2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第3讲平面向量的数量积提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第3讲平面向量的数量积提能训练，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量a＝(－2,6)，b＝(1，x)，若a与b反向，则a·(3a＋b)＝( D )
A．－30 B．30
C．－100 D．100
[解析] 由已知得a与b共线，则－2×x＝1×6，解得x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以3a＋b＝3(－2,6)＋(1，－3)＝(－5,15)，因此a·(3a＋b)＝(－2,6)·(－5,15)＝100.故选D.
2．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|＝( D )
A．13＋6eq \r(2) B．2eq \r(5)
C.eq \r(30) D．eq \r(34)
[解析] ∵a＝(1,1)，∴|a|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2).∴a·b＝|a||b|cs 45°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.∴|3a＋b|＝eq \r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq \r(18＋4＋12)＝eq \r(34).故选D.
3．已知a，b是单位向量，若|a＋2b|＝|2a－b|，则a，b的夹角是( B )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(π,2)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(3π,4)
[解析] 根据向量模的数量积运算得a·b＝0，进而a，b的夹角是eq \f(π,2).因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，因为|a＋2b|＝|2a－b|，所以|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2，所以12＋4a·b＋4×12＝4×12－4a·b＋12，即a·b＝0，所以a⊥b，即a，b的夹角是eq \f(π,2).故选B.
4．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x等于( C )
A．－2 B．±eq \r(2)
C．±2 D．2
[解析] 解法一：a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2.
解法二：因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2.
5．已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝3，则向量a在向量b上的投影向量为( A )
A．－eq \f(1,2)b B．－b
C．－2b D．－4b
[解析] 首先根据|a－b|＝3，求出a与b的夹角，再根据向量a在向量b上的投影向量的定义即可求解．由题意可知，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝9，又|a|＝1，|b|＝2，代入可得1－2a·b＋4＝9，a·b＝－2，则a·b＝|a|·|b|·cs θ＝－2，其中θ为a与b的夹角，解得cs θ＝－1.则向量a在向量b上的投影向量为|a|cs θ·eq \f(b,|b|)＝－eq \f(1,2)b.故选A.
6．(2023·湖南省澧县一中高三试题)若AC⊥BC，AC＝BC＝1，点P是△ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．(－1,1)
[解析] 建立平面直角坐标系，设出点P坐标，根据向量数量积的坐标运算，转化成坐标间的关系；根据坐标的取值范围确定数量积的范围．建立平面直角坐标系，由AC⊥BC，AC＝BC＝1，∴A(0,1)，B(1,0)，
设点P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,1－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)；又P是△ABC内的一点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0，,x＋y<1，))∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－x(1－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2－eq \f(1,2)；它表示△ABC内的点到点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))距离的平方，再减去eq \f(1,2)的值；结合图形知，点P与点M重合时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))取得最小值为－eq \f(1,2)，点P与点A或B或C重合时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))取得最大值为0，∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)).
7．(2023·新高考八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝eq \r(7)a＋eq \r(2)b，则sin〈a，c〉＝( B )
A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(7),9) D．eq \f(\r(2),9)
[解析] 解法一：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(eq \r(7)，eq \r(2))，
cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(\r(7),1×3)＝eq \f(\r(7),3)，
∴sin〈a，c〉＝eq \f(\r(2),3)，故选B.
解法二：|c|2＝c2＝(eq \r(7)a＋eq \r(2)b)2＝7a2＋2eq \r(14)a·b＋2b2＝9，∴|c|＝3
a·c＝a(eq \r(7)a＋eq \r(2)b)＝eq \r(7)a2＋eq \r(2)a·b＝eq \r(7)
∴cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(\r(7),3)，∴sin〈a，c〉＝eq \f(\r(2),3).故选B.
8．(2022·江西南昌二中期末改编)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是( C )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))
[解析] ∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－eq \f(1,2).又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．故选C.
二、多选题
9．已知向量a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，c＝(1,1)，设a，b的夹角为θ，则( BD )
A．|a|＝|b| B．a⊥c
C．b∥c D．θ＝135°
[解析] 由a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，得a＝(－1,1)，b＝(2,0)，则|a|＝eq \r(2)，|b|＝2，故A不正确；a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确；不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(－2,\r(2)×2)＝－eq \f(\r(2),2)，所以θ＝135°，故D正确．故选BD.
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是( CD )
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b上的投影向量为eq \f(\r(2),2)b
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
[解析] 对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，
则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，
所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，向量a在b上的投影向量为
eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)b，B错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
得mn＝eq \f(1,2)(2m·n)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m＋n,2)))2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．
11．(2023·武汉调研)如图，点A，B在圆C上，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值( BC )
A．与圆C的半径有关 B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关 D．与点A，B的位置有关
[解析] 如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB与D，则D是AB的中点，故eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs∠CAD＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·eq \f(\f(1,2)|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，故eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关，故选BC.
三、填空题
12．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cs a，b＝ －eq \f(\r(2),10) .
[解析] cs a，b＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2×－8＋2×6,2\r(2)×10)＝－eq \f(\r(2),10).
13．(2020·全国Ⅱ，13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝ eq \f(\r(2),2) .
[解析] 本题考查平面向量的数量积运算．由题意知|a|＝|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cs 45°＝eq \f(\r(2),2).因为ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝0，即ka2－a·b＝0，即k－eq \f(\r(2),2)＝0，得k＝eq \f(\r(2),2).
14．已知e1，e2为单位向量且夹角为eq \f(2π,3)，设a＝3e1＋2e2，b＝3e2，则a在b上的投影向量为 eq \f(1,2)e2 .
[解析] 因为a＝3e1＋2e2，b＝3e2，所以a·b＝(3e1＋2e2)·3e2＝9e1·e2＋6eeq \\al(2,2)＝9×1×1×cs eq \f(2π,3)＋6＝eq \f(3,2)，又|b|＝3，所以a在b上的投影向量为eq \f(a·b,|b|)e2＝eq \f(\f(3,2),3)e2＝eq \f(1,2)e2.
15．(2021·新高考Ⅱ，15)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝ －eq \f(9,2) .
[解析] 由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，则a·(b＋c)＝－a2，所以a·b＋c·a＝－12＝－1.
由b＋c＝－a，得(b＋c)2＝(－a)2，则b2＋2b·c＋c2＝a2，
即22＋2b·c＋22＝12，
所以b·c＝－eq \f(7,2)，则a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(9,2).
四、解答题
16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．
[解析] (1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6,4×3)＝－eq \f(1,2).
又0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(2π,3).
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝eq \r(13).
(3)因为eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq \f(2π,3)，
所以∠ABC＝π－eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3).
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC
＝eq \f(1,2)×4×3×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).
B组能力提升
1．(2023·新乡质检)已知向量a＝(0,2)，b＝(2eq \r(3)，x)，且a与b的夹角为eq \f(π,3)，则x＝( B )
A．－2 B．2
C．1 D．－1
[解析] 由题意得eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2x,2·\r(12＋x2))＝eq \f(1,2)，
则2x＝eq \r(12＋x2)，解之得x＝2，x＝－2(舍去)．
2．(2023·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若eq \(CE,\s\up6(→))＝－7eq \(DE,\s\up6(→))，3eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝( D )
A．11 B．10
C．－10 D．－11
[解析] 以A为坐标原点，建立直角坐标系如图．
则A(0,0)，B(4,0)，E(1,4)，F(5，1)，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝(5,1)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－3，4)，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝－15＋4＝－11.
3．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝eq \f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( B )
A．4 B．－4
C．eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
[解析] 由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－eq \f(n2,m·n)＝－eq \f(n2,|m|·|n|cs〈m，n〉)＝－eq \f(|n|2,|m|×|n|×\f(1,3))＝－3×eq \f(|n|,|m|)＝－3×eq \f(4,3)＝－4.故选B.
4．(多选题)(2022·湖北洪湖市第一中学高一阶段练习)已知向量a＝(3,4)，b＝(cs θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是( AC )
A．若a⊥b，则tan θ＝－eq \f(3,4)
B．存在θ，使得|a－b|＝|a|＋|b|
C．若向量b在a方向上的投影向量为eq \f(\r(2),10)a，则向量a与b的夹角为eq \f(π,4)
D．与向量a共线的单位向量是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))
[解析] 向量a＝(3,4)，b＝(cs θ，sin θ)(0≤θ≤π)，
A项，因为a⊥b，所以a·b＝(3,4)·(cs θ，sin θ)＝3cs θ＋4sin θ＝0，所以tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(3,4)，故选项A正确；
B项，要使|a－b|＝|a|＋|b|成立，则有a与b共线反向，即a＝λb(λ<0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λcs θ，,4＝λsin θ，))
因为λ<0,0≤θ≤π，所以sin θ≥0，所以4＝λsin θ不成立，
所以方程组无解，所以不存在θ，使得|a－b|＝|a|＋|b|，故选项B错误；
C项，|a|＝eq \r(32＋42)＝5，|b|＝eq \r(cs2 θ＋sin2 θ)＝1，
因为向量b在a方向上的投影向量为eq \f(\r(2),10)a，
所以向量b在a方向上的投影为eq \f(\r(2),10)|a|，
即|b|cs〈a，b〉＝eq \f(\r(2),10)|a|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(\r(2),10)×5＝eq \f(\r(2),2)，
又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝eq \f(π,4)，即向量a与b的夹角为eq \f(π,4)，故选项C正确；
D项，因为|a|＝eq \r(32＋42)＝5，所以与向量a共线的单位向量是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，故选项D错误．故选AC.
5．(2022·上海卷)在△ABC中，C＝eq \f(π,2)，AC＝BC＝2，M为边AC的中点，若点P在边AB上运动(点P可与A，B重合)，则eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))的最小值为 eq \f(7,8) .
[解析] 解法一：如图，以C为坐标原点，建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(0,2)，B(2,0)，M(0,1)，依题意可设P(x,2－x)，则eq \(MP,\s\up6(→))＝(x,1－x)，eq \(CP,\s\up6(→))＝(x，2－x)，所以eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))＝(x,1－x)·(x,2－x)＝2x2－3x＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋eq \f(7,8)≥eq \f(7,8).故eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))的最小值为eq \f(7,8).
解法二：取MC的中点为Q，连接PQ，则|eq \(QC,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)，所以eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))2－eq \(QC,\s\up6(→))2＝eq \(PQ,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2\r(2))))2－eq \f(1,4)＝eq \f(7,8).故eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))的最小值为eq \f(7,8).
6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝eq \f(3π,4)，设点D为线段OA上的动点，求|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cs θ，sin θ－2cs θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
[解析] (1)设D(t,0)(0≤t≤1)，
由题意知Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，
所以|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(2),2)))2＋eq \f(1,2)，
所以t＝eq \f(\r(2),2)时，|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|最小，
最小值为eq \f(\r(2),2).
(2)由题意得C(cs θ，sin θ)，
m＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cs2 θ＋sin2 θ－2sin θcs θ＝1－cs 2θ－sin 2θ＝1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))，
因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以eq \f(π,4)≤2θ＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以当2θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，
即θ＝eq \f(π,8)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))取得最大值1，
即m·n取得最小值1－eq \r(2).
所以m·n的最小值为1－eq \r(2)，
此时θ＝eq \f(π,8).