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2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布课件
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这是一份2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布课件，共60页。PPT课件主要包含了X～Nμσ2，x＝μ，正态分布多维探究，正态分布的综合应用等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 · 双基自测
知识点二 正态分布1．正态分布的定义及表示．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝ ，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X～N(0,1)．
2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_________.σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．
归 纳 拓 展对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(3)P(X
题组二 走进教材2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(1652.5)＝____________.[解析] 因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2
[解析] 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D．
考点突破 · 互动探究
正态分布的性质——自主练透
1.(2023·广东佛山南海区、三水区联考)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1,62)，Y～N(μ2,22)．X和Y的分布密度曲线如图所示．
则下列结果正确的是( )A．D(X)＝6B．μ1>μ2C．P(X≤38)
角度1 正态曲线的对称性 (2024·广东六校联考)某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司购买该种包装的大米1 000袋，则大米质量在10.02 kg以上的袋数大约是( )A．5 B．10C．20 D．40
角度2 确定正态曲线的对称轴 (2022·福建模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<3)＋P(X≤1)＝1，则μ＝______.[解析] 因为X服从正态分布N(μ，σ2)，所以P(X<3)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≤1)＝P(X≥3)，由正态曲线的对称性知对称轴为X＝2，所以μ＝2.
角度3 服从正态分布的概率计算 1.若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.3，则P(－1
名师点拨：解决正态分布问题的三个关键点若随机变量X～N(μ，σ2)，则(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．
2．(2023·河北统考)某工厂从生产出的产品中随机抽取100件，测量一项质量指标，将测量结果落到质量指标的各区间内的产品频率绘制成如图所示的频率分布直方图．
②为了保证产品质量，质量检查员每天在当天生产的该产品中，随机抽取15件，若出现质量指标值在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的产品，则认为生产过程出现问题，需要检查整个生产过程，否则不需要检查．在质量检查员当天抽取的15件该产品的质量指标中，质量指标最小值为180.9，质量指标最大值为299.8，根据近似值判断是否需要检查整个生产过程．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
概率与统计的综合应用题型一 概率与统计图表的综合应用 (2024·北京高三定位考)为了解员工每日健步走的情况，某单位工会随机抽取了300名员工，借助计步小程序统计了他们每日健步走的步数(均不低于4千步，不超过20千步)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)试估计该单位全体员工日行步数(单位：千步)的平均数(每组数据以该组区间的中点值为代表)；(2)单位工会从全体员工中随机选取3人，记ξ表示3人中每日健步数在14千步以上的人数，求随机变量ξ的分布列和期望．[解析] (1)根据题意，该单位工会日行的人均健步步数估计为：5×0.01＋7×0.01＋9×0.08＋11×0.58＋13×0.22＋15×0.06＋17×0.03＋19×0.01＝11.68(千步)．
所以ξ的分布列为故ξ的期望E(ξ)＝3×0.1＝0.3.
题型二 概率与回归分析的综合应用(2022·山东临沂模拟)在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全、保稳定的前提下有序恢复生产、生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x(单位：元)与购买人数y(单位：万人)的数据如下表：
题型三 概率与独立性检验的综合应用 (2024·江西智学联盟体联考)为提高高三学生身体素质，鼓励积极参加体育锻炼，某校在高三学生中随机抽取了100名男生和100名女生，利用一周时间对他们的身体各项运动指标(高中年龄段指标)进行考察，得到综合素质指标评分，评分结果分为两类：80分以上为达标，80分以下为不达标，统计结果如表：
题型四 概率、统计与函数、数列的综合应用 (2024·湖北荆州中学月考)某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
【变式训练】1．(2024·江西师大附中测试)某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让利于民，更要保证品质兼优，工厂在车辆出厂前抽取了100辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
(3)某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券8万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到移到第4格(幸运之神)或第5格(赠送车模)时游戏结束．若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值.
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3
2．(2023·广东深圳市二模)飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流．某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因．
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联．所以，结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
(1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列与数学期望；(2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”，该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p(0
知识梳理 · 双基自测
知识点二 正态分布1．正态分布的定义及表示．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝ ，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X～N(0,1)．
2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_________.σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．
归 纳 拓 展对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(3)P(X
题组二 走进教材2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(165
[解析] 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D．
考点突破 · 互动探究
正态分布的性质——自主练透
1.(2023·广东佛山南海区、三水区联考)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1,62)，Y～N(μ2,22)．X和Y的分布密度曲线如图所示．
则下列结果正确的是( )A．D(X)＝6B．μ1>μ2C．P(X≤38)
角度1 正态曲线的对称性 (2024·广东六校联考)某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司购买该种包装的大米1 000袋，则大米质量在10.02 kg以上的袋数大约是( )A．5 B．10C．20 D．40
角度2 确定正态曲线的对称轴 (2022·福建模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<3)＋P(X≤1)＝1，则μ＝______.[解析] 因为X服从正态分布N(μ，σ2)，所以P(X<3)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≤1)＝P(X≥3)，由正态曲线的对称性知对称轴为X＝2，所以μ＝2.
角度3 服从正态分布的概率计算 1.若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.3，则P(－1
名师点拨：解决正态分布问题的三个关键点若随机变量X～N(μ，σ2)，则(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．
2．(2023·河北统考)某工厂从生产出的产品中随机抽取100件，测量一项质量指标，将测量结果落到质量指标的各区间内的产品频率绘制成如图所示的频率分布直方图．
②为了保证产品质量，质量检查员每天在当天生产的该产品中，随机抽取15件，若出现质量指标值在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的产品，则认为生产过程出现问题，需要检查整个生产过程，否则不需要检查．在质量检查员当天抽取的15件该产品的质量指标中，质量指标最小值为180.9，质量指标最大值为299.8，根据近似值判断是否需要检查整个生产过程．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
概率与统计的综合应用题型一 概率与统计图表的综合应用 (2024·北京高三定位考)为了解员工每日健步走的情况，某单位工会随机抽取了300名员工，借助计步小程序统计了他们每日健步走的步数(均不低于4千步，不超过20千步)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)试估计该单位全体员工日行步数(单位：千步)的平均数(每组数据以该组区间的中点值为代表)；(2)单位工会从全体员工中随机选取3人，记ξ表示3人中每日健步数在14千步以上的人数，求随机变量ξ的分布列和期望．[解析] (1)根据题意，该单位工会日行的人均健步步数估计为：5×0.01＋7×0.01＋9×0.08＋11×0.58＋13×0.22＋15×0.06＋17×0.03＋19×0.01＝11.68(千步)．
所以ξ的分布列为故ξ的期望E(ξ)＝3×0.1＝0.3.
题型二 概率与回归分析的综合应用(2022·山东临沂模拟)在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全、保稳定的前提下有序恢复生产、生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x(单位：元)与购买人数y(单位：万人)的数据如下表：
题型三 概率与独立性检验的综合应用 (2024·江西智学联盟体联考)为提高高三学生身体素质，鼓励积极参加体育锻炼，某校在高三学生中随机抽取了100名男生和100名女生，利用一周时间对他们的身体各项运动指标(高中年龄段指标)进行考察，得到综合素质指标评分，评分结果分为两类：80分以上为达标，80分以下为不达标，统计结果如表：
题型四 概率、统计与函数、数列的综合应用 (2024·湖北荆州中学月考)某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
【变式训练】1．(2024·江西师大附中测试)某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让利于民，更要保证品质兼优，工厂在车辆出厂前抽取了100辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
(3)某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券8万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到移到第4格(幸运之神)或第5格(赠送车模)时游戏结束．若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值.
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3
2．(2023·广东深圳市二模)飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流．某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因．
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联．所以，结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
(1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列与数学期望；(2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”，该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p(0
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