圆中，有，在双曲线中有，
所以，，
所以在中，由余弦定理得：
，
整理得，所以
所以，
由于，
所以，，故
所以，即
故选：D.
方法二：
如图2，不妨设点在第一象限，由正弦定理得三角形外接圆的半径为，
所以在半径为，圆心为的圆在第一象限的圆弧（不包含端点）上，
所以，所以，
所以，
由向量数量积定义得，
由三角形面积公式得：
，
，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
15．（2022·全国·高三专题练习）我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为___________.
【答案】
【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，
由可得，所以，，
因为，
则，所以，，
所以，，可得，
因为，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故答案为：.
16．（2022·辽宁实验中学高一期中）中，，，平面内一点满足：，则的最小值为______．
【答案】##2.75
【详解】因为，
所以，
所以，即，
如图：将旋转至位置，使得，则，
，
又，所以，
由余弦定理可得，
所以，又，
所以，当且仅当三点共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.