2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第5讲椭圆第2课时提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第5讲椭圆第2课时提能训练，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2023·湖北荆州沙市中学模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB.若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为( A )
A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(\r(6),3)
C．eq \f(\r(7),6) D．eq \f(\r(6),6)
[解析] 设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，故四边形AFBF2为平行四边形，
设|AF|＝m，∠ABF＝30°，则|FB|＝2m，
|BF2|＝|AF|＝m，
|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，m＝eq \f(2,3)a，
在△BFF2中，
(2c)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2－2×eq \f(4,3)a×eq \f(2,3)a×cs 120°，整理得到4c2＝eq \f(28a2,9)，即c＝eq \f(\r(7),3)a，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),3).故选A.
2．(2024·福建三明一中月考)焦距为2eq \r(2)，并且截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是eq \f(2,7)的椭圆的标准方程为( A )
A．x2＋eq \f(y2,3)＝1
B．x2＋3y2＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,12)＝1
D．x2＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(x2,3)＋y2＝1
[解析] 设椭圆方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，m>0，n>0，m≠n，
直线y＝2x－1与椭圆相交的两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知x1＋x2＝eq \f(4,7)，
所以y1＋y2＝(2x1－1)＋(2x2－1)＝2(x1＋x2)－2＝2×eq \f(4,7)－2＝－eq \f(6,7)，
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),m)＋\f(y\\al(2,1),n)＝1，,\f(x\\al(2,2),m)＋\f(y\\al(2,2),n)＝1，))两式相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),m)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),n)＝0，
整理得eq \f(x1＋x2x1－x2,m)＝－eq \f(y1＋y2y1－y2,n)，所以2＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2n,3m)，即n＝3m.
又c＝n－m＝eq \r(2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝m＋2，,n＝3m，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝3，,m＝1，))
故椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,3)＝1.故选A.
3．(2024·浙江杭金湖四校联考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F2，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连接BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为( A )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 当x＝c时，eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，∴y＝±eq \f(b2,a)，
∴A(－a,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，O(0,0)，
故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
又eq \(OM,\s\up6(→))∥eq \(OB,\s\up6(→))，所以eq \f(c－a,2)·eq \f(b2,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b2,2a)))c＝0，∴a＝2c，∴e＝eq \f(1,2).故选A.
4．斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( C )
A．2 B．eq \f(4\r(5),5)
C．eq \f(4\r(10),5) D．eq \f(8\r(10),5)
[解析] 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4t2－1,5).
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5－t2)，
当t＝0时，|AB|max＝eq \f(4\r(10),5).故选C.
5．(2024·安徽江淮十校联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1，过左焦点F1作倾斜角为eq \f(π,6)的直线交椭圆于A，B两点，且eq \(AF1,\s\up6(→))＝3eq \(F1B,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率为( C )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(2),3)
[解析] 设F1(－c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点F1倾斜角为eq \f(π,6)的直线方程为x＝eq \r(3)y－c，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,x＝\r(3)y－c，))得(a2＋3b2)y2－2eq \r(3)b2cy－b4＝0，
所以y1＋y2＝eq \f(2\r(3)b2c,a2＋3b2)，y1y2＝－eq \f(b4,a2＋3b2)，①
因为eq \(AF1,\s\up6(→))＝3eq \(F1B,\s\up6(→))，所以y1＝－3y2，②
由①②得eq \f(3c2,a2＋3b2)＝eq \f(1,3)，所以a2＋3b2＝9c2，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋3b2＝9c2，,a2＝b2＋c2，))得a2＝3c2，e2＝eq \f(1,3)⇒e＝eq \f(\r(3),3).故选C.
6．(2024·江苏南通海安中学月考)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率为( A )
A.eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(\r(2),2)
[解析] 不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，椭圆另一焦点为E，由于B是短轴的一个端点，所以|BF|＝|BE|＝eq \r(|BO|2＋|OF|2)＝eq \r(b2＋c2)＝a，又eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，所以|FD|＝eq \f(1,2)a，由椭圆定义可得|DE|＝2a－|DF|＝2a－eq \f(1,2)a＝eq \f(3,2)a，由于∠DBE＝2∠FBO，所以cs∠DBE＝cs 2∠FBO，故eq \f(|BD|2＋|BE|2－|DE|2,2|BD||BE|)＝1－2sin2∠FBO＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2，即eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))2＋a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))a)＝1－2e2，解得e＝eq \f(\r(3),3)，故选A.
7．设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆E上存在点P满足eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \f(a2,2)，则椭圆E离心率的取值范围( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
[解析] 设P(x0，y0)，由椭圆的方程可得F1(－c,0)，F2(c,0)，eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \f(a2,2)，
则(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝eq \f(a2,2)，
即xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(a2,2)＋c2，
由P在椭圆上得eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，所以yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),a2)))，
所以可得eq \f(c2,a2)·xeq \\al(2,0)＋b2＝eq \f(a2,2)＋c2，
所以xeq \\al(2,0)＝eq \f(4a2c2－a4,2c2).又xeq \\al(2,0)∈[0，a2]，
0≤eq \f(4a2c2－a4,2c2)≤a2，解得：eq \f(1,2)≤eq \f(c,a)≤eq \f(\r(2),2)，
即e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).故选B.
二、多选题
8．如图所示，用一个与圆柱底面成θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00)的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝kx(k>0)与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F1，N，F2四点共圆，则C的离心率e的取值范围是( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
[解析] 由题意及椭圆的对称性知∠F1MF2＝eq \f(π,2).设椭圆上顶点为H，则∠F1HF2>eq \f(π,2)，即∠OHF2>eq \f(π,4)，∴c>b，∴c2>a2－c2，解得e＝eq \f(c,a)>eq \f(\r(2),2)，又00)时，|AB|取得最大值eq \r(6).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
第一种情况，若直线AB平行于x轴，则线段AB的垂直平分线为y轴，即t＝0，
第二种情况，若直线AB不平行于x轴，
又因为线段AB的垂直平分线与x轴相交，所以直线AB不平行于y轴，即x1≠x2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),3)＋y\\al(2,1)＝1，,\f(x\\al(2,2),3)＋y\\al(2,2)＝1，))两式相减整理得
eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq \f(1,3)， ①
因为M(x0，y0)是AB的中点，
所以2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，
因为MN⊥AB，
所以kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,kMN)＝eq \f(t－x0,y0)，
所以①变形为eq \f(t－x0,y0)·eq \f(2y0,2x0)＝－eq \f(1,3)，化简得t＝eq \f(2,3)x0，
其中－eq \r(3)