新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题01集合常用逻辑用语不等式选填压轴题（教师版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题01集合常用逻辑用语不等式选填压轴题（教师版），共21页。试卷主要包含了集合的新定义题，逻辑推理，不等式等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是( )
A．、中至少有一个关于乘法是封闭的
B．、中至多有一个关于乘法是封闭的
C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．、中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A
若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D；
从而可得、中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确.
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习）非空集合，且满足如下性质：性质一：若，，则；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）
①若为一个“群”，则必为无限集；
②若为一个“群”，且，，则；
③若，都是“群”，则必定是“群”；
④若，都是“群”，且，，则必定不是“群”；
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
①：设集合，显然，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确；
②：根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述是正确；
③：设，
若，一定有，因为，都是“群”，
所以，因此，若，所以，
，故本叙述正确；
④：因为，，一定存在且，且，
因此且，所以，因此本叙述正确，
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件：
①，，有
②如，，，有；
③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元；
④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群．
例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．，则为一个群
B．，则为一个群
C．，则为一个群
D．{平面向量}，则为一个群
【答案】B
A. ，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，为的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则为一个群，所以该选项正确；
B. ，为的单位元，但是，当时，不存在唯一确定的，所以不满足④，则不为一个群，所以该选项错误；
C. ，满足①②，为的单位元满足③，是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则为一个群，所以该选项正确；
D. {平面向量}，满足①②，为的单位元，逆元为其相反向量，则为一个群，所以该选项正确.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（ ）
A．若，则是U的一个环
B．若，则存在U的一个环F，F含有8个元素
C．若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且
D．若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且
【答案】D
对A，由题意可得满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题意；
对B，若，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确，不符合题意；
对C，如满足环的要求，且含有4个元素，，故C正确，不符合题意.
对D，，，，，
，，
再加上，中至少8个元素，故D错误，符合题意.
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，
故选：D．
6．（2022·上海·高三专题练习）对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”：
①，运算“”为普通减法；
②，运算“”为矩阵加法；
③（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集.
其中对运算“”有单位元素的集合序号为（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③
【答案】D
试题分析：①若，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；
②{表示阶矩阵，}，运算“”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.
7．（2022·全国·高三专题练习）设集合，在集合上定义运算“”：，其中，为被4除的余数，、.则满足关系的的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
解：当x=A0时，（x⊕x）⊕A2=（A0⊕A0）⊕A2=A0⊕A2=A2
当x=A1时，（x⊕x）⊕A2=（A1⊕A1）⊕A2=A2⊕A2=A0
当x=A2时，（x⊕x）⊕A2=（A2⊕A2）⊕A2=A0⊕A2=A2
当x=A3时，（x⊕x）⊕A2=（A3⊕A3）⊕A2=A2⊕A2=A0
则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为：2个．
故选B．
8．（多选）（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群
C．实数集关于数的加法构成群
D．关于数的加法构成群
【答案】CD
对于A：若，对所有的a、，有，
满足乘法结合律，即①成立，满足②的为1，
但当时，不存在，使得，即③不成立，
即选项A错误；
对于B：因为，且，但，
所以选项B错误；
对于C：若，对所有的a、，有，
满足加法结合律，即①成立，满足②的为0，
，，使，即③成立；
即选项C正确；
对于D：若，所有的、，
有，成立，
即①成立；当时，，满足的，即②成立；
，，使，即③成立；
即选项D正确.
故选：CD.
9．（多选）（2022·黑龙江绥化·高一期末）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
【答案】ABD
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；
假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；
令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.
故选：ABD．
10．（多选）（2022·福建三明·高一期末）整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，其中．以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则整数a，b属同一类
【答案】ACD
对A，，即余数为1，正确；
对B，，即余数为3，错误；
对C，易知，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，正确；
对D，由题意能被5整除，则分别被5整除的余数相同，正确.
故选：ACD.
11．（多选）（2022·全国·高一期末）在整数集中被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，､､､､.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．“整数､属于同一类”的充要条件是“”
【答案】ACD
解：对于A选项，，，，故A正确；
对于B选项，，，，故B不正确；
对于C选项，整数集中的数，被除所得余数只能为0，1，2，3，4，
所以，故C正确；
对于D选项，若整数､属于同一类，则，所以，
反之，若，则，整数､属于同一类，故D正确，
故选：ACD.
12．（多选）（2022·全国·高三专题练习）定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
∵，，故A正确；
∵定义且，
∴，，故B正确；
，故C错误；
，所以，故D正确．
故选：ABD．
13．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是_________.
【答案】
根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为：
，，，，，，，.
故排在第6的子集为.
故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.
①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
【答案】①③④
对于①，，则，①正确；
对于②，，则，②不正确；
对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类，
则，③正确；
对于④，若整数、属于同一“类”，
则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，，
则，故，
若，不妨令，
则，
显然，于是得，，即整数属于同一“类”，
“整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确．
正确的结论是①③④.
故答案为：①③④.
15．（2022·上海·高三专题练习）已知有限集，如果A中元素满足：，就称A为n元“均衡集”．若是二元“均衡集”，则的取值范围是__．
【答案】
由题意知是二元“均衡集”，所以，即，
当时，显然不成立，所以，
所以，
设，所以，
当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，
当且仅当时等号成立，
所以的取值范围.
故答案为：.
16．（2022·上海·高三专题练习）若实数a､b､c满足，则a､b､c是调和的，设含有三个元素的集合是集合的子集，当集合中的元素a､b､c既是等差的又是调和的时候，称集合P为“好集”，则三元子集中“好集”的概率是__________.
【答案】
因为，且，所以，所以（舍去）或，
所以，所以，
又解得，且，所以三元子集中“好集”P共1010个，所求的概率为，
故答案为：．
二、逻辑推理
1．（2022·全国·高三专题练习（文））祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以；
反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由推不出，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2022·重庆南开中学高一期中）两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
解：根据祖暅原理，
①由，得到，必要性成立，
②由，则，不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，充分性不成立，
是的必要不充分条件，
故选：B．
3．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于的方程的一根为，
由于两根之和为，则该方程的另一根为，两根异号，合乎题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一根，
由于两根之和为，则另一根也为，两根同号，不合乎题意；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于的方程的两根为和，两根同号，不合乎题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于的方程的两根为和，
两根之和为，不合乎题意.
综上所述，甲命题为假命题.
故选：A.
4．（2022·重庆·高一阶段练习）在中，点是上一点，是的中点，与的交点为有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
假设甲为假，其余为真，
所以丙为真.
由丙：知，.
因为,而,
所以，
这与甲为假矛盾，所以甲为真；
同理，甲：为真时，即，所以，
所以，所以，即丙为真.
甲：为真时，有.
过Q作QN//AB交CP于N，由是的中点，得到,.
而，所以,所以.
因为QN//AB，所以,
又，所以，所以，
因为，，所以，故乙正确；
由得到，故丁错误.
故选：D
5．（2021·全国·二模）已知数列是等差数列，其前项和为，有下列四个命题：
甲：；乙：；丙：；丁：.
如果只有一个是假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
若，则.即；
若，所以，即
若，所以.
又因为只有一个是假命题，所以丙是假命题.
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习（理））关于函数，有下列四个命题：
甲：；
乙：的三根分别为，，；
丙：在上恒为负；
丁：在上单调递增.
如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
若甲命题为假命题，由题意可得，
对任意的，，可得，
，
对任意的，，由于在上单调递增，则，可得，满足条件；
若乙命题为假命题，且，
当时，，此时函数在上不可能单调递增，不满足条件；
若丙命题为假命题，由题意可得，
当且时，，
当且时，，不满足条件；
若丁命题为假命题，由题意可得，
当且时，，不满足条件.
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）抛物线（）的焦点为，过与轴垂直的直线交于点，，有下列四个命题：
甲：点坐标为；
乙：抛物线的准线方程为；
丙：线段长为4；
丁：直线与抛物线相切．
如果只有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
解：抛物线（）的焦点坐标为，
若，则，，甲正确；
抛物线的准线方程为，乙错误；
抛物线的通径为，丙正确；
抛物线方程为，与联立，可得，即，
可得直线与抛物线相切于，丁正确．
若，则，可得，甲错误；
准线方程为，乙正确；
抛物线的通径为，丙错误，不合题意．
故，甲、丙、丁正确，乙错误．
故选：B．
8．（2022·江苏省镇江中学高一期中）关于函数y=sin（2x+φ）（）有如下四个命题：
甲：该函数在上单调递增；
乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为；
丁：该函数图像的一个对称中心为.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
令，则函数的增区间为…①；
函数图象向右平移个单位长度得到…②；
令…③；
令…④.
若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令，由①，函数的增区间为，则甲正确，矛盾.令，由①，函数的增区间为，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为，时，，则丙正确.由④，函数的对称中心为，令，丁错误.不合题意；
若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的的两个端点的中点为对称中心，由①，令，结合④，令，由函数的奇偶性，取k=0，，由③，，令，则丙错误.不合题意；
若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，由①，函数的增区间为，甲正确.取区间中点，则丁错误.不合题意；
若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，，由①，函数的增区间为，甲正确.由③，.k=-2时，，则丙正确.由④，，令，④错误.满足题意.
综上：该命题是丁.
故选：D.
三、不等式
1．（2022·河南·高二期中（理））已知a，，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
对于A：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项A错误；
对于B：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项B错误；
对于C：，
因为，所以，，，
所以一定成立，即选项C正确；
对于D：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项D错误.
故选：C.
2．（2022·安徽亳州·高三期末（理））设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
因为，所以，所以，故A错误；
因为，当时，，故B错误；
由，且时，，
所以，故C错误；
因为，所以
所以 ，故D正确.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的序号是（ ）
①，②，③，④若，则
A．①②B．①③C．①④D．②④
【答案】B
因为，即，则，得.
对于①，因为指数函数为上的减函数，则，①对；
对于②，，则，②错；
对于③，构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，则，即，
故，③对；
对于④，，则，则，④错.
故选：B.
4．（2022·浙江·高三专题练习）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是
A．B．C．D．
【答案】B
由，，所以
，故；同理，
，故.因为，故.故最低费用为.故选B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，即，
∵，
∴综上，.
故选：B
6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
因为，
所以，
又因为，
所以，
又因，
所以且，
所以，所以，
故选：D
7．（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知0A．m【答案】A
因00，
又m<0，n<0，则，于是得m所以m故选：A
8．（2022·全国·高一课时练习）若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
【答案】a，
∵，∴
∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，
即a故答案为：a9．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为( )
A．0B．2C．4D．6
【答案】A
，，
当时等式不成立，∴a≠1，∴，
∴，
当且仅当时取等号，
故选：A．
10．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知实数满足，则的最小值为( )
A．2B．1C．4D．5
【答案】A
由得，因式分解得，
则，当且仅当时取得最小值．
故选：A．
11．（2022·全国·模拟预测）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，与古希腊数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为24，，则当三角形面积最大值时AB边上的高为（ ）
A．8B．C．12D．
【答案】B
由题意得，，，则
，
当且仅当，且，即时，等号成立，此时三角形的面积取得最大值，所以AB边上的高为
故选：B.
12．（2022·河南驻马店·高二期中（文））对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做的“上确界”，若a，b均大于0，且，则的“上确界”为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为a，b均大于0，且，
所以（当且仅当，即时取“=”），
所以.
所以的“上确界”为.
故选：D
13．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：因为方程有解，
所以方程有解，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数a的取值范围为，
故选：C
14．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因为，，所以，
又
所以
当且仅当即，时，取等号
所以
故选：A