2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系课件，共60页。PPT课件主要包含了相交重合，唯一解，无数个解，题组三走向高考，6－6，x＋2y－14＝0，x－4y－3＝0，距离问题师生共研，或－6，ABD等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括____________________三种情况．1．两条直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
2．两条直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔__________________________.
A1A2＋B1B2＝0
知识点二　两条直线的交点对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0当A1B2－A2B1≠0时，l1与l2相交．相交⇔方程组有__________；平行⇔方程组________；重合⇔方程组有____________.
知识点三　三种距离公式
归 纳 拓 展1．与对称问题相关的常用结论(1)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；(2)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．特别的：点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
2．谨防四个易错点(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况．(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(4)用公式法求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．(　 　)(2)若直线l：mx＋ny＋3＝0平分圆C：x2－2x＋y2－1＝0，则2m－3n＝6.(　 　)(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　 　)
题组二　走进教材2．(选择性必修1P67T8(1))过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　 　)A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
3．(选择性必修1P77T3)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　 　)
5．坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为_____________.
考点突破 · 互动探究
两条直线平行、垂直的关系——自主练透
1.(2024·福建三明一中月考)已知直线l1：(k－2)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－2)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　 　)A．1 B．2或5C．5 D．1或2
2．(2024·江苏南通海安中学月考)“k＝3”是“两直线kx－3y－2＝0和2kx＋6y－7＝0互相垂直”的(　 　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　两直线垂直⇔2k2－18＝0⇔k＝±3.∴k＝3是两直线垂直的充分不必要条件．故选A.
3．等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2)，一条直角边所在直线的方程为y＝2x，则另外两边所在直线的方程为_______________________ __________________.
名师点拨：1．判断两条不重合的直线是否平行的方法
2．判断两条直线是否垂直的方法在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
3．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为0；A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.提醒：当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
【变式训练】1．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是______________________.
2．(2022·苏州常熟模拟)若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a－b＋c＝(　 　)A．－6 B．4C．－10 D．－4[解析]　由题意可知，2a＋5×(－4)＝0，解得a＝10，又因为点(1，b)在直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0上，所以1×10－4b＋2＝0,2×1＋5b＋c＝0，解得b＝3，c＝－17，所以a－b＋c＝－10，故选C.
1.已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
2．(2024·河南豫南名校质检、河北金科联考)若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两直线之间的距离为(　 　)
名师点拨：距离的求法1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．2．两平行直线间的距离(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x、y的系数分别相等．
【变式训练】1．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　 　)
3．(多选题)(2024·河南部分学校联考)已知点A(1,3)，B(－5,1)到直线l的距离相等，则直线l的方程可以是(　　　)A．x－3y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．2x＋y＋2＝0
角度1　线关于点的对称 (2022·河北五校联考)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　 　)A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
角度2　点关于线的对称 (2024·山东济南中学月考)一入射光线经过点M(2,6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3,4)，则反射光线所在直线方程为(　 　)A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
(注：当对称轴斜率为±1时，可用代入法直接求得对称点坐标，如：将x＝2代入x－y＋3＝0得y＝5，将y＝6代入x－y＋3＝0得x＝3，从而知M(2,6)关于x－y＋3＝0的对称点为M′(3，5)．)
[引申]本例中入射光线所在直线的方程为____________________.
角度3　线关于线的对称 (2022·合肥模拟)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　 　)A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
名师点拨：对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：1．中心对称：转化为中点问题处理
(2)直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．有两种解法：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称：转化为垂直平分线问题处理
(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．分两种情况：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．
【变式训练】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)(角度2)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)(角度1)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
(3)设P(x，y)在l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
直线的交点、直线系方程——师生共研
2．与直线l：x－3y＋6＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为8的直线的方程为______________________.
3．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为______________________.
解法二：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m＝－6，故所求直线方程为4x＋3y－6＝0.解法三：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
[引申]若将本例3中的“垂直”改成“平行”，则直线l的方程为_____________________.
名师点拨：直线系方程的常见类型1．过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)；2．平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；3．垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
【变式训练】与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程是_______________________________________.
5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0
名师讲坛 · 素养提升
两直线位置关系的综合应用 1.(2024·江苏南通如皋调研)直线l1：x＋(m＋1)y－2m－2＝0与直线l2：(m＋1)x－y－2m－2＝0相交于点P，对任意实数m，直线l1，l2分别恒过定点A，B，则|PA|＋|PB|的最大值为(　 　)
2．(多选题)(2024·江西梧州一中月考)2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4)，军营所在位置为B(6,2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则(　 　)
[解析]　由题可知A，B在x＋y－3＝0的同侧，设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)，如图所示：
将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB′，又A(2,4)，所以直线AB′的方程为7x－y－10＝0，故A错误；
名师点拨：有关角平分线、直线上动点到两定点距离和的最小值(或差的最大值)问题，转化为对称问题解决．
【变式训练】(2024·河南部分地区联考)在△ABC中，已知A(1,1)，B(－3，－5)，若直线m：2x＋y＋6＝0为∠ACB的平分线，则直线AC的方程为(　 　)A．x－2y＋1＝0 B．6x＋7y－13＝0C．2x＋3y－5＝0 D．x＝1