2025版高考数学一轮总复习第6章数列高考大题规范解答__高考中数列问题的热点题型提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第6章数列高考大题规范解答__高考中数列问题的热点题型提能训练，共6页。
1.(2023·全国乙卷文科)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解析] 设{an}的公差为d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝a1＋d＝11，,S10＝10a1＋45d＝40，))
解得a1＝13，d＝－2.
所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n.
由(1)得|an|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15－2n，n≤7，,2n－15，n≥8，))
当n≤7时，Tn＝13n＋eq \f(nn－1,2)×(－2)＝14n－n2，
当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋eq \f(n－7[1＋2n－7－1],2)＝98－14n＋n2.
综上，Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(14n－n2，n≤7，,98－14n＋n2，n≥8，))
2.(2023·重庆巴蜀中学期中)已知等差数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，{bn}为各项均为正数的等比数列，b1＝2，且b2＋S2＝7，a2＋b3＝10.
(1)求an与bn；
(2)定义新数列{cn}满足cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数,bn，n为偶数))(n∈N*)，求{Cn}前20项的和T20.
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，则由题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2q＋2＋d＝7，,1＋d＋2q2＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝2,d＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝－1,d＝7))(舍去)，∴an＝a1＋(n－1)d＝n，bn＝b1qn－1＝2n.
(2)由题意知cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(nn为奇数，,2nn为偶数.))
∴T20＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c19＋c20
＝1＋22＋3＋24＋…＋19＋220
＝(1＋3＋…＋19)＋(22＋24＋…＋220)
＝eq \f(101＋19,2)＋eq \f(41－410,1－4)
＝100＋eq \f(4,3)(410－1).
3.(2023·山东青岛一模，18)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S2，S4，S5＋4成等差数列，a2，a4，a8成等比数列.
(1)求Sn；
(2)记数列{bn}的前n项和为Tn,2bn－Tn＝eq \f(n＋2,Sn)，证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(1,Sn)))为等比数列，并求{bn}的通项公式.
[解析] (1)由S2，S4，S5＋4成等差数列，a2，a4，a8成等比数列可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S5＋4＋S2＝2S4，,a\\al(2,4)＝a2a8，))
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5a1＋10d＋4＋2a1＋d＝24a1＋6d，,a1＋3d2＝a1＋da1＋7d，))⇒a1＝2，d＝2，
则Sn＝2n＋eq \f(nn－1,2)×2＝n2＋n.
(2)由2bn－Tn＝eq \f(n＋2,Sn)得2bn＝Tn＋eq \f(n＋2,nn＋1)＝Tn＋eq \f(2,n)－eq \f(1,n＋1)，
故2bn＋1＝Tn＋1＋eq \f(2,n＋1)－eq \f(1,n＋2)，两式相减可得2bn＋1－2bn＝bn＋1＋eq \f(2,n＋1)－eq \f(1,n＋2)－eq \f(2,n)＋eq \f(1,n＋1)⇒bn＋1－eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bn－\f(1,n)＋\f(1,n＋1)))，
又eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(1,Sn)))即为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(1,n)＋\f(1,n＋1)))，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(1,Sn)))是公比为2的等比数列，且首项为eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝1，
故bn－eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＝2n－1，bn＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)＋2n－1.
4.(2021·全国乙，19)设eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是首项为1的等比数列，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))满足bn＝eq \f(nan,3).已知a1,3a2,9a3成等差数列.
(1)求eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))的前n项和.证明：Tn