2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第9讲函数模型及其应用提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第9讲函数模型及其应用提能训练，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图所示的是一份统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的有( C )
(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；
(2)人民生活费收入增长最快的一年是2019年；
(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2020年；
(4)虽然2021年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．
A．1项 B．2项
C．3项 D．4项
2．(2024·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是( A )
[解析] 根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的．
3．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)的河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝eq \f(r,k)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m0－\f(r,R)))e－eq \f(k,v)t(m0为初始河水污染质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)( C )
A．1个月 B．3个月
C．半年 D．1年
[解析] 由题可知，m(t)＝m0e－eq \f(1,80)t＝0.1m0，∴e－eq \f(1,80)t＝0.1，∴－eq \f(1,80)t＝ln 0.1≈－2.30，∴t≈184(天)，
∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年，故选C.
4．(2023·西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( D )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
[解析] 对于A，由图象可知当速度大于40 km/h时，乙车的燃油效率大于5 km/L，
∴当速度大于40 km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5 km，故A错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；
对于C，由图象可知当速度为80 km/h时，甲车的燃油效率为10 km/L，即甲车行驶10 km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80 km，燃油为8升，故C错误；
对于D，由图象可知当速度小于80 km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故D正确．故选D.
5．(2022·全国高三专题练习)2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5 000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2 000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1 000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
现有李某月收入为18 000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为( C )
A．1 800元 B．1 000元
C．790元 D．560元
[解析] 李某月应纳税所得额(含税)为：18 000－5 000－1 000－2 000＝10 000元，
不超过3 000的部分税额为3 000×3%＝90元，
超过3 000元至12 000元的部分税额为(10 000－3 000)×10%＝7 000×10%＝700元，
所以李某月应缴纳的个税金额为90＋700＝790元．故选C.
6．成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为：L＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12))).若提速前列车的声强级是100 dB，提速后列车的声强级是50 dB，则普通列车的声强是高速列车声强的( B )
A．106倍 B．105倍
C．104倍 D．103倍
[解析] 根据函数模型，列出关系式，进而结合对数与指数的互化运算即可求解．
不妨设普通列车的声强是I1，高速列车声强是I2，
100＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I1,10－12)))，50＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I2,10－12)))，
即lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I1,10－12)))＝10，lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I2,10－12)))＝5，
则lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I1,10－12)))－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I2,10－12)))＝5，
即lgeq \f(I1,I2)＝5，
解得eq \f(I1,I2)＝105.故选B.
二、多选题
7．某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示：
则下列结论中正确的有( BCD )
A．调整后房地产业的利润有所下降
B．调整后医疗器械的利润增长量最大
C．调整后生物制药的利润增长率最高
D．调整后金融产业的利润占比最低
[解析] 利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A错误；对于B，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B正确；对于C，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C正确；对于D，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D正确．故选BCD.
8．某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图．
根据折线图，下列结论正确的是( CD )
A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
[解析] 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，D正确．
9．(2023·济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，则下列结论正确的是( CD )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
[解析] 甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；
当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
三、填空题
10．(2022·北京一模)调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，则额外奖励x分(x为正整数)．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换．
(1)当x＝10时，若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_13__元；
(2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为_36__.
[解析] (1)若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120＋10＝130(分)，
故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1＝13(元)．
(2)设每个家庭每月产生的垃圾为t kg，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元．
当0≤t<100时，f(t)＝0.1t<0.34t·0.4＝0.136t恒成立；
当t≥100时，f(t)＝0.1t＋0.1x≤0.34t·0.4，
可得x≤(0.36t)min＝36.
故x的最大值为36.
11．一种药在病人血液中的量不少于1 500 mg才有效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_2.3__小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1 h)
[解析] 设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，
则500≤2 500×(1－20%)x≤1 500，
整理可得0.2≤0.8x≤0.6，
所以lg0.80.6≤x≤
计算得2.3≤x≤7.2.
四、解答题
12．兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州(途经站点如图所示)．这条“客货共用”铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史．目前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车．预期该路线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时列车为满载状态，载客量为720人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(12－t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人．记列车载客量为p(t)．
(1)求p(t)的表达式；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q(t)＝eq \f(2pt－360,t)－60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．
[解析] (1)由题知，当10≤t<20时，p(t)＝720，
当2≤t<10时，可设p(t)＝720－k(12－t)2，
又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人，
∴p(3)＝720－k(12－3)2＝396，解得k＝4.
此时p(t)＝720－4×(12－t)2＝－4t2＋96t＋144,2≤t<10，
∴p(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4t2＋96t＋144，2≤t<10，,720，10≤t≤20.))
(2)由(1)知：Q(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(132－8t－\f(72,t)，2≤t<10，,\f(1 080,t)－60，10≤t≤20，))
∵2≤t<10时，Q(t)≤132－2eq \r(8t·\f(72,t))＝84，当且仅当t＝3等号成立，
∴2≤t<10时，Q(t)max＝Q(3)＝84，
当10≤t≤20上，Q(t)单调递减，则Q(t)max＝Q(10)＝48，
综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元．
B组能力提升
1．在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1 Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式C＝Wlg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(S,N)))是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq \f(S,N)叫做信噪比．若不改变带宽W.而将信噪比eq \f(S,N)从9提升至161，则最大信息传递率C会提升到原来的( C )
参考数据：lg23＝1.58，lg25＝2.32.
A．2.4倍 B．2.3倍
C．2.2倍 D．2.1倍
[解析] 根据已知条件，列出比例式，再结合对数函数的公式，即可求解．∵信噪比eq \f(S,N)从9提升至161，∴最大信息传递率C会提升到原来的eq \f(Wlg21＋161,Wlg21＋9)＝eq \f(lg22×81,lg22×5)＝eq \f(1＋4lg23,1＋lg25)＝eq \f(1＋4×1.58,1＋2.32)≈2.2.故选C.
2．(2023·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n＝eq \f(x,y)(x代表人均食品支出总额，y代表人均个人消费支出总额)，且y＝2x＋475，各种类型的家庭标准如表：
张先生居住区2019年比2018年食品支出下降7.5%，张先生家在2019年购买食品和2018年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2019年属于( D )
A．贫困 B．温饱
C．小康 D．富裕
[解析] 设2018年人均食品支出x元，则2019年人均食品支出x(1－7.5%)＝92.5%x,2019年人均消费支出2×92.5%x＋475，由题意，有2×92.5%x＋475＋75＝2x＋475，∴x＝500.此时，n＝eq \f(92.5%×500,2×92.5%×500＋475)≈0.330 4＝33.04%，由表知属富裕．
3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0)( B )
A．6 min B．7 min
C．8 min D．9 min
[解析] 由题意可知，
当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，
所以y＝60×0.908 5x＋25.
当y＝55时，55＝60×0.908 5x＋25，
即0.908 5x＝0.5，
则x＝lg0.908 50.5＝eq \f(ln \f(1,2),ln 0.908 5)＝eq \f(－ln 2,ln 0.908 5)≈eq \f(0.693 1,0.096 0)≈7，
所以茶水泡制时间大约为7 min.
4．(多选题)(2024·厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( AD )
A．a＝3
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物eq \f(1,8)小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5eq \f(31,32)小时
[解析] 由函数图象可知y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－a，t≥1，))
当t＝1时，y＝4，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－a＝4，解得a＝3，
∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3，t≥1，))故A正确；
药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝eq \f(1,32)，
药物刚好失效的时间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3＝0.125，
解得t＝6，
故药物有效时长为6－eq \f(1,32)＝5eq \f(31,32)(小时)，
注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，
故B错误，D正确；
注射该药物eq \f(1,8)小时后每毫升血液含药量为4×eq \f(1,8)＝0.5(微克)，故C错误．
5．某商家推行亲子款十二生肖纪念章．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
(1)根据上表数据，为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，从下列函数中选取一个最佳的函数模型是_②__；
①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝lgax.
(2)利用你选取的函数，求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格；
(3)设你选取的函数为y＝f(x)，若对任意实数k，方程f(x)＝kx＋2m＋120恒有两个相异实数根，求m的取值范围．
[解析] (1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，而模型①③均为单调函数，不符合题意，故选择二次函数模型②.
(2)由表中数据可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16a＋4b＋c＝90，,100a＋10b＋c＝51，,－\f(b,2a)＝\f(4＋36,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝－10，,c＝126.))
∴函数模型为y＝eq \f(1,4)x2－10x＋126＝eq \f(1,4)(x－20)2＋26.
∴当市场价最低时的上市时间为20天，最低价格为26元．
(3)∵f(x)＝eq \f(1,4)x2－10x＋126＝kx＋2m＋120，
∴eq \f(1,4)x2－(10＋k)x＋6－2m＝0恒有两个相异实数根，
∴Δ＝(10＋k)2－(6－2m)>0恒成立，
即－2m∵k2＋20k＋94＝(k＋10)2－6≥－6，
∴－2m<－6，∴m>3.
故m的取值范围是(3，＋∞)．
6．方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x(单位：万元)，需再投入流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于9万件时，C(x)＝eq \f(4,x)＋6x－8，当年产量不小于9万件时，C(x)＝5x＋ln x＋eq \f(e3,x)－12.已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完．
(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(注：取e3≈20)
[解析] (1)因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元．
依据题意得，当0当x≥9时，P(x)＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋ln x＋\f(e3,x)－12))－1＝11－ln x－eq \f(e3,x)，
所以P(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x)＋x))，0(2)当0即当x＝2时，P(x)取得最大值为P(2)＝3(万元)，
当x≥9时，P(x)＝11－ln x－eq \f(e3,x)，∴P′(x)＝eq \f(e3－x,x2)，
∴当9≤x0，P(x)单调递增，
当x>e3时，P′(x)<0，P(x)单调递减，
∴当x＝e3时，P(x)取得最大值为P(e3)＝11－ln e3－1＝7(万元)，
∵7>3，
∴当x＝e3≈20时，P(x)的最大值为7万元．
∴当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元． 级数
一级
二级
三级
每月应纳税所
得额x元(含税)
x≤3 000
3 000≤12 000
12 000≤25 000
税率
3
10
20
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
n
n≥59%
50%≤n<59%
40%≤n<50%
30%≤n<40%
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90