2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布高考大题规范解答__概率统计提能训练

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(1)若学校随机从数学奥赛集训队抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率；
(2)现学校欲通过考试对数学奥赛集训队成员进行考核，考试一共3道题，在测试中3道题中至少答对2道题记作合格．现已知张同学每道试题答对的概率均为eq \f(1,2)，王同学每道试题答对的概率均为eq \f(2,3)，并且每位同学回答每道试题之间互不影响，记X为两名同学在考试过程中合格的人数，求X的分布列和数学期望．
[解析] (1)设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，
则有P(A)＝eq \f(C\\al(2,7)C\\al(1,8),C\\al(3,15))＝eq \f(24,65).
(2)设张同学、王同学答对的题数分别为Y，Z，
张同学在考试中合格的概率为
P(Y≥2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＋Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝eq \f(1,2)，
王同学在考试中合格的概率为
P(Z≥2)＝P(Z＝2)＋P(Z＝3)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1＋Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0＝eq \f(20,27).
由题意得X可取0,1,2，
则P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(20,27)))＝eq \f(7,54)，
P(X＝1)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(20,27)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(20,27)＝eq \f(1,2)，
P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(20,27)＝eq \f(10,27)，
所以X的分布列为
因此X的数学期望E(X)＝0×eq \f(7,54)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(10,27)＝eq \f(67,54).
2．(2023·湖南部分学校联考)民族要复兴，乡村要振乡，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上(含40周岁)的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示.
(1)请完成答题卡上的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析“编织巧手”与“年龄”是否有关；
(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．
参考公式：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
[解析] (1)年龄在40周岁以上(含40周岁)的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．
列联表如下：
零假设为H0：“编织巧手”与“年龄”无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝eq \f(40×19×10－6×52,24×16×25×15)≈7.111>6.635＝x0.010，
根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010.
(2)由题意可得这6人中年龄在40周岁以上(含40周岁)的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4.
从这6人中随机抽取2人的情况有Ceq \\al(2,6)＝15种，
其中符合条件的情况有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,2)＝8种，
故所求概率P＝eq \f(8,15).
3．(2024·广东惠州调研)甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球．若甲发球，则本回合甲赢的概率为eq \f(2,3)，若乙发球，则本回合甲赢的概率为eq \f(1,3)，每回合比赛的结果相互独立，经抽签决定，第1回合由甲发球．
(1)求前4个回合甲发球两次的概率；
(2)求第4个回合甲发球的概率；
(3)设前4个回合中，甲发球的次数为X，求X的分布列及期望．
[解析] (1)前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：
第一种情况，甲第1,2回合发球，乙第3,4回合发球，
其概率为eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,27).
第二种情况，甲第1,3回合发球，乙第2,4回合发球，
其概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).
第三种情况，甲第1,4回合发球，乙第2,3回合发球，
其概率为eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,27).
故前4个回合甲发球两次的概率为eq \f(4,27)＋eq \f(1,27)＋eq \f(2,27)＝eq \f(7,27).
(2)第2回合甲发球的概率为eq \f(2,3)，乙发球的概率为eq \f(1,3).
第3回合甲发球的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,9)，
乙发球的概率为eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9).
第4个回合甲发球的概率为eq \f(5,9)×eq \f(2,3)＋eq \f(4,9)×eq \f(1,3)＝eq \f(14,27).
(3)X可以取1,2,3,4.
当X＝1时，P1＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,27)；
当X＝4时，P4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)；
由(1)得，当X＝2时，P2＝eq \f(7,27)；
当X＝3时，P3＝1－P1－P2－P4＝eq \f(8,27).
X的分布列为
E(X)＝1×eq \f(4,27)＋2×eq \f(7,27)＋3×eq \f(8,27)＋4×eq \f(8,27)＝eq \f(74,27).
4．(2024·广西南宁、玉林摸底)后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
假设每个组内的数据是均匀分布的．
(1)求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位)；
(2)从个人所得税在(6,8]，(14,16]，(16,18]三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在(14,16]内的员工人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在(14,18]内的员工人数为Y，求Y的数学期望与方差．
[解析] (1)设中位数为x，前四个矩形的面积之和为(0.02＋0.03＋0.05＋0.05)×2＝0.30.5，
所以可设中位数为x∈(8,10)，
由中位数的定义可得0.3＋(x－8)×0.15＝0.5，
解得x＝eq \f(28,3)≈9.3.
(2)由频率分布直方图，得这500名在职员工的个人所得税在(6,8]，(14,16]，(16,18]三组内的员工人数分别为：500×0.05×2＝50,500×0.04×2＝40,500×0.01×2＝10，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从在(14,16]内的员工中抽取eq \f(40,50＋40＋10)×10＝4人，
从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,6)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,2)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,6),C\\al(3,10))＝eq \f(3,10)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,10))＝eq \f(1,30)，
所以X的分布列为
数学期望E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
(3)员工的个人所得税在(14,18]内的概率为0.04×2＋0.01×2＝0.1，
从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，个人所得税在(14,18]内的员工人数为Y，则Y～B(100,0.1)，E(Y)＝100×0.1＝10，D(Y)＝100×0.1×0.9＝9.X
0
1
2
P
eq \f(7,54)
eq \f(1,2)
eq \f(10,27)
“编织巧手”
非“编织巧手”
总计
年龄≥40岁
19
年龄