2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程提能训练，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2024·山东学情质检)直线x＋eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角是( D )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
[解析] 由直线的方程得直线的斜率为k＝－eq \f(\r(3),3)，设倾斜角为α，则tan α＝－eq \f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq \f(5π,6).故选D.
2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( D )
A．k1C．k3[解析] 直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以03．下列说法正确的是( A )
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(2,1)
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
[解析] A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故正确；设点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b＋2,2)＝\f(a,2)＋1，,\f(b－2,a)＝－1，))解得a＝1，b＝1，故点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)，故B错误；C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误；D选项错误，还有一条截距都为0的直线y＝x.
4．(2024·山西孝义联考)已知直线l：3mx＋(1－2m)y－2 023＝0的倾斜角为eq \f(3π,4)，则m＝( C )
A．1 B．－1
C．eq \f(1,5) D．－eq \f(1,5)
[解析] 因为直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)，所以斜率k＝tan eq \f(3π,4)＝－1，所以eq \f(3m,2m－1)＝－1，解得m＝eq \f(1,5).故选C.
5．(2024·河南郑州外国语学校月考)已知直线l的方程为xsin α＋eq \r(3)y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π，π)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))
[解析] 设直线的倾斜角为θ(0≤θ<π)，由l：xsin α＋eq \r(3)y－1＝0知k＝－eq \f(\r(3),3)sin α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，故k＝tan θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以当k∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))时，直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))；当k∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))时，直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))；故直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))，故选B.
6．(2023·云南模拟)若等边三角形一边所在直线的斜率为3eq \r(3)，则该三角形另两条边所在直线斜率为( C )
A．－eq \f(\r(3),4)，eq \f(\r(3),5) B．－eq \f(\r(3),4)，eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(\r(3),2)，eq \f(\r(3),5) D．－eq \f(\r(3),2)，eq \f(\r(3),4)
[解析] 如图，△ABC为正三角形，设AB的倾斜角为α，则tan α＝kAB＝3eq \r(3)，
则kBC＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),5)，kAC＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，故选C.
7．直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M(1，－2)恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为( B )
A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0
C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0
[解析] 设P(x0,0)，Q(0，y0)，
∵M(1，－2)为线段PQ中点，
∴x0＝2，y0＝－4，
∴直线PQ的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,－4)＝1，
即2x－y－4＝0.
8．(2024·山西孝义联考)如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由AB>0且BC<0，可得A，B同号，B，C异号，所以A，C也是异号．令x＝0，得y＝－eq \f(C,B)>0；令y＝0，得x＝－eq \f(C,A)>0，所以直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．故选C.
9．(2024·山东济南中学月考)若直线y＝ax＋1与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段总有公共点，则a的取值范围是( B )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪[1，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))
D．(－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
[解析] 由直线y＝ax＋1可得直线的斜率为a，且过定点P(0,1)，又A(2,3)，B(－3,2)，则由图可得，要使直线与线段AB总有公共点，需满足a≥kPA或a≤kPB，又kPA＝eq \f(3－1,2－0)＝1，kPB＝eq \f(2－1,－3－0)＝－eq \f(1,3)，∴a≥1或a≤－eq \f(1,3).故选B.
二、多选题
10．(2024·江苏苏州常熟中学调研)直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0(ab≠0，a≠b)，下列图象中正确的是( BC )
[解析] 直线l1：y＝ax－b，l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)，A选项，由图可知：l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,－b>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,b<0，))l2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b>0，))所以A选项错误．B选项，由图可知：l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,－b<0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b>0，))l2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b>0，))所以B选项正确．C选项，由图可知：l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,－b>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b<0，))l2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b<0，))所以C选项正确．D选项，由图可知：l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,－b>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,b<0，))l2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b<0，))所以D选项错误．故选BC.
11．(2024·江苏连云港中学月考)已知△ABC的三个顶点为A(3,2)，B(－2,3)，C(4,5)，则下列说法正确的是( BCD )
A．直线AC的斜率为eq \f(1,3)
B．直线AB的倾斜角为钝角
C．BC边上的中线所在的直线方程为x＋y－5＝0
D．边AB所在的直线方程为x＋5y－13＝0
[解析] 对于A选项，kAC＝eq \f(5－2,4－3)＝3，A错；对于B选项，kAB＝eq \f(3－2,－2－3)＝－eq \f(1,5)，所以，直线AB的倾斜角为钝角，B对；对于C选项，线段BC的中点为D(1,4)，则kAD＝eq \f(2－4,3－1)＝－1，所以，BC边上的中线所在的直线方程为y－4＝－(x－1)，即x＋y－5＝0，C对；对于D选项，边AB所在的直线方程为y－2＝－eq \f(1,5)(x－3)，即x＋5y－13＝0，D对．故选BCD.
12．(2024·河南洛阳强基联盟联考)已知直线l经过点P(3，－4)，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线l的方程为( AC )
A．x＋y＋1＝0 B．4x＋3y＝0
C．x－y－7＝0 D．4x－3y－24＝0
[解析] 由题意知直线l的截距存在且不为零，所以可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，又直线l过点P(3，－4)．所以eq \f(3,a)＋eq \f(－4,b)＝1，又l与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，所以|a|＝|b|.当a＝b时，eq \f(3,a)＋eq \f(－4,a)＝1，解得a＝－1，即直线l的方程为x＋y＋1＝0；当a＝－b时，eq \f(3,a)＋eq \f(－4,－a)＝1，解得a＝7，即直线l的方程为x－y－7＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或x－y－7＝0.故选AC.
三、填空题
13．(2024·河南新未来质检)已知A(0,2)，B(3,0)，C(m，1－m)三点共线，则m＝ －3 .
[解析] 由题意可知kAB＝kAC，即eq \f(0－2,3－0)＝eq \f(1－m－2,m－0)，解得m＝－3.
14．(2023·江西新余一中开学考)过点A(－5,2)，且在y轴上的截距等于在x轴上的截距的2倍的直线的一般方程是_2x＋5y＝0或2x＋y＋8＝0__.
[解析] 若直线过原点，设其方程为y＝kx.
则2＝－5k，∴k＝－eq \f(2,5)，所求直线方程为2x＋5y＝0；
若直线不过原点，设其方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,2a)＝1，
则eq \f(－5,a)＋eq \f(2,2a)＝1，∴a＝－4，所求直线方程为2x＋y＋8＝0.
15．如图，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线BC的方程为_x－2y－1＝0__.
[解析] 设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，
∵A(5，－2)，B(7,3)，
又M是AC的中点，
∴5＋m＝0，m＝－5，
N是BC的中点，
∴3＋n＝0，n＝－3，
∴点C的坐标为(－5，－3)，
则kBC＝eq \f(3－－3,7－－5)＝eq \f(1,2)，
∴BC的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－7)，
即x－2y－1＝0.
B组能力提升
1．(多选题)(2024·河南漯河中学摸底)下列说法正确的是( ABC )
A．点斜式y－y1＝k(x－x1)适用于不垂直于x轴的任何直线
B．斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线
C．两点式eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线
D．截距式eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1适用于不过原点的任何直线
[解析] A，B，C均正确，D中，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示．故选ABC.
2．(2024·广东深圳实验中学期中)已知点A(－2，－1)，B(3,0)，若点M(x，y)在线段AB上，则eq \f(y－2,x＋1)的取值范围是( A )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[3，＋∞) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3))
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]
[解析] 设Q(－1,2)，则kQA＝eq \f(2－－1,－1－－2)＝3，kQB＝eq \f(2－0,－1－3)＝－eq \f(1,2)，因为点M(x，y)在线段AB上，所以eq \f(y－2,x＋1)的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[3，＋∞)，故选A.
3．(2024·重庆重点中学月考)已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋m＝0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量a＝(3,2)，则直线l′的方程为( A )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x－3y－5＝0
C．3x－2y＋5＝0 D．3x－2y－5＝0
[解析] (2m＋1)x＋(m＋1)y＋m＝0可变形为x＋y＋m(2x＋y＋1)＝0，解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,2x＋y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))即P点坐标为(－1,1)．因为a＝(3,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2,3)))，所以直线l′的斜率为eq \f(2,3)，又l′过点P(－1,1)，代入点斜式方程可得y－1＝eq \f(2,3)(x＋1)，即l′：2x－3y＋5＝0.故选A.
4．(2024·江苏盐城学情调研改编)若直线过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为 x－y＋1＝0或x＋y－3＝0或2x－y＝0 .
[解析] 当直线在两坐标轴上截距都为0时，其方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线在两坐标轴上截距存在且不为0时，设其方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)＝1，,|a|＝|b|，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))直线方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,3)＝1或eq \f(x,－1)＋y＝1，即x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.
5．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4，求直线l的方程；
(4)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
[解析] (1)证明：设直线过定点(x0，y0)，
则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k∈R恒成立，
即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立．
所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0.
解得x0＝－2，y0＝1，故直线l过定点(－2,1)．
另证：kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，
显然x＝－2，y＝1时对任意k方程都成立，
故直线过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥0，,1＋2k≥0，))解得k的取值范围是k≥0.
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，由题意得eq \f(2k＋12,|2k|)＝4，
解得k＝eq \f(1,2)或k＝eq \f(2\r(2)－3,2)或k＝－eq \f(2\r(2)＋3,2)，
故所求直线方程为x－2y＋4＝0或(2eq \r(2)－3)x－2y＋4(eq \r(2)－1)＝0或(2eq \r(2)＋3)x＋2y＋4(eq \r(2)＋1)＝0.
(4)又－eq \f(1＋2k,k)<0，且1＋2k>0，∴k>0，
∴S＝eq \f(2k＋12,2k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)时，等号成立．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.