2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第4讲平面向量的综合应用提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第4讲平面向量的综合应用提能训练，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若O为△ABC内一点，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，则O是△ABC的( B )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
[解析] 由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.
2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2－6，则点P的轨迹是( D )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析] 因为eq \(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.
3．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cs θ)，则|a－b|的最大值为( B )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \r(3) D．2
[解析] ∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cs θ)，
∴a－b＝(0，sin θ－cs θ)．
∴|a－b|＝eq \r(02＋sin θ－cs θ2)＝eq \r(1－sin 2θ).
∴|a－b|最大值为eq \r(2).故选B.
4．已知A，B是圆心为C半径为eq \r(5)的圆上两点，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))等于( A )
A．－eq \f(5,2) B．eq \f(5,2)
C．0 D．eq \f(5\r(3),2)
[解析] 由于弦长|AB|＝eq \r(5)与半径相等，则∠ACB＝60°⇒eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－|eq \(CA,\s\up6(→))|·|eq \(CB,\s\up6(→))|·cs ∠ACB＝－eq \r(5)×eq \r(5)·cs 60°＝－eq \f(5,2).
5．(2023·云南省宾川高三上学期数学摸底试卷)点P是△ABC内一点且满足4eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则△PBC，△PAC，△PAB的面积比为( A )
A．4∶3∶2 B．2∶3∶4
C．1∶1∶1 D．3∶4∶6
[解析] 由P是△ABC内一点且满足4eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，根据向量的几何运算作出图形如下，
其中|PA|＝eq \f(1,4)|PA′|，|PC′|＝2|PC|，
|PB|＝eq \f(1,3)|PB′|，
虚线为垂线，且|B′D|＝3|BF|，|A′M|＝4|AE|，
|A′G|＝4|AN|.
所以S△PBC＝eq \f(1,2)|PC||BF|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)|PC′|×eq \f(1,3)×|B′D|＝eq \f(1,6)S△PB′C′，
S△PAC＝eq \f(1,2)|PC||AE|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)|PC′|×eq \f(1,4)×|A′M|＝eq \f(1,8)S△PA′C′，
S△PAB＝eq \f(1,2)|PB||AN|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)|PB′|×eq \f(1,4)×|A′G|＝eq \f(1,12)S△PA′B′，
又PA′C′B′为平行四边形，
所以S△PA′B′＝S△PA′C′＝S△PB′C′，
所以S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝eq \f(1,6)∶eq \f(1,8)∶eq \f(1,12)＝4∶3∶2，
选A.
6．(2022·浙江省兰溪市第三中学月考)扇形OAB的半径为1，圆心角为eq \f(2π,3)，P是 eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) 上的动点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))的最小值为( C )
A．－eq \r(2) B．0
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
[解析] 由题设，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OP,\s\up6(→))2－eq \(OP,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))，
∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)，eq \(OP,\s\up6(→))2＝1，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)－eq \(OP,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，要使eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))最小，即eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))同向共线．
又|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OP,\s\up6(→))|＝1，
∴(eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→)))min＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2).
故选C.
二、多选题
7．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( AD )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|a－b|
[解析] f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.
依题意知f(x)的图象是一条直线，
所以a·b＝0，即a⊥b.故选AD.
8．如图，已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，下列选项正确的是( BCD )
A.eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为－eq \r(3)
B.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为eq \r(3)
D.eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
[解析] 由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，得eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|，又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝eq \f(π,6)，所以eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影为|eq \(CA,\s\up6(→))|cseq \f(π,6)＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，故A错误，C正确．因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－2，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，故B、D正确．
三、填空题
9．在△ABC中，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝2，则边AB的长等于 2 .
[解析] 由题意知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝4，即eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝4，即eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2.
10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 eq \f(2π,3) .
[解析] 由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cs θ＝0，所以cs θ＝－eq \f(1,2)，又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(2π,3).
11．已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin \f(x,4)，1))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,4)，cs2\f(x,4))).若m·n＝1，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))＝ －eq \f(1,2) .
[解析] m·n＝eq \r(3)sin eq \f(x,4)cs eq \f(x,4)＋cs2eq \f(x,4)
＝eq \f(\r(3),2)sin eq \f(x,2)＋eq \f(1＋cs \f(x,2),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
因为m·n＝1，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2).
因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2).故填－eq \f(1,2).
12．(2024·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为 1 .
[解析] 解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，∴eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝t≤1.
解法二：选取{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))}作为基底，设eq \(AE,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，0≤t≤1，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(teq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝t≤1.
解法三：设eq \(AE,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，
则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(DE,\s\up6(→))|·1·cs ∠AED＝|eq \(AE,\s\up6(→))|＝|t||eq \(AB,\s\up6(→))|＝|t|≤1.
四、解答题
13．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
[解析] (1)因为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，m⊥n，所以m·n＝0，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝0，所以sin x＝cs x，所以tan x＝1.
(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝eq \f(1,2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2).因为014．(2023·甘肃会宁一中高三上第二次月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－eq \r(3))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2B，2cs2\f(B,2)－1))，且m∥n.
(1)求锐角B的大小；
(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
[解析] (1)∵m∥n，
∴2sin Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(B,2)－1))＝－eq \r(3)cs 2B，
∴sin 2B＝－eq \r(3)cs 2B，即tan 2B＝－eq \r(3).
又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，
∴2B＝eq \f(2π,3)，∴B＝eq \f(π,3).
(2)∵B＝eq \f(π,3)，b＝2，
∴由余弦定理cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，得a2＋c2－ac－4＝0.
又∵a2＋c2≥2ac，
∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)ac≤eq \r(3)(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．
∴△ABC的面积的最大值为eq \r(3).
B组能力提升
1．(2023·邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，cs \f(A,2)))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，cs \f(B,2)))，p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，cs \f(C,2)))共线，则△ABC的形状为( A )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] 由题意得acs eq \f(B,2)＝bcs eq \f(A,2)，acs eq \f(C,2)＝ccs eq \f(A,2)，由正弦定理得sin Acs eq \f(B,2)＝sin Bcs eq \f(A,2)⇒sin eq \f(B,2)＝sin eq \f(A,2)⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.
2．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足|eq \(MN,\s\up6(→))|·|eq \(MP,\s\up6(→))|＋eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(NP,\s\up6(→))＝0，则点P的轨迹的曲线类型为( B )
A．双曲线 B．抛物线
C．圆 D．椭圆
[解析] eq \(MN,\s\up6(→))＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，|eq \(MN,\s\up6(→))|＝6，eq \(MP,\s\up6(→))＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，eq \(NP,\s\up6(→))＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以|eq \(MN,\s\up6(→))|·|eq \(MP,\s\up6(→))|＋eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(NP,\s\up6(→))＝6eq \r(x＋32＋y2)＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.
3．如图，扇形的半径为2，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧 eq \\ac(BC,\s\up10(︵)) 上运动，eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \r(3)x－y的取值范围是( B )
A．[－eq \r(3)，2] B．[－1,2]
C．[－2,4] D．[－2eq \r(3)，4]
[解析] 根据题意，建立坐标系，求出向量坐标，设P(2cs θ，2sin θ)，根据向量坐标的运算得x、y的表达式，结合三角函数的性质分析可得答案．根据题意，以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图：P(2cs θ，2sin θ)，0°≤θ≤150°，则A(0,0)，B(2,0)，C(－eq \r(3)，1)，eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则有(2cs θ，2sin θ)＝x(2,0)＋y(－eq \r(3)，1)＝(2x－eq \r(3)y，y)，变形可得：cs θ＝x－eq \f(\r(3),2)y，sin θ＝eq \f(y,2)；则有x＝cs θ＋eq \r(3)sin θ，y＝2sin θ，eq \r(3)x－y＝eq \r(3)cs θ＋3sin θ－2sin θ＝eq \r(3)cs θ＋sin θ＝2sin(θ＋60°)，又由0°≤θ≤150°，则60°≤θ＋60°≤210°，则有－1≤eq \r(3)x－y＝2sin(θ＋60°)≤2，故eq \r(3)x－y的取值范围是[－1,2]，故选B.
4．(多选题)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，则函数f(x＋1)是( AD )
A．周期为4的函数 B．周期为2π的函数
C．奇函数 D．偶函数
[解析] 由题图可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2ω)，\r(3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2ω)，－\r(3)))，
由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0得eq \f(3π2,4ω2)－3＝0，又ω>0，
所以ω＝eq \f(π,2)，所以f(x)＝eq \r(3)sin eq \f(π,2)x，
所以f(x＋1)＝eq \r(3)sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋1))＝eq \r(3)cs eq \f(π,2)x，它是周期为4的偶函数．故选AD.
5．(2022·湖南五市十校联考)已知向量m＝(cs x，sin x)，n＝(cs x，eq \r(3)cs x)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋eq \f(1,2).
(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；
(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2eq \r(2)，△ABC的面积为eq \f(1,2)，求a的值．
[解析] (1)由题意知f(x)＝cs2x＋eq \r(3)sin xcs x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1，令2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，解得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))，k∈Z.
(2)∵f(A)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＋1＝2，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＝1.
∵0∴2A＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即A＝eq \f(π,6).
由△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)，得bc＝2.
又b＋c＝2eq \r(2)，
∴a2＝b2＋c2－2bccs A＝(b＋c)2－2bc(1＋cs A)，
解得a＝eq \r(3)－1.
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(eq \r(2)a－c)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝ceq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→)).
(1)求角B的大小；
(2)若|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，求△ABC面积的最大值．
[解析] (1)由题意得(eq \r(2)a－c)cs B＝bcs C．
根据正弦定理得(eq \r(2)sin A－sin C)cs B＝sin Bcs C，
所以eq \r(2)sin Acs B＝sin (C＋B)，
即eq \r(2)sin Acs B＝sin A，因为A∈(0，π)，
所以sin A>0，
所以cs B＝eq \f(\r(2),2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4).
(2)因为|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，所以|eq \(CA,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即b＝eq \r(6)，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－eq \r(2)ac≥2ac－eq \r(2)ac＝(2－eq \r(2))ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋eq \r(2))．
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B≤eq \f(3\r(2)＋1,2)，
因此△ABC的面积的最大值为eq \f(3\r(2)＋3,2).