新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题06一元函数的导数及其应用利用导函数研究不等式恒成立问题全题型压轴题（教师版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题06一元函数的导数及其应用利用导函数研究不等式恒成立问题全题型压轴题（教师版），共23页。

1．（2022·河北邢台·高二阶段练习）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
依题意可得，即对恒成立；
设，则，
∴在上单调递减，则，
则的取值范围是，
故选：B.
2．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）已知，若对于且都，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
依题意，所以，
设，则为增函数，
所以，化简整理得.而当时，的最大值为1，所以.
故答案为
3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））若函数在上为增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题意函数在上为增函数,
可知，
即对恒成立，
所以．
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】B
解：由，可得，
由题意可得存在，使得，
即存在，使得，等价于，由对勾函数性质易得，
故选B.
5．（2022·福建省永春第一中学高二期末）已知是上的单调增函数，则的取值范围是
A．﹣1b2B．﹣1b2C．b﹣2或b2D．b﹣1或b2
【答案】A
∵
∴
∵函数是上的单调增函数
∴在上恒成立
∴，即.
∴
故选A.
6．（2022·湖北·武汉市第一中学高二期中）已知函数在上为增函数，则a的取值范围是______．
【答案】
函数在上为增函数，
恒成立，
令
，
单调递减；
单调递增；
可得时，函数取得极小值，即：
，解得：，
a的取值范围是：.
故答案为：.
7．（2022·河南南阳·高三期末（理））已知函数，若对任意，恒有成立，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
因为，
所以由
，
构造函数，所以有，
即
因为，所以函数是上增函数，
当时，，因为函数在上都是增函数，所以函数是上增函数，符合题意；
当时，，
因为函数函数在上都是增函数，
所以函数在和上单调递增，要想函数在上单调递增，
只需，
在同一直角坐标系内画出函数的图象如下图所示：
因为当时，，
所以由数形结合思想可得：当时，，当时，，
当时，设，设，当时，
单调递增，故单调递增，
所以有，
所以当时，由可得：，或，
综上所述：或，
故答案为：
8．（2022·广东·潮州市绵德中学高二期中）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是__．
【答案】，
解：在上是增函数，
，
，
由基本不等式得：（当且仅当，即时取“”，
，
，解得，
故答案为：，
9．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知函数.若函数在区间上不是单调函数，则实数t的取值范围为__________．
【答案】
求导得 ，
易知，，单增 ；，，单减；
若使在区间上不单调 ，
只需，则.
故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，且，，，恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
解：，，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
令，则在上恒成立，
即函数在区间上单调递减，
又，
在上恒成立，
当时，不等式可化为显然成立；
当时，不等式可化为，
令，
则在区间上恒成立，
函数在区间上单调递减，
，
，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
②变量分离法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：，
，
令，显然为增函数，
则原命题等价于
，
又令，则，
所以时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，
所以，即恒成立，
所以，
所以，即得．
故选：B
2．（2022·河南·洛阳市第一高级中学模拟预测（文））已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
依题意，在上是增函数，，不等式恒成立，
即恒成立，
等价于恒成立，
，
令，则，
易得，，.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）设实数，若不等式对恒成立，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
对恒成立，即，即，令，，则，故在单调递增，故，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故.
故选：B．
4．（2022·河南·高二阶段练习（理））若当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
令，
所以，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，即时，恒成立，
所以当时，恒成立成立；
若当时，关于的不等式恒成立，则等价于当时，关于的不等式恒成立，
当时，不等式显然成立
当时，关于的不等式恒成立，即恒成立，
又函数在上单调递减，所以，
所以，即；
综上实数的取值范围是.
故选：A.
5．（2022·江西·二模（理））对任意，若不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
设（），则，
当时，，在上单调递减
当时，，在上单调递增
所以，当时，取得极小值也是最小值
即
令 （）, 则
所以
而即 当且仅当，即时取等号
所以
故选:D.
6．（2022·江西九江·三模（文））若对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
不等式可化为，
当时，，
由已知可得，
设，则，
当时，，函数在为减函数，
当时，，函数在为增函数，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
所以，所以，
当时，，
由已知可得，
设，则，
当时，，函数在为减函数，
当时，，函数在为增函数，
所以函数不存在最小值，且当且时，，
所以不成立，故
所以的最小值为，
故选：D.
7．（2022·山西·模拟预测（文））若函数，在定义域内任取两个不相等的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
根据题意由在上恒成立，
不妨设，则可变形为，
设，则函数在上单调递增，
即在上恒成立，
所以，令，因此．
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】
由得，
令，∴
∴在单调递增，
又∵
∴，在上恒成立，即
令，则
∴在单调递减，又因为，
∴．
故答案为：.
9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
设曲线过点的切线的切点为，
则切线的斜率，
所以，，切线方程为，
所以恒成立，
所以恒成立，
令，则
因为当，，，，
所以为的极小值点，又因为时，，
所以，所以.
故答案为：.
10．（2022·天津市蓟州区第一中学高二期中）若，不等式恒成立，则的最大值为_____.
【答案】##
设，则，因为，
所以当时，，则函数单调递减；
当时，，则函数单调递增；
所以，
则，令，则；
由可得，；
所以当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
所以，即的最大值为.
故答案为：
11．（2022·河北石家庄·高二阶段练习）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为______．
【答案】
恒成立，
令，则不等式转化为，
设函数，
显然，
当时，，则在（0，＋∞）上单调递增，故，符合题意；
当时，由于，故在（0，＋∞）上单调递增，存在满足，即在单调递减，单调递增，
因此时，，与题意矛盾．
综上所述，．
故答案为：（－∞，2]．
③变更主元法
1．（2021·全国·高一专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】．
解：由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．
2．（2021·山东省淄博实验中学高一期中）已知函数满足：当时，；当时，．
(1)求，的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；(2).
(1)函数，
∵当时，，当时，，
∴，解得，
∵，，
∴，；
(2)由可知，，
对任意的，不等式恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
则，
∴，即，解得或，
综上所述，实数的取值范围为．
3．（2021·全国·高一课时练习）设集合．
(1)若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；
(2)若对任意，不等式恒成立，求x的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)，设，，则，有一个解.
画出函数图像，根据图像知：，故.
(2)，即恒成立，设，
当时，时，，不成立；
当时，，成立；
当时，单调递减，，解得，故.
综上所述：.
4．（2021·全国·高一课时练习）已知关于x的不等式.
(1)若对任意实数x不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
【答案】(1)不存在(2)
(1)原不等式等价于，
若对于任意实数x恒成立，当且仅当且，
即，此不等式组的解集为，
所以不存在实数m，使不等式对任意实数x恒成立.
(2)设，
当时，可看作关于m的一次函数，其图象是线段，
所以若对于，恒成立，
则当或时，恒成立，即，
由①，得，
由②，得或，
所以，
所以实数x的取值范围是.
5．（2021·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）已知函数满足：①当时；②当时，.
（1）求，的值.
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数取值范围.
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）；（3）.
（1）由题意可得：，即
所以，解得：，
又因为，所以，；
（2）由（1）可得，
因为恒成立，所以恒成立，
①当时，对于恒成立不符合题意；
②当时，，
解得：，
综上所述：实数取值范围；
（3）由题意可得：对于恒成立，
原不等式可化为，恒成立.
令，，
由，解得：或，
所以实数的取值范围为.
6．（2021·安徽·高三阶段练习（文））已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）依题可知，解得，所以当时，，
设，则，所以，
又是奇函数，，
即，所以当时，，
综上所述，
（2）当时，，所以在上单调递减，
又是上的奇函数，在上单调递减，
从而在上单调递减，
由，
可得，
又在上单调递减，
，即对任意的恒成立，
则，解得或
故的取值范围是.
7．（2021·全国·高一专题练习）已知函数（其中实数）．
（1）若不等式解集为时，求实数a的值；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
【答案】（1）或；（2）.
（1）由题设，是的解集，
为方程的根
由韦达定理，有，
整理得，
解得或；
（2）由题意，时恒成立，
当时，则有恒成立，符合题意；
当时，则有，
若，要使题设不等式恒成立，仅需即可，
由，当时，
故在单调递增，
∴，解之得
综上，.
8．（2022·全国·高一期末）（1）解关于x的不等式
（2）若对任意a∈[-1，1]，恒成立，求实数x的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）
（1）不等式化简为，
当时，不等式等价于，
当时，即时，不等式的解集是或，
当时，即时，不等式的解集是，
当时，即时，不等式的解集是或，
当时，不等式等价于，不等式的解集是.
综上可知：时，不等式的解集是或，时，不等式的解集是，时，不等式的解集是或，当时，不等式的解集是.
（2）不等式整理为，恒成立，
设，
可得： ，即
（1）解得：，（2）解得：或 ，
所以不等式的解集是
④双变量问题型
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，使得成立，等价于，
，
当时，，递减，当时，，递增，
所以当x＝－1时，取得最小值；
当x＝－1时取得最大值为，
所以，即实数a的取值范围是
故选：B．
2．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，，若，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
，，
当，，为减函数.
所以.
又因为在为增函数，
所以，.
因为，，恒成立，
所以即可，即，.
故选：A
3．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数若对,使得成立,则实数的最小值是
A．B．C．2D．3
【答案】C
由题意，对于，使得成立，
可转化为对于，使得成立，
又由，可得，
当时，，所以函数单调递增，
当时，，所以函数单调递减，
所以当时，函数有最大值，最大值为，
又由二次函数，开口向上，且对称轴的方程为，
①当，即时，此时函数，令，
解得（不符合题意，舍去）；
②当，即时，此时函数，令，
解得，（符合题意），
综上所述，实数的最小值为，故选C．
4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____．
【答案】
对任意，不等式恒成立
由 ，得 ，
时， ， 在 上递增
时， ， 在 上递减
由 ，得
时，， 在 上递减
时，， 在 上递增
由即 ，又因为为正实数
解得
故答案为：
5．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
【答案】
因为，
所以，
当时，，当时，，
所以，
因为开口方向向下，
所以在区间上的最小值的端点处取得，
所以要使对，，使得成立，
只需，即或，
即或，
解得，
所以a的取值范围是，
故答案为：
6．（2022·天津市武清区杨村第一中学高二阶段练习）已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
∵，，使得成立，
∴．
由，得，
当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为．
又在上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是．
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
，，使得成立等价于在上，
．
易得，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为．易知在上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是．
故答案为：
8．（2022·全国·高二课时练习）已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
对任意都存在使成立，
所以得到，
而，所以，
即存在，使，
此时，，
所以，
因此将问题转化为
存在，使成立，
设，则，
，
当，，单调递增，
所以，
即，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.